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\title{Chapitre 24: Variables aléatoire à densité}
\date{}
\newcommand{\A}{\mathcal{A}}
\renewcommand{\P}{P}

\begin{document}

\begin{frame}
	\maketitle
	\tableau{\exercice (a,b,c)}
	\moyen
\end{frame}

\section{Variables aléatoires à densité.}
\subsection{Notion de densité}
\begin{frame}
\titre
\begin{histoire}
L'objectif de ce chapitre est de s'intéresser aux variable aléatoires dont le support est un intervalle, et non plus fini ou dénombrable.
\end{histoire}

Dans tout le chapitre, on se donne un espace probabilisé $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ et $X$ une variable aléatoire dont le support $X(\Omega)$ est un intervalle ou une union d'intervalles. 

\soustitre
\question{Rappelez ce qu'est une fonction de répartition dans le cas discret. }
\begin{defi}{Fonction de répartition}
Soit $X$ une variable aléatoire définie sur $(\Omega, \mathcal{A}, P)$. \Trouer{On note $F_X$ sa fonction de répartition :
$\forall x \in \R,F_X(x) = P(X \leq x)$. On dit que $X$ est une variable à densité lorsque $F_X$ est continue sur $\R$, et de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\R$ sauf éventuellement un nombre fini de points.}
\end{defi}
\tableau{Exercice 1 (d)}
\moyen
\end{frame}

\begin{frame}
%\question{Propriété de la fonction de répartition ?}
\begin{metodo}{Montrer qu'une variable aléatoire est à densité.}
Pour démontrer qu'une variable aléatoire est à densité, il suffit de montrer :
\begin{enumerate}
\item $F_X$ est croissante sur $\R$. 
\item De limite $0$ en $-\infty$ et de limite 1 en $+\infty$.
\item Continue sur $\R$ et de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\R$ sauf en un nombre fini de points. 
\end{enumerate}
\end{metodo}
\remarque{$F_X$ étant de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\R$ sauf éventuellement en un nombre fini de point, on peut définir une fonction continue $F_X'$ sauf éventuellement en un nombre fini de point.}
\tableau{\exercice (a)}
\moyen
\petit
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{defi}{Densité de probabilité}
Soit $X$ une variable aléatoire à densité sur $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ et $F_X$ sa fonction de répartition. \Trouer{On appelle densité de $X$ toute fonction $f_X$, positive sur $;\R$, telle que pour tout $x \in \R$ où $F_X$ est de classe $ \mathcal{C}^1,$
\[
 \; f_X(x) = F_X'(x).
\]}
\end{defi}
\remarque{Une fonction de densité n'est pas unique et la valeur prise par la densité aux points où $F_x$ n'est pas $\mathcal{C}^1$ n'a aucune importance.}
\begin{theo}{Non unicité de la densité}
Soit $f$ une fonction, à valeurs positives, qui ne diffère de $F_X'$ qu'en un nombre fini de points. Alors $f$ est également une densité de $X$.
\end{theo}
\tableau{Exercice 2 (b)}
\moyen
\end{frame}

\subsection{Propriétés}
\begin{frame}
\soustitre
%\question{Rappeler les propriétés des fonctions de répartitions}
\begin{prop}{Densité}
Soit $X$ une variable aléatoire à densité sur $(\Omega, \mathcal{A}, P)$, $F_X$ sa fonction de répartition et $f_X$ une densité de $X$.
\Trouer{\begin{enumerate}
\item $ \displaystyle \int_{- \infty}^{+ \infty} f_X (t) dt = 1$.
\item La fonction $f_X$ est continue sauf éventuellement en un nombre fini de points.
\end{enumerate}}
\end{prop}
\end{frame}

\begin{frame}
\question {Comment calculer $P(X \leq x)$ ou $P(X > x)$ ?}
\pause
\begin{theo}{}
Soit $X$ une variable aléatoire à densité sur $(\Omega, \mathcal{A}, P)$, $F_X$ sa fonction de répartition et $f_X$ une densité de $X$. \Trouer{Alors, pour tout $x \in \R$,
\[
F_X(x) = P(X \leq x) = \int_{- \infty}^x f_X(t) dt
\]
\[
P(X > x) = 1 - F_X(x) = \int_x^{+ \infty} f_X(t) dt.
\]}
\end{theo}
\remarque{Puisque la fonction de répartition définit la loi de $X$, d'après ce qui précède, la connaissance d'une densité $f_X$ permet de connaitre complètement $F_X$, et donc la loi de $X$.}
\end{frame}

