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%Pour le TITLEPAGE
\title{Chapitre 5:
Matrices}
\date{}
\begin{document}

\begin{frame}
	\maketitle
	\vspace{10pt}
	\begin{center}
	\includegraphics[scale=0.55]{matrix.jpg}
	\end{center}
	
	\vspace{30pt}
	\begin{savoirfaire}
	\item Additionner ou multiplier deux matrices
	\item Calculer la puissance d'une matrice carrée
	\item Inverser une matrice
	\item Manipuler la transposée d'une matrice
	\end{savoirfaire}
\end{frame}

\begin{frame}

{\small
\begin{histoire}
En mathématique, les matrices sont des tableaux de nombres permettant d'interpréter les résultats d'algèbre linéaire. Toutes les disciplines étudiant les phénomène linéaires utilisent les matrices. Et quand on a un problème non linéaire, on donne souvent des approximations linéaires ! 


\begin{minipage}{0.8\linewidth}
Bien que le calcul matriciel moderne n'apparaisse qu'au début du $XIX^e$ siècle, on utilise depuis longtemps des tableaux de nombres pour résoudre les systèmes d'équations. Un des premier exemple vient d'un texte chinois  du $II^e$ siècle avant JC :"Les Neuf Chapitres sur l'art mathématique".
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.2\linewidth}
\includegraphics[scale=0.16]{chinois.png}
\end{minipage}

\begin{minipage}{0.2\linewidth}
\includegraphics[scale=0.11]{Cayley.jpg}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.8\linewidth}
En 1545, Cardano fait connaitre cette méthode en Europe. De son côté le mathématicien japonais Seki Kôwa utilise les même techniques pour résoudre des systèmes en 1683. En 1854, Arthur Cayley publie un traité sur les transformations géométriques utilisant les matrices de façon beaucoup plus générale que tout ce qui a été fait avant lui. Il définit les opérations usuelles du calcul matriciel et montre ses propriétés.
\end{minipage}

\end{histoire}
}

\end{frame}

\section{Matrices quelconques}
\subsection{Définition des matrices}
\begin{frame}
\titre
\soustitre
\begin{defi}{Matrices}
Soient {n} et {p }sont deux entiers
naturels non nuls.
\Trouer{ 
\begin{itemize}
\item On appelle \textbf{matrice à }\textbf{{n}}\textbf{ lignes et
}\textbf{{p}}\textbf{ colonnes à coefficients dans $\mathbb{R}$}
un tableau rectangulaire à {n} lignes et {p} colonnes de
nombres réels.
\item L'ensemble des matrices à {n} lignes et {p} colonnes à coefficients
dans $\mathbb{R}$ est noté $\mathcal{M}_{n,\: p}(\mathbb{R})$.
\end{itemize}}
\end{defi}

\noindent\textbf{Notations :}
Soit $A\in\mathcal{M}_{n,\: p}(\mathbb{R}).$ 
\begin{itemize}
\item Le nombre réel situé à l'intersection de la $i^{i\grave{e}me}$ ligne
et de la $j^{i\grave{e}me}$ colonne se note $a_{i,j}$. Ce sont les coefficients de la matrice $A$ et on écrit:
\end{itemize}
\tableau{\'Ecriture de la matrice}
\petit
ou  $A=\left(a_{i,j}\right)_{\tiny \begin{array}{c}
1\leqslant i\leqslant n\\
1\leqslant j\leqslant p
\end{array}}$ ou encore $A=\left(a_{i,j}\right)$ lorsqu'il n'y a pas d'ambiguité.

\end{frame}

\begin{frame}
\begin{ex}{Matrices}
\Trouer{
\begin{itemize}
\item $A=\begin{pmatrix}
1&3&-3\\
-4/5&3&9\\
0&3&-8
\end{pmatrix}
\in\mathcal{M}_{3,3}(\R)$
\item $B=\begin{pmatrix}
0&1&3&-3\\
-1&-4/5&3&9\\
3&0&3&-8
\end{pmatrix}
\in\mathcal{M}_{3,4}(\R)$
\end{itemize}
}
\end{ex}

\remarque{}Deux matrices $A=\left(a_{i,j}\right)_{\tiny\begin{array}{c}
1\leqslant i\leqslant n\\
1\leqslant j\leqslant p
\end{array}}$ et $B=\left(b{}_{i,j}\right)_{\tiny \begin{array}{c}
1\leqslant i\leqslant m\\
1\leqslant j\leqslant k
\end{array}}$ sont égales si et seulement si elles ont le même nombre de lignes, le même nombre de colonnes et les mêmes coefficients.

