\input{../preambules/prepoly.tex}


%Pour le TITLEPAGE
\title{Chapitre 1 \\
Fonctions usuelles et calculs}
\date{}
%\author[Nom (court)]{M Leboucher}
%\institute[UT3 -- FSI]{Lycée Stanislas Cannes - ECE 1}


\begin{document}


\begin{frame}
	\maketitle
\end{frame}	
	\begin{savoirfaire}
	\item Manipuler les racines carrées
	\item Simplifier des puissances
	\item Résoudre une équation
	\item Utiliser les formules de $\ln$ ou de $\exp$
	\item Tracer des courbes
	\item Déterminer le domaine de définition d'une fonction
	\item Manipuler des quantificateurs
	\item Manipuler des valeurs absolues
	\item Manipuler la fonction partie entière
	\end{savoirfaire}
\moyen

\begin{frame}
	\begin{histoire}
	Dans de nombreuses situations, une valeur recherchée dépend directement d'une (ou de plusieurs) autre(s) valeur(s).\\
	
	 Par exemple, la demande du consommateur en b\oe{}uf dépend du prix auquel le b\oe{}uf est vendu, le nombre de particules fines de l'air dépend du nombre de voitures sur les routes... Toutes ces situations peuvent être modélisées en mathématiques à  l'aide des fonctions.
	\end{histoire}
	\pause
		
		\begin{ex}{Fonction prix de vente}
			Une enseigne vend des lecteurs blu-ray. Le prix de vente $p(x)$ dépend de la demande hebdomadaire $x$ pour un modèle particulier à  travers la formule:
			$$
			p(x)  = 115 - 4 \sqrt{x}, \qquad 9 \leq x \leq 300
			$$
		\end{ex}
\end{frame}

\newpage
\section{Fonctions et Quantificateurs}
\begin{frame}{}
		\titre	
	\pause
		\begin{defi}{Fonction}
	\Trouer{	On appelle fonction $f$, définie sur un domaine $I$, un objet qui à  partir d'un nombre donné $x$ associe une unique image notée $f(x)$.
		On note $f : x \to f(x)$ pour dire "$f$ est la fonction qui à  $x$ associe $f(x)$".}
		\end{defi}
\remarque{Les fonctions seront notées $f$ ou $x \to f(x)$. Attention à ne pas confondre avec la notation $f(x)$ qui est un nombre (c'est l'image du nombre $x$ par la fonction $f$).}
		\pause
		\tableau{Différentes représentation des fonctions.}
		\moyen
		\eq
		\pause
		
		\begin{defi}{Ensemble de définition}
		\Trouer{On appelle ensemble de définition d'une fonction $f$, noté souvent $\mathcal{D}_f$, l'ensemble de tous les nombres $x$ où l'on peut calculer $f(x)$ (i.e. où $f(x)$ est définie).}
		\end{defi}
		
		\tableau{Dans les exemples précédents.}	
		\eq
\end{frame}

\begin{frame}{}
	\begin{ex}{}
		{\bfseries Phrase Naturelle} : {\itshape Pour tout nombre compris entre $0$ et $1$, la fonction prix de vente $p$ est positive ou nulle.} \\
		{\bfseries Phrase Mathématique} : $\forall x \in [0;1], \quad p(x) \geq 0$.
	\end{ex}
	\pause
	
	\begin{defi}{Quantificateur}
	Tout au long de l'année, nous aurons besoin, afin d'écrire des phrases mathématiques, 		des quantificateurs suivants :
	\begin{itemize}
		\item Le symbole $\forall$ signifie "Quel que soit" ou encore "Pour tout".
		\item Le symbole $\exists$ signifie "il existe". 
		\item Les symboles $\exists !$ signifient : "il existe un unique".
	\end{itemize}
	\end{defi}
	\pause
	
	\remarque{Le symbole $\in$ signifie "appartient à ", "appartenant à ".}
	\tableau{\exercice.} 
\moyen

