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\versionprof
%Pour le TITLEPAGE
\title{Chapitre 12: \\
Polynômes}
\date{}


\begin{document}

\begin{frame}
	\titlepage
	
	\begin{savoirfaire}
	\item Pratiquer la division euclidienne de polynôme
	\item Factoriser un polynôme
	\item Utiliser l'identification. 
	\item Calculer les limites de fractions rationnelles ou de polynômes.
	\end{savoirfaire}
\end{frame}

\vspace{5cm}
\section{Caractéristiques des polynômes}
\subsection{L'ensemble des polynômes}
\begin{frame}
\begin{histoire}
%\vspace{-13pt}
Un polynôme est une expression mathématiques formée uniquement de produits et sommes de constantes ou d'inconnues. Cette caractéristique en fait des objets relativement simples à manipuler surtout quand il n'y a qu'une seule inconnue (souvent noté X). Vous les avez déjà manipulé
\begin{itemize}
\item Au collège :
\begin{itemize}
\item Les fonctions constantes $P : x \to C$.
\item Les fonctions linéaires ou affines $P : x \to ax + b$.
\end{itemize}
\item Au lycée :
\begin{itemize}
\item Les trinômes du second degré $P : x \to ax^2 + bx +c $.
\item La fonction cube $P : x \to x^3$.
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{histoire}
\pause
\titre
\soustitre
\pause
\begin{defi}{Polynôme}
On appelle polynôme toute expression $P$ de la forme 
\Trouer{\begin{center}$
P(X) = a_nX^n + a_{n-1}X^{n-1} + \cdots +a_1 X + a_0 = \ds \sum_{k=0}^n a_k X^k
$\end{center}
où $a_0,\cdots,a_n$ sont des réels donnés et $n$ un entier naturel.}
\end{defi}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{defi}{Fonction polynôme}
\begin{itemize}
\item On appelle \textbf{fonction monôme }toute fonction\textit{ }\textit{{réelle
}}{m }définie sur $\mathbb{R}$ par $m(x)=ax^{k}$ où $a\in\mathbb{R}$
et {k$\in\mathbb{N}$; a }est le \textbf{coefficient} du monôme.
\pause
\item On appelle polynôme ou fonction polynomiale toute fonction $P$ 
\begin{align*}
P:&\R\to\R\\
&x\to a_nx^n +a_{n-1}x^{n-1} +\cdots+a_1x+a_0 
\end{align*}
où $a_0,\cdots,a_n$ sont des réels donnés appelés \textbf{coefficients} du polynôme et $n$ un entier naturel appelé \textbf{degré} du polynôme si $a_n \neq 0$. Par convention le degré du polynôme nul est $-\infty$.
\end{itemize}
\end{defi}
\pause
\remarque{L'objet Polynôme et la fonction polynôme sont très proche et sont souvent confondus}
\pause
\remarque{Il ne faut pas confondre l'objet polynôme $P$ ou $P(X)$ et sa valeur en $x\in \R$, $P(x)$.}
\tableau{Donner le degré des polynômes suivants: $P(x)=x^2-1$, $Q(x)=1$ et $R(x)=-x^5+3x+2$}
\eq
\eq
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{defi}{Ensemble de polynômes}
\Trouer{On note $\R[X]$ l'ensemble des polynômes à coefficients réels. On note $\R_n[X]$ l'ensemble des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à $n$.}
\end{defi}
\pause
\remarque{}
\begin{itemize}
\item Un polynôme de degré 0 est aussi appelé fonction constante.
\item Un polynôme de degré 1 est aussi appelé fonction affine. 
\item Un polynôme de degré 2 est aussi appelé trinôme du second degré.
\end{itemize}
\pause
\begin{prop}{Inclusion d'ensemble de polynômes}
\begin{maths}
\R_0[X] \subset \R_1[X] \subset \R_2[X] \subset \cdots  \subset \R[X].
\end{maths}
\end{prop}
\tableau{Donner des exemples de polynômes appartenant à $\R_5[X]$}
\petit
\end{frame}

