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\title{Chapitre 18: Introduction aux espaces vectoriels}
\date{}
\newcommand{\A}{\mathcal{A}}
\renewcommand{\P}{P}
\versioneleve

\begin{document}

\begin{frame}
	\maketitle
	\vspace{-15pt}
	\begin{savoirfaire}
	\item Montrer qu'un vecteur s'écrit comme combinaison linéaire d'autres vecteurs.
	\item Montrer qu'un ensemble est un sous-espace vectoriel.
	\item Trouver une famille libre, génératrice ou une base d'un sous espace vectoriel
	\item Exprimer et simplifier un espace vectoriel sous la forme d'un Vect.  
	\end{savoirfaire}
\end{frame}
\vspace{-20pt}
\section{Rappels sur les vecteurs}
\subsection{Vecteur du plan}
\begin{frame}
\titre
\soustitre
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{defi}{Vecteur}
Un vecteur est défini par :
\begin{itemize}
\item une longueur
\item une direction 
\item un sens
\end{itemize}
\end{defi}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.35]{vecteur.png}
\end{center}
\end{minipage}

\begin{prop}{}
On peut également définir un vecteur du plan à l'aide de deux coordonnées
$\vec{u} = \begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}$
\end{prop}
\end{frame}
\vspace{-15pt}
\subsection{Vecteur et dimension}
\begin{frame}
\soustitre
\vspace{12pt}
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
Droite des réels $\R$ (Dimension 1)
\begin{center}
$\vec{u} = \begin{pmatrix}
x
\end{pmatrix}$
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{droiteR.png}
\end{center}
\end{minipage}

\vspace{15pt}
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
Plan réel $\R^2$ (Dimension 2)
\begin{center}
$\vec{u} = \begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}$
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.2]{vecteur2.jpg}
\end{center}
\end{minipage}

\vspace{15pt}
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
Espace $\R^3$ (Dimension 3)
\begin{center}
$\vec{u} = \begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}$
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.2]{vecteur3.jpg}
\end{center}
\end{minipage}
\vspace{-10pt}
\question{Que dire des vecteurs dans des espaces de dimension supérieures ?}
\end{frame}

\subsection{Calculs avec des vecteurs}
\begin{frame}
\soustitre
\question{Quels calculs peut-on faire avec des vecteurs ?}
\vspace{12pt}
\begin{minipage}{0.6\linewidth}
Addition de 2 vecteurs
\begin{center}
\begin{itemize}
\item $\vec{u} + \vec{v}$ est un vecteur
\item $\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}$ (commutativité)
\item $\vec{u} + (\vec{v} + \vec{w}) = (\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w}$ (associativité)
\item $\vec{u} + \vec{0} = \vec{0} + \vec{u} = \vec{u}$ (élément neutre)
\end{itemize}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.3\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.08]{addition.png}
\end{center}
\end{minipage}

\vspace{15pt}
\begin{minipage}{0.6\linewidth}
Multiplication par un réel $\lambda$
\begin{center}
\begin{itemize}
\item $\lambda . \vec{u}$ est un vecteur
\item $\lambda(\vec{u} + \vec{v}) = \lambda \vec{u} + \lambda\vec{v}$ (distributivité)
\item $(\lambda + \mu) \vec{u} = \lambda \vec{u} + \mu \vec{u}$
\item $\lambda . (\mu \vec{u}) = (\lambda \times \mu) . \vec{u}$
\end{itemize}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.3\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.2]{multiplication.png}
\end{center}
\end{minipage}


\end{frame}

\section{Espaces vectoriels $\mathcal{M}_{n,1}(\R)$}
\subsection{Définition}
\begin{frame}
\titre
\soustitre
\question{Loi internes et lois externes ?}
\begin{defi}{Loi de composition interne et externe} 
Soit $E$ un ensemble non vide :
\begin{itemize}
\item On dit que la loi $+$ est une \textbf{loi de composition interne
}sur $E$ si : 
\[
\forall x,y\in E,\quad x+y\in E
\]

