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\versioneleve
%Pour le TITLEPAGE
\title{Chapitre 16:
Primitives et intégration sur un segment}
\date{}
\newcommand{\A}{\mathcal{A}}
\renewcommand{\P}{P}

\begin{document}

\begin{frame}
	\maketitle
	\petit
\begin{savoirfaire}
	\item Calculer une intégrale à l'aide d'une primitive
	\item Calculer une intégrale en utilisant la linéarité ou la relation de Chasles.
	\item \'Etudier une intégrale fonction de sa borne supérieur.
	\item \'Etudier une intégrale dont les bornes sont des fonctions. 
	\end{savoirfaire}	

	\question{Si l'on lance votre cahier de mathématiques et un grain de sable du toit de Stanislas au même moment. Qui arrive le premier au sol ?}
	\newpage
\end{frame}

\section{Primitive}
\subsection{Définition}
\begin{frame}
\titre
\soustitre
\question{Si l'on connait la fonction cout, on peut calculer la fonction cout marginal. Mais que se passe-t-il si on ne connait que la fonction cout marginal ?}
\begin{defi}{Primitive}
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle
$I$ .
\Trouer{On appelle\textbf{ primitive de la fonction }\textbf{\emph{f}}\textbf{
sur l'intervalle }\textbf{\emph{I}} une fonction $F$ définie sur
$I$ telle que :
\begin{enumerate}
\item \emph{F} est dérivable sur\emph{ I}
\item $\forall x\in I,$ $F'(x)=f(x)$\end{enumerate}}
\end{defi}
\tableau{Déterminer deux primitives de $f:x \to e^x $ et de $g:x \to x^2$.}
\eq
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{prop}{Ensemble des primitives}
\Trouer{Soit $F$ une primitive de $f$ sur l\textquoteright{}intervalle
$I$ . 
Alors l\textquoteright{}ensemble des primitives de $f$ sur $I$ est
l\textquoteright{}ensemble des fonctions de la forme $F+k$ où $k\in\mathbb{R}$.}
\end{prop}
\remarque{Cette proposition montre qu'il n'y a pas unicité des primitives d'une fonction. Il en existe une infinité 
qui diffèrent 
d'une constante. }
\tableau{Démonstration de la propriété}
\petit
\begin{prop}{Unicité des primitives}
\Trouer{Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle
$I$ et $x_{0}\in I$. 
Alors pour tout $y_{0}\in\mathbb{R}$, il existe une unique primitive
$F$ de $f$ telle que $F(x_{0})=y_{0}$}
\end{prop}
\remarque{On comprend donc que si l'on impose une valeur à une primitive, celle-ci devient unique. }
\tableau{Déterminer la primitive $F$ de la fonction $f: x \to \dfrac{1}{x}$ vérifiant $F(1)=2$.}
\petit
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{theo}{Existence des primitives}
\Trouer{Toute fonction \textbf{continue} sur un intervalle I admet au moins
une primitive sur l'intervalle I\textit{\emph{.}}}
\end{theo}
\remarque{Cette proposition permet donc dans la plupart des cas que nous rencontrerons de n'avoir aucun problème d'existence d'une primitive d'une fonction. }
\tableau{Démonstration du théorème}
\newpage 
\end{frame}

\subsection{Primitives et fonctions usuelles}
\begin{frame}
\soustitre
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|}

\hline
\rule[-1.5ex]{0pt}{4ex} fonction $f$ & Primitive $F$ &  Intervalle I  \\
\hline
\rule[-1.5ex]{0pt}{4ex} $x \to a$ ($a \neq 0$)  & {\color{white} $x \to ax$ } & $\R$   \\
\hline
\rule[-2.25ex]{0pt}{6ex} $x \to x^n $ ($n \geq 1$)  & {\color{white}$x \to \dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ }& $\R$   \\
\hline
\rule[-2.25ex]{0pt}{6ex} $x \to \dfrac{1}{x^n} $ ($n > 1$)  & {\color{white}$x \to - \dfrac{1}{(n-1)x^{n-1}}$ }& $]- \infty; 0[$ ou $]0; + \infty[$   \\
\hline
\rule[-2.25ex]{0pt}{6ex} $x \to \dfrac{1}{\sqrt{x}} $  & {\color{white}$x \to 2 \sqrt{x}$ }& $\R_+^*$   \\
\hline
\rule[-2.25ex]{0pt}{6ex} $x \to x^{\alpha} $ ($\alpha \neq 1$)  & {\color{white} $x \to \dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}$} & $\R_+^*$   \\
\hline
\rule[-2.25ex]{0pt}{6ex} $x \to \dfrac{1}{x} $  &{\color{white} $x \to \ln(|x|)$} & $]- \infty; 0[$ ou $]0; + \infty[$     \\
\hline
\rule[-1.5ex]{0pt}{4ex} $x \to e^x$  & {\color{white} $x \to e^x$} & $\R$   \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\tableau{Compléter le tableau et \exercice}
\moyen
\end{frame}