\subsection{Calculs avec des polynômes}
\begin{frame}
\soustitre
 \begin{prop}{Calculs}
 Soit $P$ et Q deux polynômes et $\lambda$ un nombre réel:
\begin{itemize}
\item \textit{{La somme de P et de Q est le }}\textbf{\textit{{polynôme}}}\textit{{
noté $P+Q$ et défini sur $\mathbb{R}$ par : $(P+Q)(x)=P(x)+Q(x)$}}
\pause
\item \textit{{Le produit de P par Q est le }}\textbf{\textit{{polynôme}}}\textit{{
noté $P\cdot Q$ et défini sur $\mathbb{R}$ par : $(P\cdot Q)(x)=P(x)\times Q(x)$}}
\pause
\item \textit{{Le produit du réel par P est le }}\textbf{\textit{{polynôme}}}\textit{{
noté $\lambda P$ défini sur $\mathbb{R}$ par : $\;(\lambda P)(x)=\lambda\times P(x)$.}}
\pause
\item Soit I un intervalle réel tel que, $\forall x\in I$, $Q(x)\neq0$
. Alors le quotient de P par Q est appelé \textbf{fraction} \textbf{rationnelle}
et est noté $\dfrac{P}{Q}$ . Elle est définie par , $\forall x\in I$,
$ \left(\dfrac{P}{Q} \right)(x)=\dfrac{P(x)}{Q(x)}$\end{itemize}
\end{prop}
\tableau{\exercice}
\petit
\end{frame}

\begin{frame}
 \begin{prop}{Degré des polynômes}
\Trouer{ \begin{enumerate}
 \item Le degré d'un polynôme constant non-nul est 0. 
 \item $\deg(P + Q) \leq \max(deg P, deg Q) $
 \item $\deg(PQ)=\deg P+\deg Q$
 \end{enumerate}}
 \end{prop}
 \pause
 \begin{defi}{Dérivée d'un polynôme}
Soit $P = a_nX^n + a_{n-1}X_{n-1} +\cdots+ a^2X^2 + a_1X + a_0\in \R[X].$ 
\begin{enumerate}
\item On appelle polynôme dérivé de $P$ et on le note $P'$ le polynôme défini par
$P'(X) = na_nX^{n-1} + (n-1)a_{n-1}X^{n-2} +\cdots+ 2a_2X + a_1$
\item De même on note $P''$ ou $P^{(2)}$ si on dérive deux fois le polynôme $P$ et plus généralement $P^{(k)}$ si on le dérive $k$ fois.
\end{enumerate}
\end{defi}
\pause
\remarque{Lorsque deg($P$) = n, on a deg($P'$) = n-1}
\tableau{\exercice}
\petit
\end{frame}

\section{Identification de polynômes}
\subsection{\'Egalité de polynômes}
\begin{frame}
\titre
\soustitre
\pause
\begin{theo}{Identification}
Soient deux polynômes $P(X) = \sum\limits_{k=0}^n a_k X^k$ et $Q(X) = \sum\limits_{k=0}^m b_k X^k$. \Trouer{Alors $P = Q$ ssi
\begin{center}
$n = m$ et $\forall k \in \entier{0;n}, \; a_k = b_k$.
\end{center} 
Ainsi, deux polynômes sont égaux si et seulement s'ils ont même degré, et mêmes coefficients. }
\end{theo}
\pause
\begin{ex}{}
\Trouer{Soient $P(X) = 2X^2 + 3X -1$ et $Q(X) = 2X^2 +aX -b$. Alors $P = Q$ si et seulement si $a = 3$ et $b =1$.}
\end{ex}
\tableau{\exercice}
\grand
\petit
\begin{cor}
Un polynôme $P(x)=a_nx^n +\cdots+a_1x+a_0$ est nul si et seulement si tous ses coefficients sont nuls. 
\end{cor}
\end{frame}

\subsection{Application de l'identification}
\begin{frame}
\soustitre
\pause
\begin{metodo}{Applications à la factorisation}
(voir l'exercice 5) Pour résoudre un tel problème :
\begin{enumerate}
\item On développe la seconde expression du polynôme
\item On identifie chaque coefficient, ce qui donne un système
\item On résout le système.
\end{enumerate}
\end{metodo}
\tableau{\exercice}
\moyen
\eq 
\pause
\begin{metodo}{Application aux fractions rationnelles}
(voir l'exercice 6). Pour trouver $a$ et $b$ dans un tel problème
\begin{enumerate}
\item On met toutes les fractions au même dénominateur.
\item On additionne les numérateurs.
\item On identifie les polynômes au numérateur
\end{enumerate}
\end{metodo}
\tableau{\exercice}
\grand
\end{frame}