\end{frame}


\section{Fonctions de références}
\subsection{Fonctions Polynômes}
\begin{frame}
	\titre
	\soustitre
	\pause
	
	\begin{defi}{Fonctions Polynômes}
		\Trouer{Les fonctions polynômes sont toutes les fonctions définie sur $\R$ de la forme:
		$$ x \to a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0.$$
		avec $a_0, \ldots, a_n$ des nombres réels.} 
	\end{defi}
	\pause
	\begin{ex}{Polynômes particuliers}
		Les fonctions polynômes peuvent être :
		\begin{itemize}
		\item Des fonctions constantes : $x \to 5$.
		\item Des fonctions affines : $x \to 4x + 3$.
		\item Des polynômes du second degré : $x \to x^2 -4x + 4$.  
		\end{itemize}
	\end{ex}
	\end{frame}
	\begin{frame}
	\begin{figure}[h]
	\centering
\definecolor{qqqqff}{rgb}{0.,0.,1.}
\definecolor{ccqqqq}{rgb}{0.8,0.,0.}
\definecolor{qqwuqq}{rgb}{0.,0.39215686274509803,0.}
\definecolor{cqcqcq}{rgb}{0.7529411764705882,0.7529411764705882,0.7529411764705882}
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,x=1.0cm,y=1.0cm]
\draw [color=cqcqcq,, xstep=1.0cm,ystep=1.0cm] (-3.,-2.56) grid (5.,5.);
\draw[->,color=black] (-3.,0.) -- (5.,0.);
\foreach \x in {-3.,-2.,-1.,1.,2.,3.,4.}
\draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {\footnotesize $\x$};
\draw[->,color=black] (0.,-2.56) -- (0.,5.);
\foreach \y in {-2.,-1.,1.,2.,3.,4.}
\draw[shift={(0,\y)},color=black] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left] {\footnotesize $\y$};
\draw[color=black] (0pt,-10pt) node[right] {\footnotesize $0$};
\clip(-3.,-2.56) rectangle (5.,5.);
\draw[line width=2.pt,color=qqwuqq,smooth,samples=100,domain=-3.0:5.0] plot(\x,{2.0});
\draw[line width=2.pt,color=ccqqqq,smooth,samples=100,domain=-3.0:5.0] plot(\x,{2.0*(\x)+1.0});
\draw[line width=2.pt,color=qqqqff,smooth,samples=100,domain=-3.0:5.0] plot(\x,{(\x)^(2.0)-(\x)-1.0});
\begin{scriptsize}
\draw[color=qqwuqq] (-2.54,1.83) node {$f$};
\draw[color=ccqqqq] (-1.38,-2.25) node {$g$};
\draw[color=qqqqff] (-1.78,4.59) node {$h$};
\end{scriptsize}
\end{tikzpicture}
\caption{Des fonctions polynômes}
\end{figure}

\end{frame}

\begin{frame}
\question{On veut tracer la droite d'équation $y = 2x +1$. }
\begin{metodo}{1ère méthode}
Calculer deux points de la droite puis relier ces 2 points. 
\end{metodo}

\end{frame}

\begin{frame}
\begin{metodo}{2nde méthode}
Placer l'ordonnée à l'origine. Décaler de 1 vers la droite et monter (ou descendre) du coefficient directeur. 
\end{metodo}
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.6]{quadrillage.png}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.6]{quadrillage.png}
\end{center}
\end{minipage}
\tableau{\exercice}
\end{frame}

\vspace{-10pt}
\subsection{Fonction inverse}
\begin{frame}
	\soustitre
	\pause
	\begin{defi}{Fonction inverse}
	\Trouer{	La fonction \textbf{inverse} est la fonction $f$ définie sur $\R^* = \R \backslash \{0\}$, par \center{$f(x) = \dfrac 1x$.}}
	\end{defi}
\begin{frame}
\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[scale=0.8]{inverse.png}
\caption{Fonction inverse}
\end{figure}