\tableau{\exercice}
\grand
\end{frame}

\subsection{Matrices particulières}
\begin{frame}
\soustitre
\begin{defi}{Des matrices particulières}
\begin{itemize}
\item \Trouer{Une matrice dont tous les coefficients sont nuls s'appelle
une \textbf{matrice nulle} notée $0_{\mathcal{M}_{n,p}(\R)}$ ou $0$ s'il n'y a pas d'ambiguïté.  }

\item \Trouer{Une \textbf{matrice carrée} est une matrice qui a le même nombre de lignes et de colonnes. L'ensemble des matrices carrées ayant pour nombre de lignes et de colonnes $n$ est noté $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}).$}

\item \Trouer{Une \textbf{matrice colonne} est une matrice formée d'une
seule colonne. On parle aussi de vecteur. 
Une matrice colonne à $n$ lignes est un élément de $\mathcal{M}_{n,\:1}(\mathbb{R}).$}

\item \Trouer{Une \textbf{matrice ligne} est une matrice formée d'une
seule ligne . On parle aussi de vecteur. Une matrice ligne à $p$ colonnes est un élément de $\mathcal{M}_{1,\: p}(\mathbb{R}).$}
\end{itemize}
\end{defi}
\tableau{Donnez des exemples de matrices particulières}
\petit
\end{frame}

\subsection{Transposée d'une matrice}
\begin{frame}
\soustitre
\question{Comment faire pour passer d'un vecteur ligne à un vecteur colonne ?}
\begin{defi}{Matrice transposée}
\Trouer{
Soit $A=\left(a_{i,j}\right)_{\tiny \begin{array}{c}
1\leqslant i\leqslant n\\
1\leqslant j\leqslant p
\end{array}}$ un éléments de $\mathcal{M}_{n,\: p}(\mathbb{R})$.
On appelle \textbf{transposée de }\textbf{\emph{$A$}} l'élément de $\mathcal{M}_{p,\: n}(\mathbb{R})$,
noté $^{t}A$, défini par:
\[ 
^{t}A=\left(c_{i,j}\right)_{\tiny \begin{array}{c}
1\leqslant i\leqslant p\\
1\leqslant j\leqslant n
\end{array}} \quad \text{où} \quad c_{i,j}=a_{j,i}, \forall i\in\entier{ 1, p}, \forall j \in \entier{1,n} .\]}
\end{defi}
\remarque{La transposée de \emph{A} est obtenue en échangeant
les lignes et les colonnes de\emph{ A}.}

\tableau{\exercice}
\moyen
\end{frame}

\section{Opérations sur les matrices}
\subsection{Addition }
\begin{frame}
\titre
\soustitre
\question{Comment additionner deux matrices ?}
\begin{defi}{Addition de matrice}
{\small Soient $A=\left(a_{i,j}\right)$ et $B=\left(b{}_{i,j}\right)$ deux éléments de $\mathcal{M}_{n,\: p}(\mathbb{R})$.}

On appelle \textbf{somme de }\textbf{\emph{$A$}}\textbf{ et }\textbf{\emph{$B$}}
l'élément de $\mathcal{M}_{n,\: p}(\mathbb{R})$, noté $A+B$, défini
par $A+B=\left(c_{i,j}\right)$ où \Trouer{
\[ c_{i,j}=a_{i,j}+b_{i,j},\quad \forall i\in\entier{ 1, n}, \forall j \in \entier{1,p} . \]}
\vspace{-10pt}
\end{defi}
\remarque{La somme de deux matrices de taille différente n'est
pas définie.}
\remarque{L'addition matricielle est commutative ($A+B = B+A$).}
\begin{ex}{}
$\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 7\\
3 & 5 & -2
\end{array}\right)$+$\left(\begin{array}{ccc}
-1 & -1 & 4\\
4 & 1 & 2
\end{array}\right)=$
\end{ex}
\end{frame}

\subsection{Multiplication par un réel }
\begin{frame}
\soustitre
On considère $ A = \left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 7\\
3 & 5 & -2
\end{array}\right)$. Que vaut $2\times A$ ?
\begin{defi}{Multiplication par un réel}
Soient $A=\left(a_{i,j}\right)$ $\in$ $\mathcal{M}_{n,\: p}(\mathbb{R})$ et $\lambda$ un réel. Alors $\lambda A=\left(c_{i,j}\right)$ est une matrice de $\mathcal{M}_{n,\: p}(\mathbb{R})$ avec \Trouer{
\[c_{i,j} = \lambda a_{i,j}, \quad  \forall i\in\entier{ 1, n}, \forall j \in \entier{1,p} .\]}
\vspace{-10pt}
\end{defi}
\begin{ex}{}
$$2 \times A = 2 \times \left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 7\\
3 & 5 & -2
\end{array}\right)= $$
\end{ex}
\tableau{\exercice}
\moyen
\end{frame}