\section{Racines de polynômes}
\subsection{Définition}
\begin{frame}
\titre
\soustitre
\pause
\begin{defi}{Racines d'un polynôme}
\Trouer{Soit $P\in\R[X]$ et $a\in\R$. On dit que $a$ est une racine de $P$ ssi 
\begin{center}
$P(a)=0$.
\end{center}}
\end{defi}
\pause
\remarque{Le terme racine s'emploie exclusivement pour les polynômes. Dans le cas d'une fonction, on parlera des zéros de la fonction. Chercher les racines de $P$ c'est résoudre $P(x) = 0$.}
\pause
\begin{defi}{Factorisation}
\Trouer{Soit $P$ un polynôme et $a$ un réel. On dit que $P$ se factorise par $(X-a)$ (ou que $(X-a)$ divise $P$) s'il existe un polynôme $Q$ tel que $P(X) = (X-a)Q(X).$}
\end{defi}
\tableau{\exercice}
\moyen
\petit
\end{frame}

\begin{frame}
\remarque{Si $P$ s'écrit $P(X)=(X-a)Q(X)$ alors}
 $$P(a)=(a-a)Q(a)=0$$ 
 donc $a$ est racine de $P$. On a même une équivalence :
 \pause
 \begin{theo}{Lien entre racine et divisibilité}
\Trouer{Soit $P\in\R[X]$ et $a\in\R$. Alors $a$ est une racine de $P$ ssi $P$ se factorise par $(X-a)$. Autrement dit, $a$ est une racine de $P$ ssi il existe un polynôme $Q$ 
de degré
$\deg(Q)=\deg(P )-1$
tel que
$$P(X) = (X-a)Q(X).$$
\vspace{-10pt}}
\end{theo}
\pause
\begin{ex}{}
$P(x)=x^2-5x+4$ se factorise par $(x-1)$ et $(x-4)$. 
\end{ex}
\pause
 \begin{cor}{}
 Un polynôme de degré $n$ a au plus $n$ racines distinctes. 
 \end{cor}
 \tableau{Démonstration du corollaire par l'absurde.}
 \moyen
\end{frame}

\subsection{Racines d'un polynôme de degré 2}
\begin{frame}
\soustitre
\vspace{+10pt}
On cherche a trouver les racines du polynôme 
$$P(x) = ax^2 +bx +c .$$
\pause
\vspace{-15pt}
\begin{metodo}{Racines d'un polynôme de degré 2}
\begin{enumerate}
\item On calcule le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$.
\item On regarde le cas correspondant :
\begin{itemize}
\item Si $\Delta < 0$, le polynôme n'a pas de racines réelles. 
\item Si $\Delta = 0$, le polynôme a une racine $x_0 = - \frac{b}{2a}$.
\item Si $\Delta > 0$, le polynôme a 2 racines
$$ x_1 = \frac{- b - \sqrt{\Delta}}{2a} \qquad \qquad x_2 = \frac{- b + \sqrt{\Delta}}{2a}.$$
\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{metodo}
\tableau{Déterminer les racines de $P(x) = x^2 + x -2$.}
\grand
\end{frame}

\subsection{Division Euclidienne}
\begin{frame}
\soustitre
\remarque{Pour factoriser un polynôme dont on connait une racine, on peut utiliser la méthode de l'identification (exercice 5). Mais une méthode plus rapide existe. Il s'agit de poser une division euclidienne mais avec des polynômes.}
\pause
\begin{theo}{division euclidienne}
\Trouer{Soient $P$ et $S$ deux polynômes tels que $Q$ soit non nul. Alors il existe un unique couple de polynôme $(Q,R)$ avec $\deg R<\deg S$ tels que 
$$
P=SQ+R
$$
\vspace{-10pt}}
\end{theo}
\pause
\begin{ex}{Division euclidienne}
Reprenons l'exemple de l'exercice 5. On a vu que $X^3 - X^2 - 4X +4 = (X-2)(X^2+X-2)$
\end{ex}
\tableau{\exercice}
\grand
\end{frame}

