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\title{Chapitre 10:
Systèmes d'équations linéaires}

\begin{document}

\date{}
\begin{frame}
	\maketitle
	\begin{savoirfaire}
	\item Résoudre un système d'équation linéaire
	\item Inverser une matrice
	\item Résoudre un système à paramètre. 
	\end{savoirfaire}	
	\question{Un troupeau est composé de dromadaires et de chameaux. On compte 90 têtes et 152 bosses. Combien y a-t-il d'animaux de chaque espèces ?}
	\moyen
	\eq
\end{frame}

\section{Système d'équation linéaire}
\subsection{Définition}
\begin{frame}
\titre
\soustitre
\begin{defi}{Système d'équation}
\Trouer{On appelle \textbf{système (S) de }\textbf{\emph{n}}\textbf{ équations
linéaires à }\textbf{\emph{p}}\textbf{ inconnues $x_{1}$, $x_{2}$,
..., $x_{p}$} (ou encore système $n\times p)$ tout système de la
forme:}
{\color{white}\begin{center}
(S) $\begin{cases}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+...+a_{1p}x_{p}=b_{1} & (L_{1})\\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+...+a_{2p}x_{p}=b_{2} & (L_{2})\\
\vdots & \;\vdots\\
a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+...+a_{np}x_{p}=b_{n} & (L_{n})
\end{cases}$
\par\end{center}
où les $a_{ij}$ et $b_{i}$ pour $1\leq i\leq n$ et $1\leq j\leq p$
sont des réels donnés.

Lorsque tous les $b_{i}$ sont nuls, on dit que le système (S) est
\textbf{homogène }(ou sans second membre) }%
\end{defi}

\tableau{\exercice}
\grand
\petit
\end{frame}


\begin{frame}

\remarque{}\begin{itemize}
\item Tous les systèmes n'admettent pas une unique solution. Certains n'en
admettent aucune, d'autres une infinité.
\item Résoudre un système revient à chercher les\textbf{ }\textbf{\emph{p}}\textbf{-uplets}
($x_{1}$, $x_{2}$, ..., $x_{p}$) de réels qui sont \textbf{solutions}
du système, c'est à dire qui vérifient simultanément les \emph{n}
équations \textbf{$L_{1}$, $L_{2}$, ..., $L_{n}$. }
\item Tout système homogène admet au moins une solution, le \emph{p}-uplet
(0, 0, ..., 0).
\item Le système dans la définition s'écrit plus simplement $AX = B$ où $A = (a_{i,j})\in \mathcal{M}_{n,p}(\R)$ est une matrice et $X = (x_i) \in \mathcal{M}_{p,1}(\R)$ et $B = (b_i) \in \mathcal{M}_{n,1}(\R)$ sont deux vecteurs colonnes.
\end{itemize}

\tableau{\exercice}
\moyen
\end{frame}

\subsection{Système de Cramer}
\begin{frame}
\soustitre
\question{Qu'est-ce qu'un système carré ?}
\begin{defi}{Système Carré}
\Trouer{On dit qu'un système d'équation est carré d'ordre $n$ s'il y a $n$ équations et $n$ inconnues.}
\end{defi}
\remarque{L'écriture matricielle d'un système carré fait intervenir une matrice carré.}
\begin{defi}{Système de Cramer}
\Trouer{Un système carré d'ordre \emph{n} est de \textbf{Cramer}
lorsqu'il possède un unique \emph{n}-uplet solution.\medskip{}}
\end{defi}

\tableau{Le système $(S_1)$ de l'exercice $1$ est-il de Cramer ?}
\petit
\end{frame}

\begin{frame}
\remarque{Un système homogène (S) de \emph{n} équations linéaires
à \emph{n} inconnues est un système de Cramer si (S) admet la \emph{n}-liste
(0, 0, ..., 0) pour unique solution.}
\question{Lien entre système de Cramer et Matrices}
\begin{theo}{Système de Cramer}
\Trouer{Un système d'équation $AX = B$ est de Cramer si et seulement la matrice $A$ est inversible. Dans ce cas, l'unique solution est donnée par $X = A^{-1}B$.}
\end{theo}
\tableau{\exercice}
\grand
\end{frame}

\section{Résolution d'un système échelonné}
\begin{frame}
\titre
\begin{questionp}{}
Résoudre le système $\begin{cases}
x+y&=2\\
y&=1
\end{cases}$
\end{questionp}
\begin{defi}{Système échelonné}
On dit que le système (S) est\textbf{\emph{ }}\textbf{échelonné } \Trouer{lorsque
$\forall i$$\in\left\{ 1,\,2,...,\, n\right\} ,\;$$\forall j$$\in\left\{ 1,\,2,...,\, p\right\} ,\;$$i>j$
$\Rightarrow a_{ij}=0.$}