\subsection{Propriétés d'espace vectoriel}
\begin{frame}
\soustitre
\question{En reprenant l'exercice précédent, faites $9A + 9B$. Que remarque-t-on ?}
\begin{prop}{}
Soient $A,B \in \EM{n,p}$ et $\lambda, \mu$ deux nombres réels.
\Trouer{
\begin{itemize}
\item $A+B = B + A$ (commutativité de l'addition)
\item $0 + A = A +0 = A$ (0 est l'élément neutre de l'addition)
\item $A+(-A) = -A +A = 0$ ($-A$ est l'opposée de la matrice $A$)
\item $(\lambda + \mu)A = \lambda A + \mu A$, $\lambda(A+B) = \lambda A + \lambda B$, $\lambda (\mu A) = \lambda \mu A$ (distributivités)
\end{itemize}}
\end{prop}
\remarque{Les propriétés précédentes font de l'ensemble $(\EM{n,p}, +, \times)$ un espace vectoriel. On verra cela dans un chapitre ultérieur.}
\vspace{-25pt}
\end{frame}

\subsection{Multiplication de matrices}
\begin{frame}
\soustitre
\question{Multiplication de 2 vecteurs}
\begin{defi}{Multiplications de matrices}
Soient $A=\left(a_{i,j}\right) \in \mathcal{M}_{n,\: {\bf p}}(\mathbb{R})$ et $B=\left(b{}_{i,j}\right) \in \mathcal{M}_{{\bf p},\: q}(\mathbb{R})$. On définit alors $C=A\times B=\left(c_{i,j}\right) \in \EM{n,q}$ avec 
\vspace{-10pt}
\Trouer{
\[ c_{i,j}=\sum\limits_{k=1}^{p}a_{ik}b_{kj}, \quad \forall i\in\entier{ 1, n}, \forall j \in \entier{1,q}. 
\]} \vspace{-15pt}
\end{defi}
\remarque{Le produit n'est défini que si le nombre
de colonnes de \emph{A} est égal au nombre de lignes de \emph{B}.}
\vspace{-10pt}
\begin{prop}{}
{\small
Soient\emph{ A, B et C }trois matrices compatibles pour les multiplications considérées et $\lambda$ un réel\emph{.}
\Trouer{
\begin{itemize}
\item $ABC=A\times B\times C=(A\times B)\times C=A\times(B\times C)$
\item $\lambda AB=(\lambda A)\times B=A\times(\lambda B)=\lambda(A\times B)$
\item $(A+B)\times C=A\times C+B\times C$ et $C\times(A+B)=C\times A+C\times B$
\end{itemize}
}}
\end{prop}
\tableau{\exercice}
\grand
\end{frame}

\section{Matrices carrées}
\subsection{Définition des matrices carrées}
\begin{frame}
\titre
\soustitre
\begin{defi}{Matrices carrées}
\Trouer{
Une matrice carrée d'ordre n est une matrice à n lignes et à n colonnes. On notera $\EM{n}$ l'ensemble des matrices carrées d'ordre $n$.}
\end{defi}
\begin{ex}{Matrice carrée}
La matrice $\begin{pmatrix}
1 & 2  \\
3 & 4  \\
\end{pmatrix}$ est une matrice carrée d'ordre 3. 
\end{ex}
\question{Comment définir la diagonale d'une matrice carrée ?}
\begin{defi}{Diagonale}
\Trouer{
Si $A = (a_{i,j})_{1 \leq i,j \leq n} \in \EM{n}$ alors on appelle diagonale de $A$ les coefficients $(a_{i,i})_{1 \leq i \leq n}$.}
\end{defi}
\tableau{Diagonale dans l'exemple précédent ?}
\eq
\end{frame}

\subsection{Matrices symétriques}
\begin{frame}
\soustitre
\question{Qu'est ce qu'une matrice symétrique ?}
\begin{defi}{Matrice symétrique}
\Trouer{
Soit $A$ une matrice carrée d'orde $n$. $A$ est symétrique ssi $^tA=A$.}
\end{defi}
\remarque{Cela revient à dire que $\forall 1\leq i,j\leq n,a_{i,j}=a_{j,i}$.}
\vspace{-10pt}
\remarque{On note $S_n(\R)$ l'ensemble des matrices carrées symétrique d'ordre $n$.}
\tableau{Donner des exemples de matrices symétriques}
\moyen
\end{frame}

