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\versioneleve

%Pour le TITLEPAGE
\title{Chapitre 11:
Continuité}
\date{}
\begin{document}

\begin{frame}
	\maketitle
	\begin{savoirfaire}
	\item Montrer qu'une fonction est continue en un point
	\item Montrer qu'une fonction est continue sur un intervalle
	\item Utilisation du théorème de la bijection.
	\item Manipuler les fonctions réciproques. 
	\end{savoirfaire}
\end{frame}


\section{Continuité d'une fonction}
\subsection{Continuité en un point}
\begin{frame}
\titre 
\remarque{On définit rigoureusement la notion de continuité vue en terminale. Ce sera l'occasion de revoir le théorème des valeurs intermédiaires et un corollaire important : le théorème de la bijection. Dans toute cette partie, $f$ désignera une fonction à valeurs réelles définie sur un intervalle $I$ de $\R$.}
\soustitre
\begin{defi}{Continuité en un point}
La fonction $f$ est définie sur $I$ et soit $x_0 \in I$
\Trouer{\begin{itemize}
\item On dit que la fonction \emph{f} est \textbf{continue en $x_{0}$ }si\textbf{
}\emph{f }admet une limite finie en $x_{0}$ et si 
$\underset{{x\rightarrow x_{0}}}{\lim}f(x)=f(x_{0})$.
\item On dit que la fonction \emph{f} est \textbf{continue à gauche en $x_{0}$}(resp. \textbf{continue à droite en }$x_{0})$ lorsque :
$\underset{{x\rightarrow x_{0}^-}}{\lim}f(x)=f(x_{0})$
(resp. $\underset{}{\underset{{x\rightarrow x_{0}^+}}{\lim}f(x)}=f(x_{0})$.)
\end{itemize}}
\end{defi}
\tableau{\exercice}
\grand
\end{frame}

\begin{frame}
\remarque{Pour que \emph{f }soit continue en $x_{0}$, il
est nécessaire qu'elle soit définie en $x_{0}$. }
\begin{prop}{Continuité en un point}
\Trouer{Une fonction \emph{f }est continue en\emph{ $x_{0}$ }si et seulement
si\emph{ f }est continue à gauche et à droite en \emph{$x_{0}.$}}
\end{prop}
\begin{metodo}{\'Etudier la continuité en un point $x_0$}
On calcule la limite à gauche et à droite de la fonction en $x_0$ et on regarde si la limite est égale à $f(x_0)$. 
\end{metodo}
\tableau{\exercice}
\moyen
%\begin{prop}{Composée suite et fonction}
%\Trouer{Soit $f$ une fonction continue en $x_0$. Soit $(u_n)_{n\in\N}$ une suite de réels. Si $(u_n)_{n\in\N}$ converge vers $x_0$ alors $\pare{f(u_n)}_{n\in\N}$ converge vers $f(x_0).$}
%\end{prop}
%\tableau{\exercice}
%\moyen
%\eq 
\end{frame}


\subsection{Continuité sur un intervalle}
\begin{frame}
\soustitre
\question{Que dire de la continuité sur un intervalle}
\begin{defi}{Continuité sur un intervalle}
\Trouer{On dit que la fonction \emph{f : $I\rightarrow\mathbb{R}$} est \textbf{continue
sur }\textbf{\emph{I}}\textbf{ }lorsque \emph{f} est continue en tout
point de \emph{I}\textbf{.}
L'ensemble des fonctions continues sur $I$ est noté $\mathcal{C}(I)$
ou $\mathcal{C}^{0}(I)$}
\end{defi}
\vspace{-15pt}
\remarque{Naïvement, une fonction est continue sur un intervalle si l'on peut dessiner sa courbe représentative sur cet intervalle sans lever le crayon.}
\begin{prop}{Continuité et fonctions usuelles}
\moyen
\end{prop}
\end{frame}

