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%Pour le TITLEPAGE
\title{Chapitre 13:
Convergence de suites}
\date{}

\begin{document}

\versioneleve

\begin{frame}
	\maketitle
	\begin{savoirfaire}
\item Calculer des limites de suites sous forme explicite, déterminer la convergence d'une suite usuelle.
\item Déterminer la nature d'une suite à l'aide d'inégalités
\item Appliquer le théorème de convergence monotone
\item Montrer que deux suites sont adjacentes
\item Utiliser le théorème du point fixe pour déterminer une limite. 	
	\end{savoirfaire}
	\question{Quelles sont les limites de $u_n = 1 + \dfrac{1}{n}$ ? $v_n = \dfrac{e^{-n}}{n}$ ?}
	\eq
\end{frame}

\section{Convergence de suites quelconques}
\subsection{Définitions}

\begin{frame}

{\small
\begin{histoire}
{ La convergence des suites de la forme $u_n = f(n)$ est semblable à l'étude des limites de fonctions en $+\infty$. Mais la plupart du temps, nous n'avons pas de formules explicites pour la suite. L'étude de la convergence est alors complètement différente.}

\end{histoire}
}
\titre
\soustitre
\begin{defi}{Convergence d'une suite}
On dit qu'une suite $(u_{n})$ est \textbf{convergente }lorsqu'elle
admet une limite finie $\ell$ en $+\infty$. Intuitivement c'est dire qu' $u_n$ est aussi proche que l'on veut  de $\ell$ dés que $n$ est suffisamment grand. Mathématiquement cela se traduit par:
\[\forall \varepsilon >0, \exists N,\forall n\geq N, \abs{u_n-\ell}<\varepsilon.\]
On note alors $\li_{n \to + \infty} u_n = \ell$ ou parfois $u_{n}\underset{n\rightarrow+\infty}{\longrightarrow}\ell$.
\end{defi}
\tableau{\exercice}
\newpage
\end{frame}

\begin{frame}
\remarque{\Trouer{Si une suite $(u_n)$ a une limite finie alors celle-ci est unique.}}
\vspace{-1cm}
\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[scale=0.6]{limite1.jpg}
\caption*{Exemple de suite convergente}
\end{figure}

\question{Et si une suite n'est pas convergente ?}
\begin{defi}{Suites divergente}
\Trouer{On dit qu'une suite $(u_{n})$ est \textbf{divergente }lorsqu\textquoteright{}elle
n'est pas convergente.}
\end{defi}
\tableau{Donner des exemples de suites divergentes}
\eq
\end{frame}

\begin{frame}


\begin{defi}{Divergence en l'infini}
On dit qu'une suite a pour limite $+\infty$ ou diverge vers $+\infty$ (resp $-\infty$) si $u_n$ est aussi grand que l'on veut dès que $n$ est suffisamment grand soit:
\vspace{-10pt}
\[ \forall A\in\R, \exists N\in\N, \forall n\geq N, u_n\geq A \text{ (resp }u_n\leq A)\]
\end{defi}
\begin{center}
\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[scale=0.6]{limite2.jpg}
\caption*{Exemple de suite divergente en $+ \infty$}
\end{figure}
\end{center}
\tableau{\exercice}
\moyen
\end{frame}


