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\title{Chapitre 19:
Techniques d'intégration}
\newcommand{\A}{\mathcal{A}}
\renewcommand{\P}{P}
\date{}

\begin{document}

\begin{frame}
	\maketitle
	\begin{savoirfaire}
	\item \'Etudier une suite définie par une intégrale
	\item Calculer une intégrale à l'aide d'une intégration par parties
	\item Calculer une intégrale à l'aide d'un changement de variable. 
	\item Reconnaitre une somme de Riemann et calculer sa limite. 
	\end{savoirfaire}
\end{frame}

\section{Propriétés d'encadrement et valeur moyenne.}
\subsection{Encadrement}
\begin{frame}
\titre
\soustitre
\question{Si une fonction $f$ est positive, que dire de l'intégrale de $f$ ?}
\begin{prop}{Positivité de l'intégrale}
Soit $f$ une fonction \textbf{continue} sur un segment
$[a;b]$ avec $a\leqslant b$.
\Trouer{\begin{itemize} 
\item Si pour tout réel $t$ de $[a;b]$, $f(t) \geqslant 0$, alors
$$\int_{a}^{b}f(t)dt\geqslant0.$$
\item Si pour tout réel $t$ de $[a;b]$, $f(t) \leqslant g(t)$, alors
$$\int_{a}^{b}f(t)dt \leqslant \int_a^bg(t) dt.$$
\end{itemize}}
\end{prop}
\remarque{Il faut absolument que $a \leqslant b$ et que les fonctions soient continues}
\tableau{Démonstration de la propriété et \exercice}
\grand
\end{frame}

\begin{frame}
\question{Que dire si $f$ est positive d'intégrale nulle ?}
\begin{cor}
\Trouer{Soit $f$ une fonction continue et positive sur $[a;b]$. Si
\[
\int_a^b f(t) dt = 0
\]
alors $f(t) =0$ pour tout $t \in [a,b]$.}
\end{cor}
\end{frame}

\subsection{Valeur moyenne d'une fonction}
\begin{frame}
\soustitre
\question{Comment définir une valeur moyenne pour une fonction ?}
\begin{defi}{Valeur moyenne}
Soit f une fonction continue sur un segment $[a;b]$. Le nombre réel
\Trouer{\[
\dfrac{1}{b-a} \int_a^b f(t) dt
\]
est appelé valeur moyenne de $f$ entre $a$ et $b$. }
\end{defi}
\begin{theo}{Inégalité de la moyenne}
Soit $f$ une fonction continue sur un segment $[a,b]$ \Trouer{tel que pour tout $t \in [a,b]$, $m \leqslant f(t) \leqslant M$ alors
\[
m(b-a) \leqslant \int_a^b f(t) dt \leqslant M(b-a) \quad \text{ou} \quad m \leqslant \dfrac{1}{b-a} \int_a^b f(t) dt \leqslant M
\]}
\end{theo}
\tableau{Démonstration de deux façons}
\grand
\tableau{\exercice}
\moyen
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{theo}{}
\Trouer{Soit $f$ une fonction continue sur un segment $[a,b]$. Il existe un réel $c$ situé entre $a$ et $b$, tel que 
\[
\dfrac{1}{b-a} \int_a^b f(t) dt = f(c)
\]}
\end{theo}
\tableau{Démonstration du théorème}
\petit
\question{Redonner l'inégalité triangulaire}
\begin{theo}{Inégalité triangulaire}
Soit $f$ une fonction \textbf{continue} sur un segment $[a;b]$ avec
$a\leqslant b$ alors
\Trouer{$$
\abs{\int_a^b f(t)dt}
\leq \int_a^b \abs{f(t)}dt
\leq (b-a)\max_{t\in[a,b]}\abs{f(t)}
$$}
\end{theo}
\tableau{\exercice}
\moyen
\end{frame}

\section{Méthode de calcul d'intégrales}
\subsection{Intégration par parties}
\begin{frame}
\titre
\soustitre
\question{Rappeler la formule de dérivation $(uv)'$}
\begin{theo}{Intégration par partie}
\Trouer{Soient $u$ et $v$ deux fonctions de classe $\mathcal{C}^1$ sur un segment $[a;b]$. Alors
\[
\int_a^b u(t)v'(t) dt = \left[u(t) v(t)\right]_a^b - \int_a^b u'(t) v(t) dt
\]}
\end{theo}
\tableau{Démonstration directe du théorème}
\eq
\begin{metodo}{Intégration par partie}
Pour calculer une intégrale par intégration par partie, on détermine les fonctions u et v qui interviennent et on vérifie qu'elles sont de classe $\mathcal{C}^1$ sur l'intervalle considéré.
\end{metodo}
\question{\exercice}
\grand
\eq
\end{frame}

\subsection{Changement de variable}
\begin{frame}
\soustitre
\question{Rappeler la formule de dérivation pour $(u \circ v) '$}
\begin{theo}{Changement de variable}
Si $f$ est une fonction continue sur $[a;b]$ et $\varphi$ une fonction de classe $C^{1}$ sur $f([a,b])$ alors:
\Trouer{\[
\int_{a}^{b}f\circ\varphi(u)\varphi'(u)du = \int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)}f(t)dt
\]}
\end{theo}
\remarque{La plupart du temps, le changement de variable sera donné (les seuls que vous devez savoir trouver sont ceux de la forme $u = at + b$}
\tableau{\exercice}
\petit
\end{frame}


\begin{frame}
\begin{metodo}{Changement de variable}
Soit $I = \int_a^b f(t) dt$. On veut remplacer la variable $t$ par la variable $x$. 
\begin{enumerate}
\item On écrit $x$ en fonction de $t$. (donné souvent dans l'énoncé)
\item On écrit $dx$ en fonction de $dt$ (en dérivant)
\item On remplace 3 choses 
\begin{enumerate}
\item On remplace $dt$ par la formule avec $dx$
\item Tous les $t$ doivent être remplacé par des $x$
\item Les bornes de l'intégrale doivent être changés. 
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{metodo}
\tableau{\exercice}
\grand
\end{frame}

\section{Somme de Riemann}
\begin{frame}
\titre
\question{Comment définir les intégrales à l'aide de rectangle ?}
\begin{defi}{Somme de Riemann}
Soit $f$ une fonction continue sur un segment $[a,b]$ et $n\geq 1$. \Trouer{On appelle somme de Riemann (à pas constant) la somme:
$$
S_n=\frac{b-a}{n}\sum_{k=0}^{n-1} f\pare{a+k\frac{b-a}{n}}
$$}
\end{defi}

\begin{theo}{Somme de Riemann}
\Trouer{Si $f$ est continue sur $[a,b]$, $\lim\limits_{n \to +\infty} S_n = \int_a^bf(t)dt$.}
\end{theo}

\tableau{\exercice}
\end{frame}

\end{document}