\begin{frame}
\question{Que vaut $P(X = x)$ ? $P (a \leq X < b)$ ?}
\begin{prop}{}
Soit $X$ une variable aléatoire à densité sur $(\Omega, \mathcal{A}, P)$, $F_X$ sa fonction de répartition et $f_X$ une densité de $X$. \Trouer{Alors,
\begin{enumerate}
\item Pour tout $x \in \R, P(X = x)= 0$. 
\item Pour tous $a$ et $b$ dans $\R$ tels que $a < b$,
\[
P(a \leq X \leq b) = P(a < X \leq b) = P(a \leq X < b)
\]
\[
 = P(a < X < b) = F_X(b) - F_X(a) = \int_a^b f_X(t) dt
\]
\end{enumerate}}
\end{prop}
\tableau{\exercice}
\petit
. 
\moyen
\end{frame}

\subsection{Reconnaitre une densité}
\begin{frame}
\soustitre
\begin{theo}{Densité}
\Trouer{Soit $f$ une fonction positive, continue sur $\R$ sauf éventuellement en un nombre fini de points, telle que
\[ \int_{- \infty}^{+\infty} f(t) dt  = 1.
\]
Alors $f$ est la densité d'une variable aléatoire.}
\end{theo}
\begin{metodo}{Reconnaitre une densité}
Pour démontrer qu'une fonction est une densité, il faut donc montrer trois points :
\begin{itemize}
\item $f$ est positive sur $\R$.
\item $f$ est continue sur $\R$ (sauf éventuellement en un nombre fini de points).
\item et $\int_{- \infty}^{+\infty} f(t) dt = 1$. 
\end{itemize}
\end{metodo}
\tableau{\exercice}
\grand
\end{frame}

\subsection{Transformation affine}
\begin{frame}
\soustitre
\question{Soit $Y$ une variable aléatoire discrète ayant pour loi, pour $ n \in \N$, $P(X=n) = (1-a)^{n-2} a$. Déterminer la loi de $Z = X+1$, puis l'espérance et la variance de $X$. }
\moyen
\begin{theo}{Transformation affine}
Soit $X$ une variable aléatoire à densité sur $(\Omega­,\mathcal{A} ,P)$, de fonction de répartition $F_X$ et de densité $f_X$.
Soient a et b deux réels tels que a $a \neq 0$. Alors $Y  = aX + b$ est également une variable à densité, dont une densité est
\[
f_Y : x \to \dfrac{1}{|a|} f_X \left( \dfrac{x-b}{a} \right)
\]
\end{theo}
\remarque{Il est inutile d'apprendre ce résultat. En effet, il est souvent plus simple de le retrouver, en partant de $F_Y(x) = P(Y \leq x)$ et en revenant à $X$.}
\tableau{Démonstration du théorème et \exercice.}
\newpage
\end{frame}

\begin{frame}
\section{Espérance d'une variable aléatoire à densité}
\subsection{Définition}
\titre
\soustitre
\question{Comment calcule-t-on l'espérance dans le cas discret ?}
\begin{defi}{Espérance}
Soit $X$ une variable aléatoire à densité sur $(\Omega­,\mathcal{A} ,P)$ de densité $f_X$. \Trouer{On dit que $X$ admet une espérance si l'intégrale $\int_{- \infty}^{+\infty} t f_X(t) dt$ est absolument convergente. Dans ce cas, on appelle espérance de $X$, et on note $E(X)$ le nombre 
$$
E(X) = \int_{- \infty}^{+\infty} t f_X(t) dt
$$}
\end{defi}
\remarque{\Trouer{Il faut que l'intégrale soit absolument convergente.}}
\vspace{-40pt}
\tableau{\exercice}
\newpage
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{metodo}{VA admettant une espérance}
Pour montrer qu'une variable aléatoire à densité admet une espérance, on procède en deux temps :
\begin{enumerate}
\item On montre que l'intégrale est absolument convergente : Pour cela, on calcule $\displaystyle \int_a^0 tf_X(t) dt$ et $\displaystyle \int_0^b t f_X(t) dt$ et on montre que ces intégrales admettent une limite lorsque $a$ tend vers $- \infty$ et $b$ tend vers $+ \infty$. 
\item On conclut alors que $X$ admet une espérance qui vaut alors $ \displaystyle \int_{- \infty}^0 t f_X(t) dt + \int_0^{+ \infty} t f_X(t) dt$, valeurs qu'on aura calculées précédemment. 
\end{enumerate}
\end{metodo}
\tableau{\exercice}
\newpage
\end{frame}

