\input{../preambules/prepoly.tex}

\versionprof
%Pour le TITLEPAGE
\title{Chapitre 23: Applications linéaires}
\date{}
\newcommand{\A}{\mathcal{A}}
\renewcommand{\P}{P}

\begin{document}

\begin{frame}
	\titlepage
	\vspace{50pt}
	\tableau{Rappeler des propriétés de linéarités}
\end{frame}
\grand
\section{Applications linéaires.}


\begin{frame}
\titre

\begin{defi}{Applications linéaires}
Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels. Une application de $E$ dans $F$ est dite linéaire si et seulement si
\begin{enumerate}
\item $\forall (x,y) \in E^2$, $f(x+y) = f(x) + f(y)$
\item $\forall x \in E, \forall \lambda \in \R$, $f(\lambda x) = \lambda f(x)$.
\end{enumerate} 
\end{defi}
\pause
\remarque{L'ensemble des applications linéaires de $E$ dans $F$ est notée $\mathcal{L}(E,F)$}
\pause
\begin{metodo}{Montrer qu'une application est linéaire.}
Pour montrer qu'une application est linéaire, on prendra $x$ et $y$ dans l'ensemble $E$, $\lambda$ un réel et on montre
$$
f( \lambda x + y) = \lambda f(x) + f(y)
$$
\end{metodo}
\tableau{\exercice}
\end{frame}
\newpage
\begin{frame}
\begin{prop}{Propriétés des applications linéaires}
Si $f$ est une application linéaire de $E$ dans $F$ :
\begin{enumerate}
\item $f(0_E) = 0_F$ 
\item $ \forall x \in E, f(-x) = - f(x) $
\item $f( \lambda_1 x_1 + \ldots + \lambda_n x_n ) = \lambda_1 f(x_1) + \ldots + \lambda_n f(x_n)$. 
\end{enumerate}
\end{prop}

\pause
\begin{defi}{Endomorphisme}
Dans le cas où $E$ et $F$ sont le même espace vectoriel, une application linéaire est appelé endomorphisme. L'ensemble des endomorphismes de $E$ est noté $\mathcal{L}(E)$. 
\end{defi}
\tableau{\exercice}
\end{frame}
\newpage

\begin{frame}
\begin{theo}{Lien avec les matrices}
Toute application linéaire de $\M_{n,1}(\R)$ dans $\M_{p,1}(\R)$ est de la forme
$$
f : x \to MX,
$$
où $M$ est une matrice de $\M_{p,n}( \R)$. 
\end{theo}
\pause
\remarque{Toute application linéaire est liée à une matrice}
\begin{metodo}{Déterminer la matrice associée à une application linéaire}
Pour déterminer la matrice d'une application linéaire $f$ de $\M_{n,1}(\R)$ dans $\M_{p,1}(\R)$:
\begin{enumerate}
\item Il faut considérer $(e_1, \ldots, e_n)$ la base canonique de $\M_{n,1}(\R)$. 
\item Calculer $f(e_1)$, $f(e_2), \ldots, f(e_n)$. 
\item \'Ecrire les résultats obtenus en colonne. 
\end{enumerate}
\end{metodo}

\tableau{\exercice}
\newpage
\end{frame}

\section{Noyau d'une application linéaire}
\begin{frame}
\titre
\pause
\begin{defi}{Noyau d'une application linéaire}
Soit $f$ une application linéaire de $E$ dans $F$. On appelle noyau de $f$ noté $Ker(f)$ le sous-ensemble de $E$ défini par :
$$
Ker(f) = \{ x \in E, f(x) = 0_F \}
$$
\end{defi}
\remarque{Pour déterminer le noyau de $f$, on est conduit à la résolution d'un système linéaire.}
\pause
\begin{metodo}{Déterminer le noyau}
Pour déterminer le noyau d'une application linéaire de $\M_{n,1}(\R)$ dans $\M_{p,1}(\R)$ de matrice $\M$ dans les bases canoniques, on résout le système $MX = 0$.
\end{metodo}
\tableau{\exercice}
\moyen
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{prop}{}
Soit $f$ une application linéaire de $E$ dans $F$. $Ker(f)$ est un sous-espace vectoriel de $E$. 
\end{prop}
\pause
\begin{metodo}{Montrer qu'un ensemble est un espace vectoriel}
Pour montrer qu'un ensemble $E$ est un sous-espace vectoriel on pourra montrer que $E$ est le noyau d'une application linéaire adéquate.  
\end{metodo}
\tableau{\exercice}
\moyen
\end{frame}

\section{Image d'une application linéaire}
\begin{frame}
\titre
\begin{defi}{Image d'une application linéaire}
Soit $f$ une application linéaire de $E$ dans $F$. On appelle image de $f$, noté $Im (f)$ le sous-ensemble de $F$ défini par :
$$
Im(f) = \{ y \in F, \; \exists x \in E, \; y = f(x) \}.
$$
C'est l'ensemble des images des éléments de $E$. 
\end{defi}
\pause
\begin{metodo}{Image d'une application linéaire}
Pour déterminer l'image d'une application linéaire de $\M_{n,1}(\R)$  dans $\M_{p,1}(\R)$ de matrice $M$ dans les bases canoniques on détermine les valeurs de $Y$ pour lesquelles $MX = Y$ a au moins une solution.
\end{metodo}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{prop}{}
Soit $f$ une application linéaire de $E$ dans $F$. On note $B = (e_1, \ldots, e_n)$ la base canonique de $E$. $Im(f)$ est le sous-espace vectoriel de $F$ engendré par la famille $(f(e_1), . . . , f(e_n))$, c'est à dire :
$$
Im(f) = Vect(f(e_1), \ldots, f(e_n) ).
$$
\end{prop}
\pause
\begin{metodo}{Déterminer l'image d'une application linéaire}
Pour déterminer l'image d'une application linéaire :
\begin{enumerate}
\item On considère $(e_1, \ldots, e_n)$ la base canonique de $\M_{n,1}(\R)$. 
\item On calcule $u_1 = f(e_1)$, $u_2 = f(e_2), \ldots, u_n =f(e_n)$. 
\item On regarde si la famille $(u_1, \ldots , u_n)$ est libre. 
\end{enumerate}
\end{metodo}

\tableau{\exercice.}
\end{frame}



\end{document}