\begin{frame}
\question{Comment définir les fonctions continues par morceaux ?}
\begin{defi}{Continuité par morceaux}
On dit qu'une fonction \emph{f} est \textbf{continue
par morceaux sur un intervalle }\textbf{\emph{I}} si: 
\Trouer{\begin{enumerate}
\item \emph{f} n'a qu'un nombre fini de points de discontinuité sur \emph{I}
,
\item \emph{f} admet une limite à gauche et à droite en chacun des ces points.\end{enumerate}}
\end{defi}
\begin{histoire}
Les fonctions continues par morceaux se généralisent lorsqu'il y a un nombre {\bf dénombrable} de discontinuité (i.e. qu'on peut compter). Cela permet de dire que la fonction partie entière est continue par morceau. Cette notion n'est pas au programme et c'est pour cela qu'on se contente de dire qu'il doit y avoir un nombre fini de points. 
\end{histoire}
\tableau{Dessin et \exercice}
\grand
\end{frame}

\begin{frame}
\question{Comment montrer qu'une fonction est continue sur un intervalle ?}
\begin{prop}{Opérations sur les fonctions continues}
Si \emph{$f$ }et \emph{$g$ }sont deux fonctions
\textbf{continues} sur un intervalle \emph{I} et $\lambda$ un nombre
réel,alors :
\begin{itemize}
\item les fonctions $f + g$, $ \lambda f$ et $f\times g$
sont \textbf{continues} sur \emph{I}
\item Si de plus\emph{ f }ne s\textquoteright{}annule pas sur \emph{I},
alors $\dfrac{g}{f}$ est \textbf{continue} sur \emph{I} \\
\noindent
\item Soit $h$ une fonction définie et continue sur un intervalle \emph{J} tel que $f(I)\subset J$. Alors $h \circ f$ est une fonction continue sur $I$
\end{itemize}
\end{prop}
\begin{metodo}{Continuité des fonctions usuelles}
Prouver la continuité de fonctions usuelles revient à trouver le domaine de définition de la fonction. 
\end{metodo}
\vspace{-10pt}
\tableau{\exercice}
\petit
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{metodo}{Bilan : \'Etude de la continuité}
\begin{enumerate}
\item On regarde la où la continuité ne pose pas de problème (à l'aide des fonctions usuelles) et là ou il y a des points de discontinuité
\item On fait la limite à gauche et à droite des points problématiques.
\item On conclut.
\end{enumerate}
{\bf Attention : Bien comprendre la consigne}
\end{metodo}
\vspace{-10pt}
\tableau{\exercice}
\petit
\eq
\end{frame}

\subsection{Prolongement par continuité}
\begin{frame}
\soustitre
\question{Soit la fonction $f$ définie sur $\R_+^*$ par $f(x) = x^2 \ln(x^2)$. La fonction $f$ est-elle continue ?}

\pause
\begin{defi}{Prolongement par continuité}
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ sauf en un réel $a$. On suppose que $f$ est continue sur $I \setminus \{ a \}$, et qu'il existe un réel $\ell $ tel que $\li_{x \to a} f(x) = \ell $. On dit qu'on peut prolonger par continuité la fonction $f$ en posant $f(a) = \ell$. On définit ainsi une nouvelle fonction, définie sur $I$, qui est continue sur $I$ et coïncide avec $f$ sur $I \setminus \{ a \}$.
\end{defi}

\pause
\remarque{Rigoureusement, on doit définir une nouvelle fonction $\tilde{f}$. En pratique, on confondra toujours $f$ et $\tilde{f}$. }
\vspace{-10pt}
\tableau{\exercice}
\moyen
\end{frame}

\section{Théorèmes liés à la continuité}
\subsection{Théorème de la limite monotone}

\begin{frame}
\titre 
\soustitre
\question{Que dire d'une fonction continue, croissante et majorée ?}
\pause
\begin{theo}{Théorème de la limite monotone}
Toute fonction $f$ continue, croissante et majorée admet une limite finie en $+ \infty$. De même, toute fonction continue, décroissante et minorée, admet une limite finie en $+ \infty$. 
\end{theo}

\remarque{Ce théorème a peu d'intérêt pour les fonctions mais sera particulièrement utile dans sa version pour les suites. }
\end{frame}