\subsection{Propriétés.}
\begin{frame}
\soustitre
\question{Rappeler la propriété de linéarité de l'espérance.}
\begin{prop}{Linéarité de l'espérance}
Soit $X$ une variable aléatoire à densité sur $(\Omega­,\mathcal{A} ,P)$ {\bf admettant une espérance} et soit $a$ un réel non nul et $b$ un réel quelconque. Alors la variable aléatoire $aX + b$ admet également une espérance et on a
\[ E(aX +b) = a E(X) + b \]
\end{prop}
\tableau{\exercice}
\grand
\petit
\end{frame}

\subsection{Variable aléatoire centrée}
\begin{frame}
\soustitre
\begin{defi}{Variable aléatoire centrée}
Soit $X$ une variable aléatoire à densité sur $(\Omega­,\mathcal{A} ,P)$ {\bf admettant une espérance}.
\begin{itemize}
\item On dit que $X$ est une variable aléatoire centrée si $E(X) = 0$.
\item Si $X$ n'est pas centrée, la variable aléatoire $Y = X - E(X)$ est une variable aléatoire à densité centrée. 
\end{itemize}
\end{defi}
\end{frame}

\section{Lois usuelles à densité}
\subsection{La loi uniforme}

\begin{frame}
\titre
\soustitre
\pause
\begin{defi}{Loi uniforme}
Soit $X$ une variable aléatoire définie sur $(\Omega, \mathcal{A}, P)$. On dit que $X$ suit une loi uniforme sur l'intervalle $[a;b]$ et on note $X \loi \mathcal{U}([a;b])$, si $X$ est une variable aléatoire à densité, de densité
\[
f(x) = \begin{cases}
\dfrac{1}{b-a} & \text{si} \; x \in [a;b] \\
\quad 0 & \text{sinon} 
\end{cases}
\]
\end{defi}
\pause
\remarque{La loi uniforme sur $[a;b]$ est la même que sur $[a;b[$, $]a;b]$ ou $]a;b[$.}
\tableau{\exercice}
\grand
\end{frame}

\vspace{-20pt}
\begin{frame}
\begin{theo}{Fonction de répartition de la loi uniforme}
Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur $[a;b]$. La fonction de répartition de $X$ est la fonction $F_X$ définie sur $\R$ par
\[
F_X(x) \begin{cases}
0 & \text{si} \; x < a \\
\dfrac{x-a}{b-a} & \text{si} \; a \leq x \leq b \\
1 & \text{si} x > b
\end{cases}
\]
\end{theo}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{loi_uniforme.png}
\end{center}
\vspace{-20pt}
\tableau{\exercice}
\moyen
\petit
\end{frame}

\begin{frame}
\question{Quelle est l'espérance d'une variable uniforme dans le cas discret ?}
\pause
\begin{theo}{Espérance de la loi uniforme}
Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur $[a;b]$. $X$ admet une espérance et 
$$
E(X) = \dfrac{a+b}{2}
$$
\end{theo}
\tableau{\exercice}
\moyen
\end{frame}

\subsection{Loi exponentielle}
\begin{frame}
\soustitre
\pause
\begin{defi}{Loi exponentielle}
Soit $X$ une variable aléatoire définie sur $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ et $\lambda >0$. On dit que $X$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ et on note $X \loi{} \mathscr{E}(\lambda)$, si $X$ est une variable aléatoire à densité, de densité
\[
f(x) = \begin{cases}
\lambda e^{-\lambda x} & \text{si} \; x \geq 0 \\
\quad 0 & \text{sinon} 
\end{cases}
\]
\end{defi}
\pause
\remarque{La loi exponentielle est à support sur $\R_+$ mais peut également être définie sur $\R_+^*$.}
\tableau{\exercice}
\moyen
\petit
\end{frame}

\begin{frame}
\question{Simulation de la loi exponentielle}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.4]{loiexpo.png}
\end{center}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{theo}{Fonction de répartition de la loi exponentielle}
Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda$. La fonction de répartition de $X$ est la fonction $F_X$ définie sur $\R$ par
\[
F_X(x) \begin{cases}
0 & \text{si} \; x < 0 \\
1 - e^{-\lambda x} & \text{si} x \geq 0
\end{cases}
\]
\end{theo}

