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\versioneleve

%Pour le TITLEPAGE
\title{Chapitre 4: \\
Probabilités finies}
\date{}

\begin{document}

\begin{frame}
	\titlepage
\end{frame}
\begin{savoirfaire}
	\item Exprimer des évènements en fonction d'intersection, d'union et du complémentaire.
	\item Déterminer la probabilité d'une union finie.
	\item Déterminer une probabilité conditionnelle. 
	\item Déterminer la probabilité d'une intersection finie. 
	\item Utiliser la formule des probabilités totales. 
\end{savoirfaire}
\vspace{20pt}
\begin{frame}



\begin{center}
\includegraphics[scale=0.4]{FermatPascal.jpg}
\end{center}
\vspace{20pt}
\begin{histoire}
 \`A l'origine, le terme probabilité vient du latin {\it probabilitas} qui désigne l'opposé du concept de certitude. Dans les traductions d'Aristote, le terme probabilité ne désigne pas une quantification mais une idée communément admise. 
\pause
L'apparition de la notion de "risque" n'est apparue qu'au $XII^e$ siècle pour l'évaluation de contrats commerciaux et elle s'est développée au $XVI^e$ siècle avec les contrats d'assurance maritime. 

Le véritable début de la théorie des probabilités en mathématiques a lieu au $XVII^e$ et $XVIII^e$ siècle grâce aux travaux de Pascal, Fermat, Newton, Bernoulli, Cramer... Le calcul des probabilités reste alors une discipline en marge des mathématiques.
Ce n'est qu'au $XX^e$ siècle avec Kolmogorov (1903 - 1987) que commence la théorie des probabilités comme branche des mathématiques.
\end{histoire}


\end{frame}

\section{Vocabulaire}
\subsection{Expérience aléatoire}
\begin{frame}
\titre
\soustitre
\pause
\begin{defi}{Expérience aléatoire}
Une expérience aléatoire est une expérience où l'on connait les résultats possibles (ou issues) mais on ne sait pas à l'avance lequel va arriver. 
\end{defi}

\pause
\begin{defi}{Univers}
L'ensemble des issues d'une expérience aléatoire est appelé univers de cette expérience et est souvent noté $\Omega$.
\end{defi}

\pause
\begin{ex}{Dé à 6 faces}
On lance un dé à 6 faces et on note le numéro de la face supérieur. C'est une expérience aléatoire qui a pour univers 
\Trouer{\[
\Omega = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6\}
. \] }
\end{ex}

\tableau{Exemples d'expérience aléatoire et d'univers classique}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{center}
\setlength{\tabcolsep}{5pt}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
Expériences aléatoires & Univers\\
\hline
On lance 1 pièce & {\color{white} . \hspace{100pt} .} \\
\hline
On lance deux pièces de  & \\
monnaies successivement & \\
\hline
On lance deux dés à 6  & \\
faces simultanément & \\
\hline
On tire une carte d'un jeu de 52 & \\
cartes et on regarde la couleur & \\
\hline
{\footnotesize On tire successivement 2 boules d'une urne} & \\
{\footnotesize  avec 4 boules noires et 2 boules blanches} & \\
\hline
{\footnotesize On étudie la durée de vie d'une télévision} & \\
{\footnotesize  choisie au hasard dans une usine} & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{frame}
\subsection{\'Evénements}
\begin{frame}
\soustitre

\pause
\begin{defi}{\'Evènements}
Soit une expérience
aléatoire d'univers $\Omega$
\Trouer{\begin{itemize}
\item Un \textbf{évènement} est constitué d'une ou plusieurs issues de l\textquoteright{}expérience
aléatoire. 
C'est une partie de l'univers $\Omega$ c'est à dire un élément de
$\partie{\Omega}$.
\pause
\item Un évènement est dit \textbf{élémentaire} s'il est constitué d'une
seule issue.
\pause
\item $\Omega$ est un évènement, appelé \textbf{évènement certain}
\pause
\item $\emptyset$ est un évènement, appelé \textbf{évènement impossible}
\end{itemize}}
\end{defi}