\begin{frame}
\begin{metodo}{Nature d'une suite}
Étudier la \textbf{nature} d'une suite revient à déterminer si elle
est \textbf{convergente} ou \textbf{divergente}. On a donc deux situations de suites \textbf{divergentes} :
\begin{itemize}
\item soit la suite admet une limite infinie (ex : $u_n = n$)
\item soit la suite n'admet pas de limite (ex : $v_n = (-1)^n$)
\end{itemize}
\end{metodo}
\subsection{Suites de la forme $u_{n+1} = f(n)$}
Toutes les opérations sur les limites de fonctions s'appliquent pour les suites :
\begin{prop}{Limite de $u_n+v_n$}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\rule[-1.5ex]{0pt}{4ex} \backslashbox{lim $v_n$}{lim $u_n$} & $\ell$ & $+ \infty$ & $- \infty$ \\
\hline
\rule[-1.5ex]{0pt}{4ex} $\ell'$ & \textcolor{white}{$\ell+\ell'$} & \textcolor{white}{$+\infty$} & \textcolor{white}{$- \infty$} \\
\hline
\rule[-1.5ex]{0pt}{4ex} $+ \infty $& \textcolor{white}{$+ \infty $}& \textcolor{white}{$ + \infty$} & \textcolor{white}{FI} \\ 
\hline
\rule[-1.5ex]{0pt}{4ex} $- \infty $& \textcolor{white}{$- \infty $}&  \textcolor{white}{FI} & \textcolor{white}{$ - \infty$} \\ 
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{prop}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{prop}{Limite de $u_n \times v_n$}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\rule[-1.5ex]{0pt}{3ex} \backslashbox{lim $v_n$}{lim $u_n$} & $ \ell \neq0$ & $ 0$ & $+ \infty$ & $- \infty$ \\
\hline
\rule[-1.5ex]{0pt}{4ex} $\ell' \neq 0$ & \textcolor{white}{$\ell \times \ell'$} & \textcolor{white}{0} & \textcolor{white}{$\sigma(\ell').\infty$} & \textcolor{white}{$-\sigma(\ell'). \infty$} \\
\hline
\rule[-1.5ex]{0pt}{4ex} $0$ & \textcolor{white}{0 lol lol} & \textcolor{white}0 &\textcolor{white}{FI} & \textcolor{white}{FI} \\
\hline
\rule[-1.5ex]{0pt}{4ex} $+ \infty $& \textcolor{white}{$\sigma(\ell). \infty $}& \textcolor{white}{FI} & \textcolor{white}{$ + \infty$} & \textcolor{white}{$- \infty$} \\ 
\hline
\rule[-1.5ex]{0pt}{4ex} $- \infty $& \textcolor{white}{$- \sigma(\ell).\infty $}&  \textcolor{white}{FI} & \textcolor{white}{$-\infty$} & \textcolor{white}{$ + \infty$} \\ 
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{prop}
\newpage

\begin{prop}{Limite de $\dfrac{u_n}{v_n}$}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\rule[-1.5ex]{0pt}{4ex} \backslashbox{lim $v_n$}{lim $u_n$} & $ \ell \neq 0$ & $\ell = 0$ & $ \infty$  \\
\hline
\rule[-2.25ex]{0pt}{6ex} $\ell' \neq 0$ & \textcolor{white}{$\dfrac{\ell}{\ell'}$} & \textcolor{white}{0} & \textcolor{white}{$\infty$} \\
\hline
\rule[-1.5ex]{0pt}{4ex} $0$ & \textcolor{white}{$\infty $ }& \textcolor{white}{FI} & \textcolor{white}{$ \infty$ \quad}  \\
\hline
\rule[-1.5ex]{0pt}{4ex} $ \infty $& \textcolor{white}0 & \textcolor{white}0 & \textcolor{white}{FI}  \\ 

\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{prop}
\end{frame}

\begin{prop}{Croissances comparées}
\begin{itemize}
\item Pour tout réel $a>0$ et pour tout réel $b>0$, on a : \Trouer{$\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{(\ln (n))^b}{n^a} = 0$}
\item Pour tout réel $a>0$ et pour tout réel $q \in ]-1;1[$, on a : \Trouer{$\lim\limits_{n \to +\infty} n^a q^n = 0$}
\vspace{-15pt}
\item Pour tout réel $a>0$ et pour tout réel $|q| >1$, on a : \Trouer{$\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{n^a}{ q^n} = 0$}
\end{itemize}
\end{prop}

\subsection{Limites et majoration}
\begin{frame}
\soustitre
\question{Que peut-on dire d'une suite convergente ?}
\begin{theo}{}
\Trouer{Toute suite convergente est bornée.}
\end{theo}
\vspace{-20pt}
\begin{center}
\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[scale=0.7]{inverse.png}
\caption*{La suite $u_n= 1/n$}
\end{figure}
\end{center}
\vspace{-40pt}
\remarque{La réciproque est fausse. \Trouer{Il existe des suites bornées non convergente.}}
\vspace{-40pt}
\tableau{Donner un contre-exemple pour la réciproque}
\newpage
\end{frame}