Il se présente alors sous la forme:
\vspace{0pt}
{\small
\begin{center}
$\begin{cases}
\begin{array}{rcc}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3}+...+a_{1n}x_{n}+...+a_{1p}x_{p} & =b_{1} & (L_{1})\\
a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3}+...+a_{2n}x_{n}+...+a_{2p}x_p & =b_{2} & (L_{2})\\
\ddots\\
a_{nn}x_{n}+...+a_{np}x_{p} & =b_{n} & (L_{n})
\end{array} & \end{cases}$
\par\end{center}
}
\Trouer{Si \textbf{n=p, }un système\textbf{ }échelonné est dit\textbf{ triangulaire
}et les coefficients\textbf{ $a_{i,i}$ }sont appelés\textbf{ pivots}}%
\end{defi}
\tableau{\exercice}
\moyen
\end{frame}

\begin{frame}
\question{Mettre sous forme matricielle le système triangulaire de l'exercice précédent. Que remarque-t-on ?}

\remarque{Un système d'équation $AX =B$ est triangulaire si et seulement si \Trouer{$A$ est une matrice triangulaire supérieure.}}
\vspace{-15pt}
\begin{histoire}
La résolution de systèmes échelonnés est simple (nous allons voir dans la suite de cette partie les différents types de systèmes échelonnés et comment exprimer leurs solutions.

Mais comment faire quand le système n'est pas échelonné ? 

On se ramènera à un système échelonné à l'aide d'une méthode calculatoire appelée pivot de Gauss (partie III)
\end{histoire}
\end{frame}

\subsection{Cas d'un système de $n$ équations à $n$ inconnues}
\begin{frame}
\soustitre


On est dans cette situation la :
{\small
$$ (S) \begin{cases}
\begin{array}{rcc}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3}+...+a_{1n}x_{n} & =b_{1} & (L_{1})\\
a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3}+...+a_{2n}x_{n}& =b_{2} & (L_{2})\\
\ddots\\
a_{nn}x_{n}& =b_{n} & (L_{n})
\end{array} & \end{cases}
$$
}
\begin{metodo}{Résolution d'un système échelonné}
\begin{itemize}
\item Si tous les $a_{ii}$ (les pivots) sont non nuls alors les équations, en partant de la dernière, permettent de calculer successivement $x_{n}$, $x_{n-1}$, ..., $x_{1}$. Cela donne un système de Cramer. 
\item Si un des pivot est nul alors soit 2 équations sont les mêmes (cf cas 3), soit le système est incompatible, c'est à dire $\mathcal{S} = \emptyset$.
\end{itemize}

\end{metodo}
\tableau{\exercice}
\moyen
\petit
\end{frame}


\subsection{Cas où il y a plus d'équations (n) que d'inconnues (p)}
\begin{frame}
\soustitre
\tableau{\exercice}
$$
(S_8)\::\:\begin{cases}
2x+y=4\\
\quad\; y=0\\
x+y=0
\end{cases}
(S_9) \: : \:
\begin{cases}
x+2y=3\\
x=1\\
x+y=2
\end{cases}$$

\begin{metodo}{Plus d'équations que d'inconnues}
On résout le système formé de par les \emph{p }premières équations
et s'il a des solutions, on remplace $x_{1}$, $x_{2}$, ...,$x_{p}$ dans les \emph{n-p} équations restantes, afin de vérifier si elles sont compatibles avec les \emph{p} premières équations.
\end{metodo}
\moyen
\eq
\end{frame}

\subsection{Cas où il y a moins d'équations(n) que d'inconnues (p)}

\begin{frame}
\soustitre
\remarque{On est dans le cas où l'on a moins d'équations que d'inconnues (on aura dans ce cas toujours une infinité de solutions)}
\tableau{\exercice}
\[
(S_{10})\::\:\begin{cases}
x+y+z=2\\
\qquad y+3z=0
\end{cases}
(S_2)\::\:\begin{cases}
2x+y-2z=0\\
\qquad 2y-z=1
\end{cases}
\]
\pause
\begin{metodo}{Plus d'inconnues que d'équations}
Dans le cas d'un système de \emph{n} équations à \emph{p} inconnues : $x_{1}$, $x_{2}$, ....,$x_{p}$ avec $n< p$ :
\begin{enumerate}
\item On choisit $p-n$ inconnues que l'on fixe comme des paramètres : $x_{n+1}$, $x_{n+2}, \ldots, x_p$. 
\item On résout le système de $n$ équations à $n$ inconnues $x_1, \ldots, x_n$ en fonction des paramètres fixés.  
\end{enumerate}
\end{metodo}
\tableau{Résoudre l'exercice}
\grand
\end{frame}

