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\title{Chapitre 21:
Convexité - \'Etude de fonctions}
\date{}
\newcommand{\A}{\mathcal{A}}
\renewcommand{\P}{P}

\begin{document}

\begin{frame}
	\maketitle
	
	\begin{savoirfaire}
	\item \'Etudier le caractère $\mathcal{C}^n$ ou $\mathcal{C}^{\infty}$ d'une fonction.
	\item \'Etudier la convexité d'une fonction
	\item \'Etude de fonction. 
	\end{savoirfaire}
\end{frame}

\section{Fonctions de classe $\mathcal{C}^n$.}
\subsection{Dérivées successives}
\begin{frame}
\titre
\soustitre
\question{Qu'appelle t-on dérivée seconde ?}
\begin{defi}{Dérivées successives}
\Trouer{Soit $f$ définie sur $I$. Si $f$ est dérivable $k$ fois successivement on note $f^{(k)}$ sa $k$-ième dérivée. On a
\[
f^{(0)}=f,\ f^{(k)}=(f^{(k-1)})'
\]}
\end{defi}
\remarque{La dérivée seconde  est souvent notée $f''$.}
\tableau{\exercice}
\grand
\petit
\end{frame}


\subsection{Fonctions de classe $\mathcal{C}^n$}
\begin{frame}
\soustitre
\question{Rappeler ce qu'est une fonction de classe $\mathcal{C}^0$ et $\mathcal{C}^1$. }
\begin{defi}{Fonctions de classe $\mathcal{C}^n$ et $\mathcal{C}^{\infty}$}
Soit\emph{ n} $\in\mathbb{N}$
\Trouer{\begin{itemize}
\item On dit que la fonction \emph{f }est de \textbf{classe $\mathcal{C}^{n}$ sur
}\textbf{\emph{I}} si \emph{f} est $n$ fois dérivable sur $I$ et
si et $f^{(n)}$est \textbf{continue} sur \emph{I}.
\item On dit que la fonction \emph{f} est de\textbf{ classe $\mathcal{C}^{\infty}$
sur }\textbf{\emph{I}} si \emph{f} est de classe $\mathcal{C}^{k}$ pour tout
entier \emph{k} c'est à dire si \emph{f} est \textbf{indéfiniment}
\textbf{dérivable}.
\end{itemize}}
\end{defi}
\remarque{$\mathcal{C}^n (I)$ est l'ensemble des fonctions de $I$ dans $\R$ qui sont de classe $\mathcal{C}^n$. }
\tableau{\exercice}
\petit
\end{frame}

\subsection{Opérations sur les fonctions de classe $\mathcal{C}^n$}
\begin{frame}
\soustitre
\begin{prop}{Opérations}
\Trouer{Les \textbf{sommes, combinaisons linéaires, produits, quotients} bien
définis, composées de fonctions \textbf{\emph{n }}\textbf{fois dérivables}
(respectivement de \textbf{classe} $C^{n}$) , avec $n$ un entier
naturel, sont encore des fonctions \textbf{\emph{n }}\textbf{fois
dérivables} (respectivement de \textbf{classe} $C^{n}$).
Cette proposition s'étend aux fonctions de classe $C^{\infty}$}
\end{prop}

\remarque{Toutes les fonctions usuelles (exponentielle, logarithme, puissances, ...) sont de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur leur ensemble de définition sauf :}
\Trouer{\begin{itemize}
\item la fonction valeur absolue , qui est $C^{\infty}$ sur $\mathbb{R}_+^{*}$
et $\mathbb{R}_-^{*}$ mais pas sur $\mathbb{R}$
\item la fonction racine carrée, qui est $C^{\infty}$ sur $\mathbb{R}_+^{*}$
\end{itemize}}
\vspace{-15pt}
\tableau{\exercice}
\moyen
\end{frame}