\subsection{Racines d'un polynôme de degré plus grand que 2.}
\begin{frame}
\soustitre
\begin{minipage}{.75\linewidth}
\begin{histoire}
\vspace{-15pt}
La recherche des racines des polynômes n'est pas faciles. Des formules (compliquées) ont été trouvées pour résoudre les polynômes de degré 3 ou 4. Il a fallu attendre le $XIX^e$ siècle pour qu'un jeune mathématicien Français, \'Evariste Galois, montre qu'il était en fait impossible de trouver des formules génériques pour les polynômes de degré supérieur à 5.
\end{histoire}
\end{minipage}
	\begin{minipage}{.20\linewidth}
	\includegraphics[scale=0.09]{Galois.jpg}
	\end{minipage}
	\vspace{-12pt}
	\pause
\begin{metodo}{Trouver les racines d'un polynôme}
\begin{enumerate}
 \item Chercher une racine évidente $\alpha$ du polynôme $P$
 \item Diviser le polynôme P par $X-\alpha$ (en utilisant l'identification ou la division euclidienne), c'est à dire $P = (X-\alpha) Q$. 
 \item Si le polynôme $Q$ est de degré 2, utiliser la formule du discriminant. Sinon chercher une racine évidente pour $Q$. 
\end{enumerate}
\end{metodo}
\tableau{\exercice}
\moyen
\eq 
\end{frame}

\begin{frame}
Comment trouver les solutions de l'équation 
$$ (e^x)^2 - 2e^x - 3 = 0 \quad ?$$
\pause
\begin{metodo}{Par un changement de variable}
\begin{enumerate}
\item Poser un changement de variable approprié (ici : $X = e^x$)
\item Résoudre l'équation en $X$ (ici $X^2 -2X - 3 = 0$)
\item Ne pas oublier de donner la solution $x$ et non pas $X$ (ici, on posera $x = \ln(X)$ si $X >0$.)
\end{enumerate}
\end{metodo}
\tableau{\exercice}
\grand 
\end{frame}

\section{Limites utilisant la factorisation}
\begin{frame}
\titre
\vspace{10pt}
Comment déterminer la limite en $+ \infty$ et $-\infty$ du polynôme \[ P(X) = X^3 - X^2+ 4  \; ?\]
\vspace{-20pt}
\pause
\begin{metodo}{Limites d'un polynôme en $\pm \infty$}
On met en facteur le terme de plus haut degré : 
$$
P(X) = X^3 \left( 1 - \frac{X^2}{X^3}  +\frac{4}{X^3} \right)= X^3\left( 1 - \frac{1}{X} +\frac{4}{X^3} \right). 
$$
On voit alors que $\lim\limits_{x \to \pm \infty} P(x) = \lim\limits_{x \to \pm \infty} x^3 = \pm \infty$.
\end{metodo}
\pause
\begin{theo}{Limite de polynôme}
\Trouer{Les limites en $+\infty$ et $-\infty$ d'un polynôme sont données par le monôme de plus haut degré.}  
\end{theo}
\tableau{\exercice}
\petit
\end{frame}

\begin{frame}
Comment déterminer la limite en $+ \infty$ et $-\infty$ de la fraction rationnelle
\[ Q(X) = \dfrac{X^2 - 1}{X^2 +3X-2} \;  ?\]
\pause
\vspace{-20pt}
\begin{metodo}{Limites d'une fraction rationnelle en $\pm \infty$}
On met en facteur le terme de plus haut degré au numérateur et au dénominateur :
\vspace{-10pt} 
$$
Q(X) = \frac{X^2 \left( 1 - \dfrac{1}{X^2}\right)}{X^2 \left( 1 + \dfrac{3}{X} - \dfrac{2}{X^2} \right)}
$$
On voit alors que $\lim\limits_{x \to \pm \infty} Q(x) = \lim\limits_{x \to \pm \infty} \dfrac{x^2}{x^2} = 1$.
\end{metodo}
\pause
\begin{theo}{Limite de fraction rationnelle}
\Trouer{Les limites en $+\infty$ et $-\infty$ d'une fraction rationnelle sont données par le rapport des monômes de plus haut degré.}  
\end{theo}
\tableau{\exercice}
\petit
\end{frame}

\begin{frame}
Rappel sur la forme indéterminée $\dfrac{0}{0}$
\begin{metodo}{Indétermination $\dfrac{0}{0}$}
\begin{itemize}
\item S'il s'agit d'une fraction rationnelle (ou assimilé)
	\begin{enumerate}
	\item On cherche les racines du numérateur et du dénominateur.
	\item On factorise.
	\item On simplifie. 
	\end{enumerate}
\item Sinon, on regarde si c'est une limite connue.
\end{itemize}
\end{metodo}
\tableau{\exercice}
\end{frame}

\newpage 
\tableau{\exercice}

\end{document}