\pause
\begin{ex}{Dé à 6 faces}
\begin{itemize}
\item "Obtenir un nombre pair" est l'évènement 
\item "Obtenir 2" est un évènement  
\item "Obtenir un nombre $\geq$ 7" est un évènement
\item "Obtenir un diviseur de 60" est un évènement  
\end{itemize}
\end{ex}
\end{frame}

\subsection{Opérations sur les évènements}
\begin{frame}
\soustitre
\pause
\begin{defi}{Opérations d'évènements}
Soit une expérience aléatoire d'univers $\Omega${.
A }et {B }sont deux évènements 
\Trouer{\begin{itemize}
\item L'évènement\textbf{ contraire} de $A$ , noté $\overline{A}=\Omega\setminus A$.
\pause
\item L'évènement $A\cup B$ est l\textquoteright{}évènement
constitué des issues présentes dans {A} \textbf{ou }dans {B}.
\pause
\item L'évènement $A\cap B$ est l\textquoteright{}évènement
constitué des issues communes à {A} \textbf{et} à{ B}
\pause
\item Si $A\subset B$.L\textquoteright{}évènement $B\setminus A$ est l'évènement
constitué des issues de {B} qui ne sont pas dans { A}.
\end{itemize}}
\end{defi}

\pause
\remarque{Les notations sont les mêmes que pour la théorie des ensembles.}
\tableau{\exercice}
\grand
\moyen
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{defi}{\'Evènements incompatibles}
Soit une expérience aléatoire d'univers $\Omega${. }
\Trouer{Deux évènements {A} et {B} sont dits\textbf{ incompatibles}
s'ils n'ont pas d'issues communes.} 
On note alors $A\cap B=\emptyset.$%
\end{defi}

\pause
\remarque{Si $A$ est un évènement, alors $A$ et $\overline{A}$ sont toujours incompatibles.}
\vspace{-10pt}
\pause
\remarque{Deux évènements élémentaires différents sont toujours incompatible.}
\pause
\begin{ex}{Dé à 6 faces}
$A=\acc{\text{obtenir un chiffre pair}}$ et $\bar{A}=\acc{\text{obtenir un chiffre impair}}$ sont incompatibles.
\end{ex}
\tableau{On tire une carte dans un jeu de 52 cartes. Dites lesquels de ces évènements sont incompatibles entre eux.
A = "On tire un trèfle". B = "On tire une figure ". C = "On tire un carreau". D = "On tire un nombre entre 2 et 8".}
\moyen
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{defi}{Système complet d'évènements}
Soit une expérience aléatoire d'univers $\Omega$
fini.
On appelle \textbf{système complet d'évènements } une partition 
$(A_{i})_{1\leq i\leq n}$
de $\Omega$ : \pause
\Trouer{\begin{enumerate}
\item $\displaystyle \displaystyle A_1 \cup A_2 \cup \ldots \cup A_n = \Omega = \Omega$.
\pause
\item Pour tout $1 \leq i < j \leq n$, on a $A_i \cap A_j = \emptyset$ (Les évènements $A_1,\ldots, A_n$ sont 2 à 2 incompatibles) 
\end{enumerate}}
\end{defi}

\pause
\remarque{ Pour tout évènement $A$ de $\Omega$ , la famille d'évènements $(A,\overline{A})$
est un système complet d'évènements de $\Omega$}
\tableau{Proposer des systèmes complets d'évènements de l'univers $\Omega= \entier{1;6}$.}
\petit
\eq
\eq
\end{frame}