\section{Convexité et point d'inflexion}
\subsection{Définition, interprétation graphique}
\begin{frame}
\titre
\soustitre
\question{Quelles fonctions sont convexes ? Concaves ?}

\begin{defi}{Segment}
Soit $a,b \in \R$ alors le segment $[a,b]$ peut être décrit par :
\Trouer{\[
[a,b] = \{ ta + (1 - t)b , t \in [0,1] \}. 
\] }
\end{defi}
%\tableau{\href{run:Segment.ggb}{Segment GeoGebra}}
\begin{defi}{fonction convexe} 
Soit \emph{f} une fonction définie sur un intervalle
$I$.
\Trouer{On dit que la fonction \emph{f} est \textbf{convexe sur }\textbf{\emph{I}}
si : 
\[
\forall (a,b)\in I^2,\;\forall t\in[0,1]\:,\; f(ta+(1-t)b)\leq tf(a)+(1-t)f(b)
\]}
\end{defi}
%\tableau{\href{run:Convexite.ggb}{Convexité GeoGebra}}
\end{frame}


\begin{frame}

\remarque{$f$ est convexe si et seulement 
si sa courbe représentative est en dessous de ses cordes.}
\remarque{Si on a }
\vspace{-20pt}
\Trouer{\[
\forall (a,b)\in I^2,\;\forall t\in[0,1]\:,\; f(ta+(1-t)b)\geq tf(a)+(1-t)f(b)
\]
la fonction est dite concave.}
%\tableau{\href{run:Concavite.ggb}{Concavité GeoGebra}}

\remarque{}
\Trouer{$\bullet$ $f$ convexe $\Longleftrightarrow -f$ concave.
$\bullet$ Si $f$ est bijective, $f$ convexe $\Leftrightarrow$ $f^{-1}$ concave}
\tableau{Montrer en raisonnant par équivalent que $f(x)=x^2$ est convexe sur tout intervalle $[a,b]$.}
\grand
\end{frame}


\begin{frame}
\begin{defi}{Point d'inflexion}
\Trouer{On appelle \textbf{point d\textquoteright{}inflexion }d'une courbe
représentative un point où la courbure de la courbe change. C'est à dire où la fonction passe de concave à convexe ou inversement. }
\end{defi}
\begin{ex}{}
\Trouer{La courbe représentative de la fonction cube admet
un point d'inflexion au point d'abscisse 0}
\end{ex}
\remarque{Si la courbe admet un point d'inflexion alors ce n'est pas un extremum local}
%\tableau{\href{run:xaucube.ggb}{Fonction cube GeoGebra}}
\vspace{100pt}
\end{frame}

\subsection{Cas des fonctions de classe $\mathcal{C}^1$}

\begin{frame}
\soustitre
\question{Lien entre fonction $\mathcal{C}^1$ et convexité}
\begin{prop}{Convexité et fonctions $\mathcal{C}^1$} 
\Trouer{Soit \emph{f} une fonction \textbf{de classe
$\mathcal{C}^{1}$ }sur un intervalle I. On note $\mathscr{C}_{f}$ sa représentation
graphique. $f$ est convexe (respectivement. concave) sur I si et
seulement si l'une de ces deux propositions est vérifiée :
(i) $f'$ est croissante (respectivement décroissante) sur I
(ii) $\mathscr{C}_{f}$ est au-dessus de ses tangentes (respectivement en dessous)}
\end{prop}
\vspace{100pt}