\begin{frame}
\question{Que se passe-t-il lorsque $u_n \leq v_n$ ?}
\begin{theo}{Passage à l'inégalité dans les limites}
On considère deux suites $u$ et $v$ et $n_0 \in \N$ tel que $\forall n \geq n_0$, $u_n \leq v_n$ (les termes de la suite u sont inférieurs à ceux de la suite $v$ à partir d'un certain rang.)\Trouer{
\begin{itemize}
\item Si $\li_{n \to +\infty} u_n = \ell$ et $\li_{n \to +\infty} v_n = \ell'$ alors $\ell \leq \ell'$.
\item Si $\li_{n \to +\infty} u_n = + \infty$ alors $\li_{n \to +\infty} v_n = + \infty$.
\item Si $\li_{n \to +\infty} v_n = - \infty$ alors $\li_{n \to +\infty} u_n = - \infty$.
\end{itemize}
}
\eq
\end{theo}
\remarque{Si on passe à la limite dans une inégalité stricte, celle-ci devient large.}
\tableau{\exercice}
\newpage
\end{frame}

\begin{frame}
\question{Quel théorème vient ensuite ?}
\begin{theo}{\Trouer{Des gendarmes}}
Soient $u$, $v$ et $w$ trois suites telles que, à partir d'un certain rang,\Trouer{\[u_n\leq v_n\leq w_n.\]
Si $u$ et $w$ converge vers la même limite $\ell$ alors $v$ converge et sa limite est $\ell$. }
\end{theo}
\begin{cor}{}
Soient $u$ et $v$ deux suites, $\ell$ un réel, tels que $|u_n - \ell| \leq v_n$. \Trouer{Si $\li_{n\to + \infty} v_n = 0$. Alors 
\[   \li_{n\to + \infty} u_n = \ell \]}
\vspace{-0.5cm}
\end{cor}
\tableau{\exercice}
\eq
\end{frame}

\subsection{Convergence de suites monotones}
\begin{frame}
\soustitre
\question{On a vu qu'une suite bornée n'est pas convergente. Mais que dire, si elle est en plus monotone ?}
\begin{theo}{Convergence monotone}
\Trouer{
\begin{itemize}
\item
 Toute suite \textbf{croissante} et \textbf{majorée} est convergente 
\item
 Toute suite \textbf{décroissante} et \textbf{minorée} est convergente \end{itemize}
}
\end{theo}
\begin{center}
\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[scale=0.6]{convergence.png}
\end{figure}
\end{center}
\vspace{-35pt}
\begin{theo}{}
\Trouer{
Toute suite croissante non majorée a pour limite $+\infty$. Toute suite décroissante non minorée a pour
limite $-\infty$.}
\end{theo}
\begin{theo}{Borne des suites monotones}
\begin{itemize}
\item Si $u$ est une suite croissante de limite $\ell$. Alors, pour tout entier $n$, on a $u_n \leq \ell$.
\item Si $u$ est une suite décroissante de limite $\ell$. Alors, pour tout entier $n$, on a $u_n \geq \ell$.
\end{itemize}
\end{theo}
\tableau{\exercice}
\grand
\end{frame}

\section{Convergence de suites particulières}
\subsection{Suites arithmétiques}
\begin{frame}
\titre
\soustitre
{\bf Rappel: }$u$ est une suite arithmétique de raison $r$ alors : $u_{n+1} = u_n + r$ ou $u_n = u_0 + nr.$
\question{Que dire de la convergence de la suite $u$ ?}
\begin{prop}{Convergence des suites arithmétiques}
Soit $(u_{n})$ une suite arithmétique de raison $r$ et de premier
terme $u_{0}$
\Trouer{
\begin{itemize}
\item si $r=0$ , la suite $(u_{n})$ est constante et converge vers $u_{0}$
\item si $r>0$ , alors ${\displaystyle \lim_{n\rightarrow+\infty}u_{n}=+\infty}$
\item si $r<0$ , alors ${\displaystyle \lim_{n\rightarrow+\infty}u_{n}=-\infty}$\end{itemize}
}
\end{prop}
\tableau{Démonstration}
\petit
\end{frame}