\end{frame}
\newpage
\begin{prop}{Simplification}
Pour tous réels $a,b$ et $c$, on a 
\def\columnseprulecolor{\color{white}}
\begin{multicols}{3}
\begin{itemize}
\item $\displaystyle \frac{a \times b}{a \times c} = \frac{b}{c}$.
\item $\displaystyle \frac{a+b}{a+c} \neq \frac{b}{c}$.
\item $\displaystyle \frac{a}{1} = a$.
\end{itemize}
\end{multicols}
\end{prop}

\vspace{5pt}
\begin{prop}{Produit de fractions}
Dans un produit de fractions, on effectue toutes les simplifications possibles avant d'effectuer le produit des numérateurs et le produit des dénominateurs. 
\def\columnseprulecolor{\color{white}}
\begin{multicols}{3}
\begin{itemize}
\item $\displaystyle \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$.
\item $\displaystyle \frac{a}{b} \times \frac{b}{c} = \frac{a}{c}$.
\item $\displaystyle \frac{ab}{c} \times \frac{c}{ad} = \frac{b}{d}$.
\end{itemize}
\end{multicols}
\end{prop}
\end{frame}
\vspace{5pt}
\begin{frame}
\begin{prop}{Produit de fractions}
On ne garde jamais une expression qui contient des barres de fractions superposées. {\footnotesize
\def\columnseprulecolor{\color{white}}
\begin{multicols}{3}
\begin{itemize}
\item $\displaystyle \frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} =  \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc}$.
\item $\displaystyle \frac{\frac{a}{b}}{c} = \frac{a}{b} \times \frac{1}{c} = \frac{a}{bc}$.
\item $\displaystyle \frac{a}{\frac{b}{c}} = a \times \frac{c}{b} = \frac{ac}{b}$.
\end{itemize}
\end{multicols}}
\vspace{5pt}
\end{prop}
	\begin{defi}{Fonction rationnelle}
		On appelle \textbf{fonction rationnelle} toute fonction qui s'écrit comme le quotient de deux fonctions polynômes.
	\end{defi}
	\pause
	\begin{ex}{Fonctions rationnelles}
	$\displaystyle f : x \to \frac{x^2 + 2x +1}{x^2 - 1}, \qquad g : x \to \frac{x-1}{x+1}, \qquad h: x \to \frac{x^7 +3x}{x(x^2+1)} $
	\end{ex}
\end{frame}

\tableau{\exercice}
\moyen

\subsection{Fonction racine carrée}
\begin{frame}
	\soustitre	
	\pause
	\begin{defi}{Racine carrée}
		Pour tout nombre réel $x$ positif, il existe un unique nombre réel positif, noté $\sqrt{x}$ dont le carré vaut $x$. Ce nombre est appelée la racine carrée de $x$
	\end{defi}

\begin{prop}{}
Pour tous réels $a \geq 0$ et $b \geq 0$, on a 
\def\columnseprulecolor{\color{white}}
\begin{multicols}{2}
{\small \begin{itemize}
\item ${\small \sqrt{a}\times \sqrt{a} = (\sqrt{a})^2 = a}$
\item $\displaystyle \sqrt{ab} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$.
\end{itemize}}
\end{multicols}
Il ne faut pas oublier que 
\[ \sqrt{a+b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b} \]
\end{prop}

\end{frame}

\begin{frame}
\begin{prop}{Réduction}
Pour réduire des racines carrées on utilise  $\sqrt{a^2 b} = \sqrt{a^2} \times \sqrt{b} = a \sqrt{b} .$
\end{prop}

\begin{prop}{Quantité conjuguée}Quand on a une fraction de la forme
$\displaystyle \frac{a}{b + \sqrt{c}}$, on multiplie le numérateur et le dénominateur par la quantité conjuguée $b-\sqrt{c}$. Cela permet de simplifier les dénominateurs qui n'ont alors plus de racines carrées.
\end{prop}
	\pause
	\begin{defi}{Fonction racine carrée}
		La fonction $x \to \sqrt{x}$ est définie sur $\R+ = [0;+\infty[$ et est appelée fonction racine carrée.
	\end{defi}
	