%\tableau{\href{run:tangente.ggb}{Tangente GeoGebra}}
\end{frame}

\subsection{Cas des fonctions de classe $\mathcal{C}^2$}
\begin{frame}
\soustitre
\question{Lien entre fonction $\mathcal{C}^2$ et convexité}
\begin{prop}{Convexité et fonctions $\mathcal{C}^2$} 
\Trouer{Soit $f$ une fonction \textbf{de classe $\mathcal{C}^{2}$}
sur un intervalle I. 
\emph{$f$} convexe (respectivement concave) sur I $\Longleftrightarrow$
$f\:''$ est positive (respectivement négative) sur I.}
\end{prop}
\remarque{En général, on montre qu'une fonction est convexe (ou concave) pour pouvoir la tracer plus précisément et pour obtenir des inégalités .}
\tableau{\exercice \; et \exercice}
\newpage
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{prop}{Points d'inflexions et fonctions $\mathcal{C}^2$} 
\Trouer{Soit \emph{f }une fonction de classe $\mathcal{C}^{2}$
sur I et\emph{ }$x_{0}$ un point de $I$ qui n'est pas une extrémité
de l'intervalle. Alors le point de $\mathscr{C}_{f}$ d\textquoteright{}abscisse
$x_{0}$ est un point d\textquoteright{}inflexion\emph{ }si et seulement
si \emph{$f\:''$} s\textquoteright{}annule en changeant de signe
en $x_{0}$ }
\end{prop}
\tableau{\exercice}
\moyen
\end{frame}

%\section{Compléments d'analyse}
%
%\subsection{Prolongement par continuité}
%\begin{frame}
%\titre 
%\soustitre
%\question{Soit la fonction $f$ définie sur $\R_+^*$ par $f(x) = x \ln(x)$. La fonction $f$ est-elle continue en $0$ ?}
%
%\pause
%\begin{defi}{Prolongement par continuité}
%Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ sauf en un réel $a$. On suppose que $f$ est continue sur $I \setminus \{ a \}$, et qu'il existe un réel $\ell $ tel que $\li_{x \to a} f(x) = \ell $. On dit qu'on peut prolonger par continuité la fonction $f$ en posant $f(a) = \ell$. On définit ainsi une nouvelle fonction, définie sur $I$, qui est continue sur $I$ et coïncide avec $f$ sur $I \setminus \{ a \}$.
%\end{defi}
%
%\pause
%\remarque{Rigoureusement, on doit définir une nouvelle fonction $\tilde{f}$. En pratique, on confondra toujours $f$ et $\tilde{f}$. }
%\tableau{\exercice}
%\grand
%\end{frame}
%
%\subsection{Théorème de la limite monotone}
%
%\begin{frame}
%\soustitre
%\question{Rappelez le théorème de la limite monotone pour les suites}
%
%\begin{theo}{Théorème de la limite monotone}
%Toute fonction $f$ continue, croissante et majorée admet une limite finie en $+ \infty$. De même, toute fonction continue, décroissante et minorée, admet une limite finie en $+ \infty$. 
%\end{theo}
%\end{frame}
%
%\subsection{Tracer une droite}
%
%\begin{frame}
%\soustitre
%\question{On veut tracer la droite d'équation $y = 2x +1$. }
%\begin{metodo}{1ère méthode}
%Calculer deux points de la droite puis relier ces 2 points. 
%\end{metodo}
%\begin{center}
%\includegraphics[scale=0.5]{quadrillage.png}
%\end{center}
%\end{frame}
%
%\begin{frame}
%\soustitre
%\question{On veut tracer la droite d'équation $y = 2x +1$. }
%\begin{metodo}{2nde méthode}
%Placer l'ordonnée à l'origine. Décaler de 1 vers la droite et monter (ou descendre) du coefficient directeur. 
%\end{metodo}
%\begin{center}
%\includegraphics[scale=0.5]{quadrillage.png}
%\end{center}
%\end{frame}