\subsection{Utilisation des formules de dérivation}
\begin{frame}
\soustitre
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|}

\hline
\rule[-1.5ex]{0pt}{4ex} fonction $f$ & Primitive $F$  \\
\hline
\rule[-1.5ex]{0pt}{4ex} $2u'u$  &   \\
\hline
\rule[-2.25ex]{0pt}{6ex} $\dfrac{u'}{2 \sqrt{u}}$  &   \\
\hline
\rule[-2.25ex]{0pt}{6ex} $\dfrac{u'}{u^2} $  &     \\
\hline
\rule[-2.25ex]{0pt}{6ex} $u' u^{\alpha}$ ($\alpha \neq 1$)  &    \\
\hline
\rule[-2.25ex]{0pt}{6ex} $ \dfrac{u'}{u} $  &     \\
\hline
\rule[-1.5ex]{0pt}{4ex} $u' e^u$  &    \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\tableau{Compléter le tableau}
\moyen
\end{frame}
\tableau{\exercice}
\grand

\subsection{Opération sur les primitives}
\begin{frame}

\soustitre
\question{Rappeler la dérivée d'une somme de fonctions}
\begin{prop}{Règles d'opérations des primitives}
Soient $F$ et $G$ deux primitives respectives
de $f$ et de $g$ sur un intervalle $I$ et soit $\lambda\in\mathbb{R}$.
Alors :
\Trouer{\begin{itemize}
\item $F+G$ est une primitive de $f+g$.
\item $\lambda F$ est une primitive de $\lambda f.$\end{itemize}}
\end{prop}
\remarque{La preuve découle automatiquement des règles de calculs sur les dérivées : $(u+ v)' = u' + v'$ et $(\lambda u)' = \lambda u'$.}
\remarque{Les formules de dérivée d'un produit, d'un quotient ou d'une composée de fonctions étant plus compliqués, on ne {\bf rien} dire à propos de la primitive.}
\tableau{\exercice}
\petit
\end{frame}


\section{Intégrale sur un segment}
\subsection{Définition à l'aide des primitives}
\begin{frame}
\titre
\soustitre
\question{Lien entre intégrale et primitive ?}
\begin{defi}{Intégrale sur un segment} 
\Trouer{Soient $f$ une fonction \textbf{continue}
sur un segment $[a;b]$ et \emph{F} est une \textbf{primitive} 
de $f$ sur $[a;b]$.On appelle \textbf{intégrale de}\textbf{\emph{
a}}\textbf{ à}\textbf{\emph{ b}}\textbf{ de la fonction } $f$ \textbf{
}le réel $$\int_a^b f(t)dt=F(b)-F(a)$$}
\end{defi}
\remarque{Par convention, on notera \Trouer{$\intop_{a}^{b}f(t)dt=\left[F(t)\right]_{a}^{b}=F(b)-F(a).$}}
\tableau{\exercice}
\moyen
\end{frame}

\begin{frame}
\remarque{L'intégrale de \emph{a} à \emph{b} de la fonction \emph{f} ne dépend
pas de la primitive choisie. En effet, si $G$ est une autre primitive
de $f$ , nous avons vu qu'il existe un réel $k$ tel que $G=F+k$. On a alors : }
\[
G(b)-G(a)=(F(b)+k)-(F(a)+k)=F(b)-F(a)
\]