\subsection{Théorème des valeurs intermédiaires}
\begin{frame}
\soustitre
%\begin{theo}{Théorème des valeurs intermédiaires}
%\Trouer{L'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle.}
%\end{theo}
\begin{theo}{Théorème des valeurs intermédiaires}
\Trouer{Soit $f\::\: I\rightarrow\mathbb{R}$ une fonction \textbf{, }$a,b\in I$
avec $a<b$.
Si la fonction $f$ est \textbf{continue} sur l'intervalle $[a;b]$
, alors $f$ atteint toute valeur intermédiaire entre \emph{$f(a)$ }et
\emph{$f(b)$} :
\[
\forall y\in[f(a);f(b)]\;(ou\;[f(b);f(a)]),\quad\exists x\in[a,b]\quad tel\; que\; f(x)=y
\]}
\end{theo}
\tableau{Dessin et \exercice}
\grand
\remarque{}
\begin{itemize}
\item Attention : il n\textquoteright{}y a pas forcément unicité de la solution.
\item On peut obtenir l'image de l'intervalle par lecture du tableau de variations.
\end{itemize}
\begin{theo}{Théorème des valeurs intermédiaires}
L'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle.
\end{theo}
\tableau{\exercice}
\moyen
\eq
\end{frame}

\begin{frame}
\question{Et si on écrit ce théorème lorsque $y$ vaut 0 ?}
\begin{theo}{Théorème de Bolzano}
\Trouer{Si\emph{ $f$ }est continue sur $[a;b]$ et si $f(a)f(b)\leqslant0$ (c'est à dire si $f$ change de signe),
alors il existe\emph{ $c\in[a;b]$ }tel que\emph{ $f(c)=0$.}}
\end{theo}

\remarque{\Trouer{On utilisera souvent le tableau de variations pour mettre en évidence les solutions.} }

\vspace{-15pt}
\tableau{\exercice}
\grand
\end{frame}

\subsection{Image d'un segment par une fonction continue}
\begin{frame}
\soustitre
\begin{defi}{Segment}
\Trouer{On appelle \textbf{segment de $\mathbb{R}$ }un intervalle \textbf{fermé
borné, }c'est à dire un intervalle de la forme $[a,b]$ avec $(a,b)\in\mathbb{R}^{2}$ et $a<b$.}
\end{defi}
\begin{theo}{Fonction continue et segment}
\Trouer{Si\emph{ $f$ }est \textbf{continue} sur un segment \emph{$[a;b]$ ,
}alors\emph{ $f$ }est bornée et atteint ses bornes.}
\end{theo}
\remarque{Ce théorème énonce que $f$ admet sur $[a;b]$ un maximum $M$ et un minimum $m$.}
\begin{cor}
\Trouer{L\textquoteright{}image d\textquoteright{}un segment par une fonction
\textbf{continue} est un segment.}
\end{cor}
\tableau{\exercice}
\petit
\eq
\end{frame}


\subsection{Théorème de la bijection. }
\begin{frame}
\soustitre
Dans le cas où $f$ est strictement monotone, on peut préciser le
théorème des valeurs intermédiaires.
\pause
\begin{theo}{de la bijection}
\Trouer{Si $f$ est continue et strictement monotone sur un intervalle $I$ alors
\[
\forall y \in f(I), \exists ! x \in I, \quad f(x) = y
\]}
\end{theo}
\remarque{On appliquera très souvent ce théorème pour $y = 0$. }
\tableau{\exercice}
\moyen
\end{frame}


\begin{frame}
\remarque{La formule précédente est la définition même d'une bijection}
\pause
\begin{theo}{de la bijection (deuxième version)}
\Trouer{Si\emph{ $f$ }est \textbf{continue} et \textbf{strictement} \textbf{monotone}
sur un intervalle\emph{ $I$ }alors $f$ réalise une bijection de $I$ vers $J=f(I)$.
De plus, sa fonction réciproque\emph{ $f^{-1}:\; J\rightarrow I$
} existe,  elle est aussi \textbf{continue} sur \emph{J}, \textbf{strictement}
\textbf{monotone}, de \textbf{même} \textbf{sens de variation} que
\emph{f}
}
\end{theo}
\pause

\begin{ex}{Bijections connues}
La fonction $x \to x^2$ est une bijection de $\R_+$ dans $R_+$. Sa fonction réciproque est la fonction racine carrée. 

La fonction $x \to exp(x)$ est une bijection de $\R$ dans $\R_+^*$. Sa fonction réciproque est la fonction $\ln$. 
\end{ex}
\pause

\remarque{Si deux fonctions sont en bijection, leurs courbes représentatives sont symétriques par rapport à la droite $y=x$.}
\tableau{Dessin et \exercice}
\end{frame}
\end{document}