\section{Espaces probabilisés finis}
\subsection{Loi de probabilité}
\begin{frame}
\titre
\vspace{-6pt}
\begin{histoire}
{\small Un même univers peut correspondre a deux expériences aléatoires différentes. Par exemple, lancer un dé équilibré et lancer un dé truqué correspondent à l'univers $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$.
Ce qui les différencie, ce sont les probabilités des différents évènements (ou la loi de probabilité) que l'on définit pour chaque expérience.}
\end{histoire}
`\vspace{-5pt}
\soustitre

\pause
\begin{defi}{Probabilité}
 Soit $\Omega$ un ensemble fini. On appelle \textbf{probabilité} sur $\Omega$ toute application
\vspace{-8pt}
\[ P : \partie{\Omega}\to[0;\,1] \vspace{-5pt} \]
\pause
telle que :
\Trouer{\begin{itemize}
\item \textsc{$P\left(\Omega\right)=1$}
\pause
\item Pour tous évènements incompatibles {A} et {B (soit} $A\cap B=\varnothing$),
$P(A\cup B)=P(A)+P(B).$
\end{itemize}}
\pause
Le triplet $\left(\Omega,\:\partie{\Omega},\: P\right)$ est un
espace de probabilité.
\end{defi}
\end{frame}

\begin{frame}
\remarque{{\small Pour tout {\bf évènement } A, le {\bf réel} $P(A)$ est appelé probabilité de l'évènement A.}}

\begin{prop}{}
Soit {$\left(\Omega,\:\partie{\Omega},\: P\right)$} un espace
de probabilité et soient A et B deux évènements. Alors, on a:
\Trouer{\begin{itemize}
\pause
\item $P\pare{\overline{A}}=1-P(A)$. Ainsi, $P(\emptyset)= 1 - P(\Omega)= 0$. 
\pause
\item $P(B) = P(A \cap B) + P (\overline{A} \cap B )$. 
\pause
\end{itemize}}
\end{prop}
\vspace{-8pt}
\tableau{Démonstration de la propriété}
\petit
\pause
\begin{prop}{Crible de Poincaré}
{\small Soit {$\left(\Omega,\:\partie{\Omega},\: P\right)$} un espace
probabilisé fini et $A, B, C$ trois évènements quelconque}
\begin{itemize}
\item {\small $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.}
\item {\scriptsize $P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B) - P(A \cap C) - P(B\cap C) + P(A \cap B \cap C)$.}
\end{itemize}
\end{prop}
\tableau{\exercice}
\moyen
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{prop}{}
Soit {$\left(\Omega,\:\partie{\Omega},\: P\right)$} un espace
probabilisé fini. Pour tout famille d'évènements $\left(A_{i}\right)_{1\leqslant i\leqslant n}$ deux à deux incompatibles, \[P\left({\displaystyle A_1 \cup A_2 \ldots \cup A_n}\right)={\displaystyle P(A_1) +  \ldots + P(A_n) }\]
\end{prop}

\tableau{Démonstration de la propriété par récurrence}
\grand
\pause
\remarque{Si les $\left(A_{i}\right)_{1\leqslant i\leqslant n}$ forment un système complet d'évènements
\[ 
P(A_1) + \ldots + P(A_n)= P\left( A_1 \cup A_2 \cup \ldots \cup A_n \right) = P (\Omega) = 1.
\]}
\tableau{\exercice}
\moyen
\end{frame}
%
%\subsection{Loi uniforme}
%\begin{frame}
%\soustitre
%\pause
%\begin{defi}{Loi uniforme}
%Dans le cas où tous les évènements élémentaires ont la même probabilité, on dit qu'ils sont équiprobables, ou que la loi de probabilité $P$ est uniforme. Si $\Omega = \{ x_1, \ldots x_n \}$ alors la probabilité de chaque issue est 
%\[ p = \dfrac{1}{\card(\Omega)} = \dfrac{1}{n} \]
%\end{defi}
%
%\begin{ex}{Dé à 6 faces}
%La probabilité de tomber sur n'importe quelle face est $\frac{1}{6}$.
%\end{ex}
%\pause
%\begin{prop}{Formule d'équiprobabilité}
%Soit {$\left(\Omega,\:\partie{\Omega},\: P\right)$} un espace
%probabilisé fini muni d'une loi uniforme, alors
%\vspace{-8pt}
%\[
%\forall A \in \partie{\Omega}, \quad P(A) = \dfrac{\card(A)}{\card(\Omega)}
%\]
%\end{prop}
%\tableau{\exercice}
%\end{frame}