\subsection{Matrices diagonales et triangulaires}
\begin{frame}
\soustitre
\begin{defi}{Matrices diagonales et triangulaires}
\begin{itemize}
\item Une \textbf{matrice diagonale} d'ordre n est \Trouer{ une matrice carrée d'ordre n où tous les coefficients sont nuls sauf éventuellement ceux de la diagonale :}

\item Une \textbf{matrice} \textbf{triangulaire supérieure} (resp. \textbf{triangulaire inférieure}) est \Trouer{ une matrice carrée dont tous les coefficients situés en dessous (resp. au dessus) de la diagonale sont nuls. C'est à dire, $A=(a_{i,j})$ est une matrice triangulaire supérieure ssi $\forall i,j \in\entier{ 1,n}$, \;
$i>j \; (\text{resp.} \; i <j) \;\Rightarrow a_{i,j}=0.$}
\tableau{Dessin d'une matrice diagonale et triangulaire supérieure}
\petit
\end{itemize}
\end{defi}
\tableau{Ecrire des matrices diagonales et triangulaires d'ordre 3. }
\petit
\end{frame}

\begin{frame}
On considère $A = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3  \\
4 & 5 & 6  \\
7 & 8 & 9 \\
\end{pmatrix}$
et $I_3 = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0  \\
0 & 1 & 0  \\
0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}$.On calcule $AI_3$ et $I_3A$. Que remarque-t-on ?
\begin{defi}{Matrice identité}
\Trouer{La matrice identité de $\EM{n}$ notée $I_n$ est la matrice diagonale avec des 1 sur la diagonale :}
\vspace{20pt}
\end{defi} 
\remarque{La matrice identité $I_n$ est neutre pour la multiplication : quelle que soit la matrice $A \in \EM{n}$,
on a \[AI_n = I_nA = A .\]}
\vspace{-50pt}
\end{frame}

\subsection{Puissance de matrice}
\begin{frame}
\soustitre
\question{Comment pourrait-on définir les puissances de matrice ?}
\begin{defi}{Puissance de matrice}
Soit $A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$ une matrice carrée non nulle
. Alors \Trouer{
\[ A^{0}=I_{n} \; \text{et si} \; k\in\mathbb{N}^{*}, A^{k}=\underbrace{A\times A\times...\times A}_{k\, fois} .\]}
\vspace{-15pt}
\end{defi}
\begin{prop}{}
 Soient\emph{ $A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$,
k} \emph{et} \emph{l} deux entiers positifs\emph{.} On a:
\Trouer{
\[
A^{k}\times A^{l}=A^{k+l}
\]}
\vspace{-15pt}
\end{prop}
\question{Que peut-on dire de $(AB)^k$ ?}
\vspace{25pt}
%\remarque{En revanche, en général $(AB)^{k}\neq A^{k}B^{k}$;}
\tableau{\exercice}
\petit
\end{frame}

\begin{frame}
%\question{Que peut-on dire des puissances d'une matrice diagonale ?}
\begin{prop}{}
Si $A$ est une matrice diagonale 
$A=\begin{pmatrix}
a_1 & &(0)\\
& \ddots &\\
(0)& & a_n
\end{pmatrix}$

%alors $\forall m\geq 0$,
%$A^m=\begin{pmatrix}
%a_1^m & &(0)\\
%& \ddots &\\
%(0)& & a_n^m
%\end{pmatrix}$
\vspace{15pt}
\end{prop}
\begin{ex}{}
Pour tout $m \geq 0$, $I_n^m = I_n$.
\end{ex}
\begin{metodo}{Puissance de matrice (1ère méthode)}
Si l'on a une matrice $A$ et que l'on connait la formule pour $A^n$, on peut montrer le résultat par récurrence. 
\end{metodo}
\tableau{\exercice \; et \exercice}