\subsection{Suites géométriques et linéaire d'ordre 1 ou 2}
\begin{frame}
\soustitre
\question{Convergence de $u_n = q^n$ ?}
\begin{prop}{Convergence de $q^n$}
\emph{ }Soit q un nombre réel. Alors la suite
$(q^{n})_{n\in\mathbb{N}}$\emph{:}
\Trouer{
\begin{itemize}
\item converge vers 0 si et seulement si $-1<q<1$ c'est à dire $\left|q\right|<1.$
\item converge vers 1 si et seulement si $q=1$.
\item diverge vers $+\infty$ si et seulement si $q>1$.
\item n'admet pas de limite si et seulement si $q\leqslant-1$.\end{itemize}
}
\end{prop}
\remarque{Pour étudier une suite géométrique $v$ de raison
$q$ , il suffit d'appliquer ce théorème et de tenir 
compte de la valeur et du signe de $v_{0}$ car, $\forall n\in\mathbb{N}$
, $v_{n}=v_{0}\times q^{n}$.}
\tableau{\exercice}
\grand
\moyen
\end{frame}

\subsection{Suites adjacentes}
\begin{frame}
\soustitre
\begin{minipage}{0.7\linewidth}
\begin{center}
%\begin{figure}
\includegraphics[scale=0.4]{adjacente.png}
%\caption*{Suites adjacentes}
%\end{figure}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.3\linewidth}
\question{D'après le graphe ci-contre, comment définir deux suites adjacentes ?}
\end{minipage}
\begin{defi}{suites adjacentes}
Deux suites réelles $(u_{n})$ et $(v_{n})$ sont dites \textbf{adjacentes}
si les trois conditions suivantes sont réunies: 
\Trouer{
\begin{itemize}
\item l\textquoteright{}une est croissante, 
\item l\textquoteright{}autre est décroissante,
\item la suite \emph{w }de terme général $w_{n}=v_{n}-u_{n}$ converge vers
0. \end{itemize}}
\end{defi}
\tableau{\exercice}
\moyen
\end{frame}

\begin{frame}
\question{Que dire de la convergence de deux suites adjacentes ?}
\begin{theo}{Suites adjacentes}
\Trouer{
Deux suites \textbf{adjacentes} $(u_n)_n$ et $(v_n)_n$ sont \textbf{convergentes} et ont
la même limite $\ell$ et vérifient : 
$$
\forall n\in\N, u_n\leq \ell\leq v_n
$$
 (dans le cas où $(u_n)_n$ est croissante et $(v_n)_n$ décroissante)}
\end{theo}
\begin{tableaup}{Preuve en 3 étapes :}
\begin{enumerate}
\item On montre que $u_n \leq v_n$ en étudiant la monotonie de $w_n = v_n - u_n$.
\item On montre que la suite $(u_{n})$ est majorée et que la suite $(v_{n})$
est minorée. On en déduit qu'elles convergent
\item On montre par l'absurde que la limite est la même. 
\end{enumerate}
\end{tableaup}
\grand
\textcolor{white}{.}
\grand
\petit
\eq
\eq
\end{frame}

\subsection{Le principe de dichotomie}
\begin{frame}
\soustitre

{\textcolor{white} .}

On se donne $f$ une application strictement croissante et continue sur $I=[a,b]$ avec $f(a)<0$ et $f(b)>0$.
\vspace{5pt}

D'après le théorème de la bijection, il existe un unique $\alpha$ tel que $f(x)=0$ sur l'intervalle $[a;b]$. On cherche une valeur approchée de $\alpha$.\\
\vspace{10pt}
\noindent Nous construisons deux suites $(a_{n})$ et $(b_{n})$ telles que
$\forall n\in\mathbb{N},$ $\alpha\in[a_{n};b_{n}]$
\begin{itemize}
\item Initialisation : nous choisissons $a_{0}=a$ et $b_{0}=b$ 
\item Supposons $a_{n}$ et $b_{n}$ calculés (alors $f(a_{n})\leq0$ et
$f(b_{n})\geq0$) 


Posons $c_{n}=\dfrac{a_{n}+b_{n}}{2}$ 
\begin{itemize}
\item si $f(c_{n})\geq0$ alors on pose $\begin{cases}
a_{n+1} & =a_{n}\\
b_{n+1} & =c_{n}
\end{cases}$
\item sinon, on pose : $\begin{cases}
a_{n+1} & =c_{n}\\
b_{n+1} & =b_{n}
\end{cases}$
\end{itemize}
\end{itemize}
\begin{center}
\fbox{
Les suites $(a_n)$ et $(b_n)$ sont adjacentes et convergent vers $\alpha$. }
\end{center}
\end{frame}