\section{Probabilités conditionnelle}
\subsection{Arbre pondéré}

\begin{frame}
\titre
\soustitre
\pause
\begin{ex}{Expérience}
Dans un sac, on possède 10 jetons : 6 jetons rouges, numérotés 1,1,1,2,2,4 et quatre jetons verts, numérotés 2,2,4, 4. On
tire au hasard un jeton du sac. On note R l'événement "obtenir un jeton rouge", V l'événement "obtenir un jeton vert", 1 l'événement "obtenir un jeton 1" ... . 
\end{ex}
\pause
On représente cette situation par un arbre pondéré.

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{arbre.jpg}
\end{center}

\end{frame}

\begin{frame}
Par exemple, la branche -R-2 signifie que l'on a obtenu un jeton rouge numéroté 2. 
\pause
\begin{prop}{Arbre pondéré}
\begin{itemize}
\item Loi des n\oe{}uds : La somme des probabilités inscrites sur les branches issues d'un même n\oe{}ud est égale à 1.
\pause
\item La probabilité de l'événement représenté par un chemin est égale au produit des probabilités inscrites sur les
branches de ce chemin.
\end{itemize}
\end{prop}

\pause
Ainsi la probabilité de $R \cap 2$ est égale à 
\[
P(R \cap 2) = \dfrac{6}{10} \times \dfrac{1}{3} = P(R) \times P_R(2) 
\]
\tableau{\exercice}
\moyen
\end{frame}

\subsection{Probabilité conditionnelle}
\begin{frame}
\soustitre
\pause
\begin{defi}{Probabilités conditionnelles}
Soit $\left(\Omega,\:\partie{\Omega},\: P\right)$
un espace probabilisé fini et soit A un évènement de probabilité {\bf non nulle}. \Trouer{Alors l'application $P_A$ définie sur $\partie{\Omega}$ par
$$ \forall B \in \partie{\Omega}, \quad P_A(B)= \frac{P(B\cap A)}{P(A)} , $$
est une probabilité sur $\left(\Omega,\:\partie{\Omega}\right)$ appelée probabilité sachant $A$. Elle est parfois notée $P\pare{B\vert A}$.} 
\end{defi}

\pause
\remarque{{\bf Importante} La probabilité conditionnelle étant une probabilité, toutes les propriétés
vraies pour une probabilité restent vraies pour la probabilité conditionnelle. }

\pause
\begin{ex}{Probabilité conditionnelle}
Dans l'exemple précédent, $P_V(2) = \dfrac{1}{2}$.
\end{ex}

\tableau{\exercice}
\grand
\moyen
\end{frame}

\subsection{Formule des probabilités composées}

\begin{frame}
\soustitre
\begin{theo}{Formule des probabilités composées.}
On utilise souvent les probabilités conditionnelles pour déterminer la probabilité de l'intersection :
\Trouer{\[ P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B) \]
\pause
On peut généraliser cette formule : Pour tous évènements $A_1, \ldots, A_n$, on a 
\[ P(A_1 \cap \ldots \cap A_n ) = P(A_1) P_{A_1}(A_2) P_{A_1 \cap A_2}(A_3) \ldots P_{A_1 \cap \ldots \cap A_{n-1}} (A_n) 
\]}
\end{theo}
\pause
\remarque{Cette formule est très importante. On l'utilisera souvent pour déterminer la probabilité d'une intersection.}
\vspace{-8pt}
\pause
\begin{ex}{Probabilité composées}
Dans l'exemple précédent, $P(R \cap 4) = P(R) \times P_R(4) = \dfrac{6}{10} \times \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{10}$.
\end{ex}