\item On dit que la loi $\cdot$ est une \textbf{loi de composition externe
}sur $E$ si :
\[
\forall x\in E,\;\forall\lambda\in\mathbb{R},\;\lambda\cdot x\in E
\]
\end{itemize}
\end{defi}
\tableau{Donnez des exemples de lois interne ou externe}
\grand
\end{frame}

\begin{frame}

\begin{defi}{Espace vectoriel}
On appelle \textbf{espace vectoriel sur $\mathbb{R}$
}ou \textbf{$\mathbb{R}$-espace vectoriel} tout ensemble \textbf{non
vide} $E$, muni d'une loi de composition interne notée $+$ et d'une
loi de composition externe notée $\cdot$ qui vérifient toutes les propriétés suivantes : $\forall (x,y,z) \in E^3$, $\forall (\lambda, \mu) \in \R^2$
\begin{enumerate}
\item \begin{itemize}
\item $x+y=y+x\mathrm{\qquad(Commutativit\acute{e}\; de\; la\; loi\;+)} $
\item $ (x+y)+z=x+(y+z)\qquad\mathrm{(Associativit\acute{e}\; de\; la\; loi\;+)} $
\item $ \exists \;\mathit{0}_E \in E\: tel\; que\;\forall\mathit{x\in E,\: x+0_E=0_E+x=x} $
\item $\forall x\in E,\:\mathrm{il\; existe\; y \in\mathit{E},\: appel\acute{e}\; oppos\acute{e}\; de\;\mathit{x}\;  que\;\mathit{x+y=0_E}} $
\end{itemize} 
\item \begin{itemize}
\item $ 1.x=x $
\item $\lambda\cdot(x+y)=\lambda\cdot x+\lambda\cdot y \quad \mathrm{(distributivit\acute{e})} $
\item $(\lambda+\mu)\cdot x=\lambda\cdot x+\mu\cdot x $
\item $\lambda\cdot(\mu\cdot x)=(\lambda\times\mu)\cdot x $
\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{defi}
\remarque{Les éléments de $E$ sont appelés des vecteurs et les réels sont appelés des scalaires}
\remarque{On n'utilisera jamais cette définition pour montrer qu'un espace est un espace vectoriel}
\question{Démontrer que l'espace $\mathcal{M}_{n,1}(\R)$ est un espace vectoriel}
\newpage
\end{frame}

\subsection{Combinaisons linéaires de $\mathcal{M}_{n,1}(\R)$}
\begin{frame}
\soustitre
\question{Définition d'une combinaison linéaire}
\begin{defi}{Combinaison linéaire}
Soit $p\in\mathbb{N}^{*}$ et $(U_{1},U_{2},...,U_{p})$
une famille (ou $p$-uplets) de vecteurs de $\mathcal{M}_{n,1}(\R)$.
\Trouer{ On dit qu'un vecteur $X \in \mathcal{M}_{n,1}(\R)$ est \textbf{combinaison linéaire }de cette
famille s'il existe $p$ réels $\lambda_{1},\lambda_{2},...,\lambda_{p}$
tels que ${\displaystyle X=\sum_{i=1}^{p}}\lambda_{i}U_{i}$. }
\end{defi}
\tableau{\exercice}
\grand
\begin{defi}{Famille libre}
Soit $p\in\mathbb{N}^{*}$. On dit qu'une famille $(U_{1},U_{2},...,U_{p})$ de vecteurs de $\mathcal{M}_{n,1}(\R)$ est libre ssi 
\Trouer{\[
\sum_{i=1}^p \lambda_i U_i = 0 \implies \forall i \in \entier{1,p}, \quad \lambda_i = 0
\]
\vspace{-20pt}}
\end{defi}
\tableau{\exercice}
\grand
{\color{white} .} \grand
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{defi}{Famille génératrice}
Soit $p\in\mathbb{N}^{*}$. On dit qu'une famille $(U_{1},U_{2},...,U_{p})$ de vecteurs de $\mathcal{M}_{n,1}(\R)$ est génératrice ssi \Trouer{on peut écrire tout vecteur $X$ de $\mathcal{M}_{n,1}(\R)$ comme combinaison linéaire de $(U_1, U_2, \ldots, U_p)$. Autrement dit
\[
\forall X \in \mathcal{M}_{n,1}(\R), \; \exists \lambda_1, \ldots, \lambda_p \in \R, X = \sum_{i=1}^{p}\lambda_{i}U_{i}.
\]}
\end{defi}
\tableau{\exercice}
\grand
\end{frame}