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[scale=0.25]{racine.png}
\caption{Fonction racine carrée}
\end{figure}
\tableau{\exercice}
\end{frame}

\grand
\subsection{Fonction valeur absolue}
\begin{frame}
	\soustitre
	\pause
	\begin{defi}{Fonction valeur absolue}
		La fonction valeur absolue est la fonction définie sur $\R$ par: \Trouer{\center{$ |x| = \left\{ \begin{array}{ccc}
			x & \text{si} & x \geq 0 \\
			-x & \text{si} & x \leq 0
		\end{array} \right. .$}}
	\end{defi}
	
	\begin{prop}{}
La valeur absolue possède les propriétés suivantes. $\forall a,b \in \R$,
{\footnotesize
	\begin{qmulti}{3}
	\item $|a| \geq 0$
	\item $|a| = \sqrt{a^2}$
	\item $|a| = 0  \Leftrightarrow a = 0$
	\item $|ab| = |a| \times |b| $
	\item $ \left| \dfrac{a}{b} \right| = \dfrac{|a|}{|b|}, b \neq 0$
	\end{qmulti}
	}

	On a également les propriétés pour résoudre des inégalités :

	\begin{qmulti}{2}
	\item $ |a| \leq b \Leftrightarrow -b \leq a \leq b$
	\item $ |a| \geq b \Leftrightarrow a \leq -b \; \text{et} \; a \geq b$
	\end{qmulti}
	\end{prop}

	\pause
	\begin{theo}{Inégalité triangulaire}
		Pour tous réels $x$ et $y$, 
		$$|x+y| \leq |x| + |y| .$$
	\end{theo}
\end{frame}


\begin{frame}
\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[scale=0.75]{absolue.png}
\caption{Fonction valeur absolue}
\end{figure}
\tableau{\exercice}
\moyen 
\end{frame}

\subsection{Fonction $\ln$}
\begin{frame}
	\soustitre
	\pause
	\begin{defi}{Fonction logarithme Népérien}
		La fonction logarithme népérien, notée $\ln$, est l'unique fonction définie sur $\R_+^*$ telle que 
	\Trouer{\[ \forall x >0, \; \ln'(x) =\frac1x \quad \text{et} \quad \ln{1} = 0. \]}
	\vspace{-25pt}
	\end{defi}
	\pause
	\begin{prop}{}
Pour tous réels $a > 0$ et $b >0$, on a les règles de calculs suivantes
\def\columnseprulecolor{\color{white}}
\begin{qmulti}{3}
\item $\ln(1) = 0$
\item $\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$
\item $\ln \left( \dfrac{a}{b} \right) = \ln(a) - \ln(b)$
\item $\ln(e) = 1$
\item $\ln(a^b) = b \ln (a)$
\item $ \ln \left( \dfrac{1}{a} \right) = - \ln(a)$
\end{qmulti}
\vspace{-10pt}
	\end{prop}
\end{frame}

\vspace{5pt}
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
%\begin{figure}
\centering
\includegraphics[scale=0.4]{ln.png}

Fonction $\ln$
%\caption{Fonction $\ln$}
%\end{figure}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
%\begin{figure}
\centering
\includegraphics[scale=0.45]{exp.png}
%\caption{Fonction exponentielle}