\tableau{\exercice.}
\moyen

\end{frame}

\subsection{Formule des probabilités totales}
\begin{frame}
\soustitre
\pause
\begin{prop}{Arbre et probabilités totale}
Dans un arbre pondéré, la probabilité d'un événement E est la somme des probabilités des chemins qui aboutissent à E.
\end{prop}
\tableau{Quelle est la probabilité de tirer un jeton avec le numéro 2 ?}
\moyen
\end{frame}

\begin{frame}
\moyen

\begin{theo}{Formule des probabilités totales}
Soit $\left(\Omega,\:\partie{\Omega},\: P\right)$ un espace probabilisé fini. \Trouer{Soit $(A_1, \ldots A_n)$ un système complet d'évènements de $\Omega$ de probabilité non nulle. Alors on a pour tout évènement $B$
\vspace{-8pt}
\begin{eqnarray*}
P(B) & = & P(B \cap A_1) + P(B \cap A_2) + \ldots + P(B \cap A_n) \\
& = &  P(A_1) P_{A_1}(B) + P(A_2) P_{A_2} (B) + \ldots + P(A_n) P_{A_n}(B)
\end{eqnarray*}} 

\end{theo}


\tableau{\exercice (a,b,c)}
\moyen 
\petit
\eq 
\end{frame}

\subsection{Formule de Bayes}
\begin{frame}
\soustitre
\begin{theo}{Formule de Bayes}
Soit $\left(\Omega,\:\partie{\Omega},\: P\right)$ un espace probabilisé fini. \Trouer{Soient $A,B$ deux évènements de probabilité non nulle. \pause Alors
\[
P_A(B) = \dfrac{P(B)}{P(A)}P_B(A)
\]
\pause
et
\[ 
P(A) = \dfrac{P(B)P_B(A)}{P_A(B)} 
\]}
\end{theo}
\pause
\begin{ex}{Formule de Bayes}
Dans l'exemple du début, la probabilité, sachant qu'on a eu un jeton 2, que celui-ci soit vert, vaut
\[ 
P_2(V) = \dfrac{P(V)}{P(2)} P_V(2) = \dfrac{\frac{4}{10}}{\frac{4}{10}} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}.
\]
\end{ex}
\addtocounter{exo}{-1}
\tableau{Démonstration du théorème et fin de l'\exercice}
\moyen
\end{frame}

\section{Indépendance de 2 évènements}
\begin{frame}
\titre

\pause
\begin{defi}{Indépendance}
Soit $\left(\Omega,\:\partie{\Omega},\: P\right)$ un espace probabilisé fini. \Trouer{Soient $A,B$ deux évènements. On dit que $A$ et $B$ sont indépendants lorsque 
\begin{center}
$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$. 
\end{center}}
\end{defi}
\pause
\begin{prop}{Indépendance et probabilité conditionnelle}
 Soient $A,B$ deux évènements de probabilité non nuls. \Trouer{Alors $A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si $P_A(B) = P(B)$.}
\end{prop}
\pause
\begin{prop}{}
Si A et B sont indépendants alors $\overline{A}$ et B sont également
indépendants.
\end{prop}
\tableau{\exercice}
\end{frame}