\subsection{Bases de $\mathcal{M}_{n,1}(\R)$}
\begin{frame}
\soustitre
\begin{defi}{Base}
On dit qu'une famille $(U_{1},U_{2},...,U_{n})$ de vecteurs de $\mathcal{M}_{n,1}(\R)$ est une base ssi \Trouer{tout vecteur $X$ de $\mathcal{M}_{n,1}(\R)$ est une unique combinaison linéaire de $(U_1, U_2, \ldots, U_p)$. Autrement dit
\[
\forall X \in \mathcal{M}_{n,1}(\R), \; \exists !  \lambda_1, \ldots, \lambda_p \in \R, X = \sum_{i=1}^{p}\lambda_{i}U_{i}.
\]}
\end{defi}

\begin{prop}{Base}
\Trouer{Une famille $(U_{1},U_{2},...,U_{n})$ de vecteurs de $\mathcal{M}_{n,1}(\R)$ est une base si et seulement si c'est une famille libre et génératrice. }
\end{prop}
\tableau{\exercice}
\moyen
\end{frame}


\begin{frame}
\begin{prop}{Base canonique}
La famille $e_1 =\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
\vdots \\ 
0 
\end{pmatrix} $, $e_2 = \begin{pmatrix}
0 \\
1 \\
\vdots \\ 
0 
\end{pmatrix} $, $\ldots$, $e_n = \begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
\vdots \\ 
1 
\end{pmatrix} $ est une base de $\mathcal{M}_{n,1}(\R)$ appelée la base canonique. 
\end{prop}
\remarque{Base canonique signifie que c'est la base la plus évidente. }
\vspace{-15pt}
\tableau{\exercice}
\moyen 
\end{frame}

\begin{frame}
\section{Sous espace vectoriel de $\mathcal{M}_{n,1}(\R)$}
\subsection{Sous espace vectoriel}
\titre
\soustitre
\begin{defi}{Sous espace vectoriel de $\mathcal{M}_{n,1}(\R)$}
\Trouer{On appelle \textbf{sous-espace vectoriel de } $\mathcal{M}_{n,1}(\R)$ tout
ensemble $F$ $\subset \mathcal{M}_{n,1}(\R)$  tel que :
\begin{itemize}
\item
 $F\neq\emptyset$
\item
 $\forall(X,Y)\in F^{2},\forall\lambda\in\R$\textsc{, $\lambda X + Y\in F$ }
\end{itemize}}
\end{defi}
\remarque{Pour montrer le premier point, on vérifie très souvent que le vecteur $0$ appartient à $F$.}
\vspace{-15pt}
\remarque{Un sous espace vectoriel est un espace vectoriel et c'est donc cette méthode que l'on utilise pour montrer qu'on a un espace vectoriel}
\vspace{-15pt}
\tableau{\exercice}
\grand
\end{frame}

\newpage

{\color{white} .}
\moyen
\petit
\begin{frame}
\begin{prop}{}
\Trouer{Soit $F$ un sous espace vectoriel de $\mathcal{M}_{n,1}(\R)$. Alors $0 \in F$.} 
\end{prop}
\remarque{La contraposée de cette proposition est très utile pour montrer qu'un ensemble n'est pas un sev.}
\vspace{-15pt}
\tableau{\exercice}
\petit
\end{frame}

\subsection{Sous espace vectoriel engendré}
\begin{frame}
\soustitre
\begin{prop}{sous espace vectoriel engendré}
Soit $p \in \N$ et \textbf{$(U_{1},U_{2},...,U_{p})$} une famille de \emph{p} vecteurs de $\mathcal{M}_{n,1}(\R)$.
\Trouer{L'ensemble de toutes les combinaisons linéaires de la famille de vecteurs
\textbf{$(U_{1},U_{2},...,U_{p})$} forme un sous-espace vectoriel
de $\mathcal{M}_{n,1}(\R)$.
Cet ensemble est appelé \textbf{sous-espace vectoriel engendré par
$(U_{1},U_{2},...,U_{p})$} et est noté \textbf{Vect$(U_{1},U_{2},...,U_{p})$.}}
\end{prop}


\tableau{\exercice}
\petit
\remarque{Si $F = Vect(U_1, \ldots, U_p)$ alors $(U_1, \ldots, U_p)$ est une famille génératrice de $F$.}
\tableau{\exercice}
\end{frame}

\end{document}