\tableau{\exercice}
\grand
\pause
\question{Quelle est l'espérance d'une variable aléatoire géométrique ?}
\pause
\begin{theo}{Espérance de la loi uniforme}
\pause
Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre $\lambda$. $X$ admet une espérance et 
\[
E(X) = \dfrac{1}{\lambda}
\]
\end{theo}
\tableau{\exercice}
\grand
. \moyen
\end{frame}

\begin{frame}
\pause
\begin{defi}{Loi sans mémoire}
Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs positives, et telle que pour tout $a \geq 0, P(X > a) > 0$. On dit que la loi de $X$ est sans mémoire si
\[
\forall a,b  \in \R_+, \quad P_{(X>a)} (X > a+b) = P(X >b)
\]
\end{defi}
\pause
\remarque{Par définition des probabilités conditionnelles, la loi de $X$ est sans mémoire ssi}
\[ 
\forall a,b  \in \R_+, \quad P(X > a+b) = P(X >a)P(X >b)
\]
\pause
\begin{theo}{La loi exponentielle est sans mémoire}
Soit $X$ une variable à densité, à valeurs positives, et telle que $\forall a > 0,P(X > a) > 0$. Alors $X$ est une variable sans mémoire si et seulement si $X$ suit une loi exponentielle.
\end{theo}
\tableau{Montrer que la loi géométrique et la loi exponentielle sont des lois sans mémoires.}
\grand
\end{frame}

\subsection{Loi normale}
\begin{frame}
\soustitre
\pause
Dans cette partie, on se fixe un réel $p \in ]0;1[$ et on considère $Z_n$ une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètre $p$ et $n$ que l'on centre et réduit.
\pause
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{loinormale.png}
\end{center}
\end{frame} 

\begin{frame}
\pause
\begin{defi}{Densité de la loi normale centrée réduite}
Soit $X$ une variable aléatoire définie sur $(\Omega, \mathcal{A}, P)$. On dit que $X$ suit une loi normale centrée réduite et on note $X \loi{} \mathscr{N}(0,1)$, si $X$ est une variable aléatoire à densité, de densité
\[
f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{- \frac{x^2}{2}}
\]
\end{defi}
\tableau{\exercice}
\grand
\pause
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{loinorm.png}
\end{center}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{theo}{Fonction de répartition}
Soit $X$ une variable aléatoire à densité suivant la loi normale centrée réduite.
\begin{itemize}
\item Sa fonction de répartition est notée $\Phi$ :
\[
\Phi (x) = \int_{- \infty}^x \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{- \frac{x^2}{2}} dx
\]
\pause
\item Pour tout réel $x$, $\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)$, et $\Phi(0) = \dfrac{1}{2}$
\pause
\item Pour tout réel $x$, $P(-x \leq X \leq x) = 2 \Phi(x) -1$.
\pause
\item $X$ admet une espérance et $E(X) = 0$. 
\end{itemize}
\end{theo}
\pause
\remarque{Vous verrez l'année prochaine que $X$ admet une variance, qui vaut $1$. D'où la notation $\mathscr{N} (0, 1)$.}
\tableau{\exercice}
\moyen
\end{frame}


\begin{frame}
\newpage
\begin{defi}{Densité de la loi normale}
Soit $X$ une variable aléatoire définie sur $(\Omega, \mathcal{A}, P)$, $\mu \in \R$, $\sigma \in \R_+^*$. On dit que $X$ suit la loi normale de paramètre ($\mu$,$\sigma^2$), et on note $X \loi{} \mathscr{N}(\mu,\sigma^2)$, si $X$ est une variable aléatoire à densité, de densité
\[
f(x) = \dfrac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}e^{- \frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}
\]
\end{defi}
\tableau{\exercice}
\pause
\newpage
\begin{theo}{Espérance}
Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi normale de paramètres $(\mu,\sigma^2)$. Alors $X$ admet une espérance, et $E(X) = \mu$.
\end{theo}
\pause
\remarque{Vous verrez que $X$ admet une variance, qui vaut $\sigma^2$. Ainsi $\sigma$ représente l'écart-type de la loi normale.}
\vspace{-10pt}
\tableau{\exercice}
\end{frame}

\newpage
\begin{frame}
\begin{prop}{Transformation affine}
Soit $\mu \in \R$ et $\sigma >0$. Alors 
\[
X \loi{} \mathscr{N}(\mu, \sigma^2) \; \Leftrightarrow \; X^* = \dfrac{X- \mu}{\sigma} \loi{} \mathscr{N}(0,1)
\]
\end{prop}
\tableau{\exercice}
\end{frame}


\end{document}