%\subsection{Indépendance d'une famille d'évènements}
%\begin{frame}
%\soustitre
%\begin{defi}{Indépendance d'une famille d'évènements}
%Soit {$\left(\Omega,\:\partie{\Omega},\: P\right)$}
%un espace probabilisé fini et $A_{1}$, ...,$\: A_{n}$ sont {n} évènements.
%\pause
%%\begin{itemize}
%On dit que $A_{1}$, ...,$\: A_{n}$ sont deux à deux indépendants si :
%\begin{center}
%$\forall(i,\: j)\in \entier{1,n} ^{2}\;$, $i\neq j,$
%$P(A_{i}\cap A_{j})=P(A_{i})P(A_{j})$. 
%\pause
%\end{center}
%%\item On dit que $A_{1}$, ...,$\: A_{n}$ sont mutuellement indépendants
%% si :
%%\begin{center}
%%$\forall I\subset \entier{1,n} ,$ $P\left({\displaystyle \bigcap_{i\in I}}A_{i}\right)= P(A_1)P(A_2)\ldots P(A_n).$
%%\par\end{center}\end{itemize}
%\end{defi}
%\pause
%%\remarque{Par conséquent, si $A_{1}$, ...,$\: A_{n}$ sont mutuellement indépendants alors ils sont deux à deux indépendants .
%%Attention, la réciproque peut être fausse.}
%
%\pause
%%\begin{prop}{}
%%Soient $A_{1}$, ...,$\: A_{n}$ n évènements mutuellement
%%indépendants pour la probabilité P. Si l'on pose $\forall i\in\left\{ 1,...,n\right\} $, $B_{i}=A_{i}$ ou $B_{i}=\overline{A_{i}}$ alors les évènements $B_{1},...,B_{n}$ sont mutuellement indépendants pour la probabilité P.
%%\end{prop}
%\end{frame}
\newpage

\section{Bilan sur les probabilités}

\titre
\begin{metodo}{Exercice sur les probabilités.}
Au début d'un exercice sur les probabilités, il faut traduire les hypothèses en évènements (modélisation). Ensuite :
\begin{enumerate}
\item {\bf Si on calcule une probabilité simple ($P(B)$) :}
\begin{itemize}
\item Si on a un système complet d'évènements, on peut utiliser le fait que la somme des probabilité fasse 1. 
\item S'il s'agit de probabilités conditionnelles, si on a un système complet d'évènements, on utilise la formule des probabilités totales. 
\item S'il y a équiprobabilité, on utilise les techniques de dénombrement (cf chap. 7)
\item S'il s'agit de variables aléatoires connues, on utilise la formule (cf Chap. 9)
\end{itemize}
\item \textbf{Si on calcule la probabilité d'une union ($P(A \cup B)$)}
\begin{itemize}
\item Si les évènements sont \textbf{incompatibles}, on fait la \textbf{somme} des probabilités
\item Sinon, on utilise $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)$ ou le crible de Poincaré. 
\end{itemize}
\item \textbf{Si on calcule la probabilité d'une intersection ($P(A \cap B)$)}
\begin{itemize}
\item Si les évènements sont \textbf{indépendants}, on fait le \textbf{produit} des probabilités.
\item S'il s'agit de probabilités conditionnelles, on utilise $P(A \cap B) = P(A) P_A(B)$ ou la formule des probabilités composées. 
\end{itemize}
\item \textbf{Si on calcule une probabilité conditionnelle ($P_A(B)$)}
\begin{itemize}
\item On regarde avant tout si la probabilité n'est pas une hypothèse de l'exercice. 
\item Si on connait $P(A \cap B)$ et $P(A)$, on utilise la définition.
\item Si on connait $P_B(A)$, on utilise la formule de Bayes.
\end{itemize}
\item \textbf{Si on calcule la probabilité de l'évènement contraire $P(\bar{A})$ :}
\begin{itemize}
\item Dans ce cas, on utilise $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$. 
\end{itemize}
\item \textbf{Pour montrer que 2 évènements sont indépendants :}
\begin{itemize}
\item Regarder si c'est une hypothèse de l'énoncé. 
\item Si c'est une expérience \textbf{identique} que l'on répète, les évènements sont indépendants. 
\item Sinon, calculer $P(A)$, $P(B)$, $P(A \cap B)$ et vérifier que $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$. 
\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{metodo}


\end{document}