\remarque{Comme dans les sommes, la variable d'intégration est une variable muette. Cela signifie que l'on peut la remplacer par n'importe
quelle lettre :}
\[
\int_{a}^{b}f(t)dt=\int_{a}^{b}f(x)dx
\]

\remarque{Pour $c$ une constante, $\int_a^b c\ dt=(b-a)c$. 
Cela signifie que l'intégrale d'une constante est égale à "constante fois longueur de l'intervalle".}
\end{frame}

\subsection{Définition à l'aide de l'aire sous la courbe}
\begin{frame}
\soustitre
\begin{prop}{Aire sous la courbe}
Soit $f$ est une fonction \textbf{continue}
et \textbf{positive} sur $[a;b]$, alors ${\displaystyle {\int_{a}^{b}f(x)dx}}$
est égal à l'aire du domaine compris entre la courbe de $f$, l'axe
des abscisses, et les droites d'équation $x=a$ et $x=b$ (exprimée
en unité d'aire. (U.A.))
\end{prop}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.35]{integrale.png}
\end{center}
\end{frame}


\begin{frame}
\remarque{Dans le cas où la fonction est négative, l'intégrale correspond à $-1$ fois l'aire sous la courbe. On parle alors d'aire signée (ou aire algébrique).}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.35]{aire_signee.png}
\end{center}
\tableau{\exercice}
\moyen
\end{frame}

\section{Propriétés de l'intégrale}
\subsection{Inversion des bornes}
\begin{frame}
\titre
\soustitre
\begin{prop}{Inversion des bornes}
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$, et soient $a$ et $b$ deux réels de $I$.
\Trouer{\begin{itemize}
\item On a $\displaystyle \int_a^b f(t) dt = - \int_a^b f(t)dt$.
\item On a $\displaystyle \int_a^a f(t) dt = 0$. 
\end{itemize}}
\end{prop}
\tableau{Preuve de la propriété}
\petit
\eq
\end{frame}

\subsection{Relation de Chasles}
\begin{frame}
\soustitre
\question{Qu'appelle -t-on relation de Chasles?} 
\begin{theo}{Relation de Chasles}
\Trouer{Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ et soient $a,b$
et $c$ trois réels de $I$ alors on a:
$$\int_{a}^{c}f(t)dt=\int_{a}^{b}f(t)dt+\int_{b}^{c}f(t)dt$$}
\end{theo}
\tableau{Preuve et \exercice}
\grand
\begin{prop}{Parité}
Soit $f$ une fonction continue sur $[-a;a]$ $(a>0)$.
\Trouer{\begin{itemize}
\item Si $f$ est paire sur \emph{$[-a;a]$ }alors\emph{ }$\intop_{-a}^{a}f(t)dt=2\intop_{0}^{a}f(t)dt.$
\item Si $f$ est impaire sur \emph{$[-a;a]$ }alors $\intop_{-a}^{a}f(t)dt=0.$
\end{itemize}}
\end{prop}
\tableau{\exercice}
\moyen
\end{frame}

\subsection{Linéarité}
\begin{frame}
\soustitre
\question{Que dire de $\int_{a}^{b}\lambda f(t)dt$ et $\int_{a}^{b} f(t) + g(t) dt$ ?}
\begin{prop}{Linéarité de l'intégrale}
Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un segment $[a;b]$
et $\lambda\in\mathbb{R}$ , alors on a:
\Trouer{\[
\int_{a}^{b}\lambda f(t)dt=\lambda\int_{a}^{b}f(t)dt \]
\[
\int_{a}^{b} f(t) + g(t) dt=\int_{a}^{b}f(t)dt+\int_{a}^{b}g(t)dt \]}
\end{prop}
\tableau{\exercice}
\moyen
\eq
\end{frame}

\subsection{Primitive nulle en un point}
\begin{frame}
\soustitre
\begin{theo}{Primitive d'une fonction}
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$, $x_0 \in I$.\Trouer{ la fonction 
\[
F : x \to \int_{x_0}^x f(t) dt
\]
est l'unique primitive de $f$ sur $I$ qui s'annule en $x_0$. Ainsi $F$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $I$ et $F' = f$.} 
\end{theo}
\tableau{Preuve du théorème et \exercice}
\end{frame}

\end{document}