\section{\'Etude complète de fonction}

\subsection{\'Etudes préliminaires}

\begin{frame}
\titre

Nous utiliserons la fonction de l'exercice 13 de la feuille de $TD$ dans toute cette partie, à savoir,
\[
f\left(  t\right)  =\left\{
\begin{array}
[c]{cc}%
t\ln\left(  t\right)  & \text{si }t\neq0\\
0 & \text{si }t=0
\end{array}
\right.
\]
\soustitre
\begin{metodo}{Domaine de définition}
Le domaine de définition est souvent donné. Mais dans le cas contraire,
\begin{enumerate}
\item On vérifie que toute expression du dénominateur est différente de $0$. 
\item On vérifie que toute expression dans une racine est supérieure ou égale à $0$.
\item On vérifie que toute expression dans un logarithme est strictement supérieure à $0$. 
\end{enumerate}
\end{metodo}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{metodo}{\'Etudier la parité}
\begin{enumerate}
\item On vérifie que le domaine de définition est symétrique. 
\item On calcule $f(-x)$. 
\end{enumerate}
\end{metodo}
\remarque{Si la fonction est paire, la courbe sera symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Si la fonction est impaire, la courbe sera symétrique par rapport à l'origine.}
\begin{metodo}{\'Etudier la continuité, le caractère $\mathcal{C}^1$}
\begin{enumerate}
\item Déterminer les points problématiques.
\item Calculer les limites pour montrer la continuité
\item Calculer la limite du taux d'accroissement pour le caractère $\mathcal{C}^1$
\end{enumerate}
\end{metodo}
\end{frame}


\subsection{Tableau de variation}

\begin{frame}
\soustitre
\begin{metodo}{\'Etudier les variations}
\begin{enumerate}
\item Montrer que la fonction est dérivable sur l'ensemble de définition. 
\item Calculer la dérivée. 
\item \'Etudier le signe de la dérivée
\end{enumerate}
\end{metodo}
\begin{metodo}{Déterminer les limites}
Déterminer les limites de la fonctions aux bords de l'ensemble de définition. 
\begin{enumerate}
\item Si $\li_{x \to \pm \infty} f(x) = \ell$, on a une asymptote horizontale à la courbe en l'infini. 
\item Si $\li_{x \to a} f(x) = \pm \infty$, on a une asymptote verticale à la courbe en $x = a$. 
\end{enumerate}
\end{metodo}
\begin{metodo}{Tracer le tableau de Variation}
Tracer le tableau en y apportant tout éléments utiles pour le tracé de la courbe. 
\end{metodo}
\end{frame}

\subsection{Tracé de courbe}
\begin{frame}
\soustitre
\begin{metodo}{Equation de la tangente}
Définition de l'équation de la tangente
\end{metodo}
\begin{metodo}{Convexité de la courbe}
\begin{enumerate}
\item Montrer que la fonction est de classe $\mathcal{C}^2$.
\item Calculer la dérivée seconde. 
\item \'Etudier le signe de la dérivée seconde. 
\end{enumerate}
\end{metodo}
\begin{metodo}{Tracé de courbe}
\begin{enumerate}
\item On trace les asymptotes
\item On trace les tangentes et les tangentes verticales.
\item On met les points utilisés dans le tableau de variation.
\item On fait attention aux points particuliers, à la convexité, à la parité. 
\end{enumerate}
\end{metodo}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[scale=0.45]{asymptote.png}
\caption{Asymptotes verticale et horizontale}
\end{figure}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[scale=0.6]{Fct_convexe.png}
\caption{Fonction convexe}
\end{figure}
\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[scale=0.45]{Fct_concave.png}
\caption{Fonction concave}
\end{figure}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{metodo}{tangente horizontale}
Point ou la dérivée de la fonction est nulle. 
\end{metodo}
\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[scale=0.65]{Tngte_horizontale.png}
\caption{Tangente horizontale}
\end{figure}
\end{frame}

\begin{frame}
\vspace{100pt}
\begin{metodo}{Point d'inflexion}
Changement de convexité. La dérivée seconde de la fonction doit être nulle.
\end{metodo}
\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[scale=0.5]{Pt_d'inflexion.png}
\caption{Point d'inflexion}
\end{figure}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{metodo}{Point anguleux}
Point ou il y a deux demi-tangentes
\end{metodo}
\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[scale=0.5]{Pt_anguleux.png}
\caption{Point anguleux}
\end{figure}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{metodo}{Point Rebroussement}
Point ou la tangente est verticale (la limite de la dérivée est $\pm \infty$).
\end{metodo}
\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[scale=0.5]{Pt_rebroussement.png}
\caption{Point de rebroussement}
\end{figure}
\end{frame}


\end{document}