\section{Convergence de suites récurrentes}
\begin{frame}
\titre
Dans cette partie, on s'intéresse à la nature des suites définies
de la façon suivante:
\[
\begin{cases}
u_{0}=a & \qquad(a\in\mathbb{R})\\
u_{n+1}=f(u_{n}) & \qquad(\forall n\in\mathbb{N})
\end{cases}
\]
où $f$ est une fonction donnée. On a donc :
\[
u_{0}=a\:;\: u_{1}=f(a)\:;\: u_{2}=f(u_{1})\qquad etc
\]
\vspace{-20pt}
\begin{histoire}
En général, on ne sait pas exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ simplement. Nous allons tout de même pouvoir étudier la nature ce ces suites à l'aide des différents théorèmes vus en cours.
\end{histoire}
\begin{ex}{Suite récurrente -EML 1995}
On considère la suite $v$ définie par $\begin{cases}
v_0 \in ]0; e-1[ \\
v_{n+1} = v_n \ln(1+ v_n)
\end{cases} $
\end{ex}
\end{frame}

\subsection{Existence de la suite}
\begin{frame}
\begin{metodo}{Convergence de suites récurrentes}
L'étude des suites de la forme $u_{n+1} = f(u_n)$ se fait généralement en 3 temps (très souvent guidés par l'énoncé) :
\begin{enumerate}
\item Vérifier l'existence de la suite $(u_n)$
\item \'Etablir si la suite est \textbf{convergente} ou \textbf{divergente}.
\item si elle est convergente, rechercher les éventuels \textbf{points}
\textbf{fixes} de la fonction afin de déterminer la limite.
\end{enumerate}
\end{metodo}
\soustitre
{\textcolor{white} .} \\
Au préalable, il faut s'assurer que la suite soit bien définie. 
Par exemple, la suite $(u_{n})$ définie par $u_0= 1$ et $u_{n+1}=1-\frac{1}{u_n}$ n'est pas définie pour $u_2$. 
\begin{metodo}{Vérifier l'existence de $(u_n)$}
On montre par récurrence que la suite existe en même temps qu'une autre proposition, du type $u_n>a$ pour $a\in\R$.
\end{metodo}
\tableau{Montrons que pour tout $n \in \N$, $v_n$ existe et $v_n \in ]0,e-1[$. }
\moyen
\end{frame}

\subsection{\'Etablir si la suite est convergente ou divergente}
\begin{frame}
\soustitre
\begin{metodo}{}
On va très souvent montrer la convergence d'une suite récurrente en:
\begin{itemize}
\item Utilisant le théorème de convergence monotone.
\item Utilisant le théorème des gendarmes.
\item Montrant que la suite et une autre sont adjacentes.
\end{itemize}
\end{metodo}
\tableau{Montrons que $v_n$ est décroissante et minorée donc convergente.}
\petit
\end{frame}

\subsection{Trouver un point fixe.}
\begin{frame}
\soustitre
\begin{prop}{}
\Trouer{Soit $f$ une fonction ayant une limite finie $\ell$ en $x_0$ et $u$ une suite convergeant vers $x_0$. Alors
\[ \li_{n \to + \infty} f(u_n) = \li_{x \to x_0} f(x) = \ell. \]}
\end{prop}
\noindent\textbf{Application :}
On en déduit le théorème suivant.
\begin{theo}{Point fixe}
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle fermé $I$ et soit $(u_n)$ une suite de termes appartenant à $I$ vérifiant $u_{n+1} = f(u_n)$. On suppose que la suite $(u_n)$ est convergente vers une limite $\ell$. On a alors nécessairement: 
\[ f(\ell) = \ell \] 
\end{theo} 
Donc,\textbf{ si la suite $(u_{n})$ admet une limite $l$ }, elle
vérifiera obligatoirement la relation $\ell=f(\ell)$ .
\tableau{Résolvons l'équation $\ell = \ell \ln(1+ \ell)$ et trouvons la limite de $v$.}
\end{frame}


\end{document}