\section{Résolution d'un système quelconque}
\subsection{Opérations élémentaires}
\begin{frame}
\titre
\soustitre
\begin{defi}{Opérations élémentaires}
Soit (S) un système $n\times p.$ On désigne par \textbf{opération
élémentaire} l'une des trois opérations suivantes:
\begin{itemize}
\item \Trouer{L'échange de deux équations par exemple l'échange de la $i^{i\grave{e}me}$
équation (ou ligne) $L_{i}$ et de la $j^{i\grave{e}me}$ équation
(ou ligne) $L_{j}$ que l'on note $L_{i}\leftrightarrow L_{j}.$}
\item \Trouer{Le remplacement d'une équation par l'un de ses multiples non nul par
exemple, si $\alpha$ un réel non nul, le remplacement de la $i^{i\grave{e}me}$
ligne $L_{i}$ par la ligne $\alpha L_{i}$et on note $L_{i}\leftarrow\alpha L_{i}.$}
\item \Trouer{Le remplacement d'une équation par la somme de cette équation et d'un
multiple d'une autre équation du système par exemple, si $\alpha$
un réel, le remplacement de la $i^{i\grave{e}me}$ ligne $L_{i}$
par la ligne $L_{i}+\alpha L_{j}$ et on note $L_{i}\leftarrow L_{i}+\alpha L_{j}.$}
\end{itemize}
\end{defi}
\tableau{\exercice}
\grand
\moyen
\end{frame}

\subsection{Méthode du pivot de Gauss}
\begin{frame}
\begin{theo}{Opérations élémentaires sur les systèmes}
\Trouer{Tout système obtenu à partir d'un système (S) en transformant l'une
de ses équations à l'aide des opérations élémentaires est \textbf{équivalent}
à (S).}%
\end{theo}
{\small
\remarque{\Trouer{Toute autre opération est INTERDITE.}}}
\soustitre
\begin{metodo}{Pivot de Gauss}
\begin{enumerate}
\item 
\'Eliminer l'inconnue $x_1$ de toutes les équations à partir de la ligne 2. Si $a_{11} \neq 0$, alors on fait
faire 

\[ L_i\leftarrow L_i- \dfrac{a_{1i}}{a_{11}}L_1\]
\item Recommencer cette opération pour éliminer $x_2$ à partir de la ligne 3 et ainsi de suite jusqu'à avoir un système échelonné.
\end{enumerate}
\end{metodo}
\tableau{\exercice}
\grand
\moyen
\end{frame}

\begin{frame}
\question{Quand-est-ce que le système sera de Cramer ?}

\begin{theo}{Système de Cramer et Pivot de Gauss}
\Trouer{Un système (S) carré d'ordre n est de \textbf{Cramer} si et seulement
si la méthode du pivot de Gauss fait apparaitre\emph{ }n pivots successifs
non nuls.}%
\end{theo}
\begin{remarque}{}
On peut tout à fait avant de démarrer la méthode, échanger des lignes ou décider de d'abord éliminer $x_2$ ou $x_3$ avant d'éliminer $x_1$. Avec l'expérience vous devinerez le choix adéquat pour résoudre le plus simplement le système. 

En effet il est toujours plus simple d'avoir 1 en coefficient à la première ligne de la première inconnue que l'on veut éliminer. 
\end{remarque}
\tableau{\exercice}
\grand
\grand
\end{frame}

\subsection{Calcul de l'inverse d'une matrice}
\begin{frame}
\soustitre
\begin{questionp}{}
Soit $A=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3\\
1 & 1 & 2\\
3 & 1 & 0
\end{array}\right)$. On cherche à savoir si $A$ est inversible et si oui à calculer son inverse. 
\end{questionp}

\begin{metodo}{Calcul par résolution d'un système}
\begin{enumerate}
\item Résoudre le système $AX=B$ avec $X=\left(\begin{array}{c}
x\\
y\\
z
\end{array}\right)$ et $B=\left(\begin{array}{c}
a\\
b\\
c
\end{array}\right)$. $A$ est inversible ?

\item Traduire le résultat trouvé à l'étape 1 sous
forme d'égalité matricielle et en déduire $A^{-1}$
\end{enumerate}
\end{metodo}
\tableau{Calcul de l'inverse de $A$ et \exercice}
\newpage
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{prop}{Calcul de l'inverse par opérations élémentaires}
Supposons que $A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}).$ Si $A$ est inversible alors on peut trouver un \textbf{nombre fini d'opérations élémentaires}
qui transforment $A$ en $I_{n}$ matrice identité. En appliquant ces mêmes\textit{ }\textit{\emph{opérations
élémentaires}} dans le\textbf{ même ordre} à la matrice $I_{n}$ ,
la matrice obtenue est $A^{-1}$\emph{.}%
\end{prop}

\begin{metodo}{Calcul de l'inverse par opération élémentaire}
On va mener les calculs avec la matrice à inverser à gauche et la
matrice identité à droite en écrivant

\begin{center}
$\left(\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3\\
1 & 1 & 2\\
3 & 1 & 0
\end{array}\right) \left|\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{array}\right)\right.$.
\par\end{center}
\end{metodo}
\tableau{Montrer les calculs puis \exercice.}
\end{frame}

\end{document}