\end{frame}
\grand 

\section{Matrices inversibles}
\subsection{Définition}
\begin{frame}
\titre
\soustitre
\question{Quel est l'inverse d'un nombre réel ?}
\begin{defi}{Matrices inversibles}
\Trouer{
\begin{itemize}
\item Soit $A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$. \emph{A}
est \textbf{inversible} s'il existe $B\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$
telle que 
\[ AB=BA = I_{n}\] 
La matrice \emph{$B$} est alors appelée \textbf{inverse de }\textbf{\emph{$A$}} et est notée $A^{-1}$.
\item L'ensemble des matrices inversibles de $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$
est noté $GL_{n}(\mathbb{R})$.\end{itemize}
}
\end{defi}
\vspace{-10pt}
\remarque{La matrice $I_n$ est inversible et $I_n^{-1}= I_n$.}
\vspace{-10pt}
\begin{ex}{Matrice inversible}
La matrice $\begin{pmatrix}
1& 1\\
2 & 3
\end{pmatrix}$ est inversible et son inverse est $\begin{pmatrix}
3& -1\\
-2 & 1
\end{pmatrix}$
\end{ex}
\tableau{\exercice}
\petit
\end{frame}

\subsection{Propriétés}
\begin{frame}
\soustitre
\begin{prop}{}
Soient\emph{ A et B }deux matrices de\emph{
$\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$.} 
\Trouer{
\begin{itemize}
\item  Si $A\in GL_{n}(\mathbb{R})$ alors $A^{-1} \in GL_n(\R)$ et $(A^{-1})^{-1}=A.$
\item Si $A\in GL_{n}(\mathbb{R})$ alors $(A^{-1})^p=(A^p)^{-1}.$
\item Si\emph{ A }et\emph{ B }sont dans $GL_{n}(\mathbb{R})$ alors $A\times B\in GL_{n}(\mathbb{R})$
et 
\[
(AB)^{-1}=B^{-1}\times A^{-1}.
\]
\end{itemize}}
\end{prop}
\tableau{Démonstration directe de la dernière propriété.}
\moyen
\begin{prop}{}
\Trouer{
Soit $A \in \EM{n}$ une matrice non nulle. S'il existe une matrice $B \in \EM{n}$ non nulle telle que $AB = 0_n$ alors A n'est pas inversible.}
\end{prop}
\tableau{Démonstration par l'absurde de la dernière propriété.}
\moyen
\end{frame}

\subsection{Règles de calculs}
\begin{frame}
\soustitre
\begin{prop}{}
Soient A et B deux matrices de $\EM{n}$ et $C \in GL_n(\R)$. \Trouer{ Alors
\[ AC = B \Longleftrightarrow A = BC^{-1} \qquad CA = B \Longleftrightarrow C^{-1} B \]
\[ AC = BC \Longleftrightarrow A = B \qquad CA = CB \Longleftrightarrow A = B.\]}
\end{prop}
\remarque{Cela n'est valable que si $C$ est inversible}
\begin{prop}{}
\begin{itemize}
\item Soit $A \in \EM{n}$. S'il existe une matrice $B \in \EM{n}$ telle que $AB = I_n$ alors $A$ est inversible, d'inverse $B$.
\item Soit $A \in \EM{n}$. S'il existe une matrice $B \in \EM{n}$ telle que $BA = I_n$ alors $A$ est inversible, d'inverse $B$.
\end{itemize}
\end{prop}
\begin{metodo}{Montrer qu'une matrice est inversible.}
Pour montrer qu'une matrice $A$ est inversible, on peut chercher une matrice $B$ telle que $AB = I_n$. On pourra conclure
que $A$ est inversible, et que $A^{-1} = B$ (\exercice)
\end{metodo}
\moyen
\end{frame}


\subsection{Cas particulier des matrices $2\times2$}
\begin{frame}
\soustitre
\begin{prop}{Cas particulier des matrices $2\times2$}
\label{22}
Soit $A=\begin{pmatrix}
a&b\\
c&d
\end{pmatrix}$.  $A$ est inversible si et seulement si \Trouer{$ad-bc\neq 0$. Dans ce cas-la :
$$
A^{-1}
=\frac{1}{ad-bc}
\begin{pmatrix}
d&-b\\
-c&a
\end{pmatrix}
$$}
\end{prop}
\remarque{Le nombre $ad-bc$ est appelé déterminant de $A$.}

\tableau{Démonstration directe de la propriété et \exercice}
\grand
\newpage
\begin{frame}
\begin{metodo}{Puissance de matrice (2ème méthode)}
Soit $A$ une matrice carrée. Si on parvient à écrire $A= PDP^{-1}$ où $P$ est une matrice inversible et $D$ est une matrice diagonale. Alors :
$$
\forall n \in \N, A^n = P D^n P^{-1}
$$
\end{metodo}
\tableau{Démonstration par récurrence de la formule puis \exercice. }
\end{frame}
\end{frame}

\end{document}