Fonction $\exp$
%\end{figure}
\end{minipage}


\subsection{Fonction exp}
	\soustitre
	\pause
	\begin{defi}{Fonction exponentielle}
		\Trouer{La fonction exponentielle, notée $\exp$, est l'unique fonction définie sur $\R$ dont la dérivée est elle-même et telle que $\exp(0)= 1$. On la note $\exp(x) = e^x$.}
		\vspace{-5pt}
	\end{defi}
	\pause
	\begin{histoire}
		La fonction exponentielle est utilisée pour résoudre de nombreux problèmes allant de l'augmentation d'un capital à  taux d'intérêt constant, à  l'accroissement de la population d'un groupe d'individu en passant par la décroissance des éléments radioactifs dans un objet. 
	\end{histoire}	
\vspace{-10pt}	
	\begin{prop}{}
	Pour tous réels $a$ et $b$, on a les règles de calculs suivantes
	\def\columnseprulecolor{\color{white}}
	\begin{qmulti}{3}
	\item $e^0 = 1$
	\item $e^{a+b} = e^a e^b$
	\item $e^{a-b} = \dfrac{e^a}{e^b}$
	\item $e^1 = e$
	\item $(e^a)^b = e^{ab}$
	\item $ e^{-a} = \dfrac{1}{e^a}$
	\end{qmulti}
	\vspace{-10pt}
	\end{prop}


	\remarque{La fonction exponentielle est la fonction réciproque de la fonction logarithme Népérien. Cela signifie:}
	\vspace{-10pt}
	\[ \forall x \in \R, \quad \ln (e^x)  =x, \quad \forall x>0, \quad \exp(\ln(x)) = x \]
\[\forall x \in \R, \forall y>0, \quad e^x = y \; \text{si et seulement si} \; x = \ln(y) \] 


\subsection{Fonctions puissances}
\begin{frame}
	\soustitre
	\pause
	\begin{defi}{Puissances entières}
	Pour $n \in \N^*$, On définit les puissances d'un nombre $y \in \R^*$ par \\
	\begin{center}
		$y^n = y \times y \ldots \times y, \qquad y^{-n} = \frac{1}{y \times y \ldots \times y}, \qquad y^0 = 1.$	
	\end{center}	
	On définit également pour $y \in \R_+^*$, \\
	\begin{center}
		$y^{\frac1n} = \sqrt[n]{y}. $	
	\end{center}
	\end{defi}
	\pause
	\vspace{-5pt}
	\begin{histoire}
	Les fonctions puissances généralisent les puissances entières et fractionnaires. 
	\end{histoire}
	\pause
	\vspace{-5pt}
	\begin{defi}{Fonctions puissances}
		Soit $\alpha \in \R$, les fonctions puissances sont définies pour $x \in \R_+^*$ par $x \to x^\alpha : = e^{\alpha \ln(x)}$.
	\end{defi}	
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{prop}{}
Pour tous nombres \sout{rationnels} réels $a$ et $b$ et pour tous réels {\bf positifs} $x$ et $y$, on a 
\def\columnseprulecolor{\color{white}}
\begin{multicols}{3}
\vspace{-8pt}
{\footnotesize
\begin{itemize}
\item $(x^a)^b = x^{ab}$.
\item $\displaystyle x^{-a} = \dfrac{1}{x^a}$.
\item $\displaystyle x^a \times x^b = x^{a+b}$.
\item $\displaystyle \dfrac{x^a}{x^b} = x^{a-b}$.
\item $\displaystyle x^{a}\times y^a = (xy)^a$.
\item $\displaystyle \dfrac{x^a}{y^a} = \left( \dfrac{x}{y} \right)^{a}$.
\end{itemize}}
\end{multicols}
\vspace{0pt}
\end{prop}
\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[scale=0.45]{puissance.png}
\caption{Fonctions puissances}
\end{figure}
\vspace{-10pt}
\tableau{\exercice}
\grand
\end{frame}

\subsection{Fonction partie entière}
\begin{frame}
	\soustitre
	\pause
	\begin{defi}{Fonction Partie entière}
	Soit $x$ un nombre réel. On appelle partie entière de $x$, et on note $E(x)$, $[x]$ ou 	$\lfloor x \rfloor$, le plus grand nombre entier inférieur ou égal à  $x$.
	\end{defi}
	\remarque{En Scilab, la fonction partie entière est donnée par la commande floor.}
	\pause
	\begin{ex}{}
	\begin{center}
	$\lfloor 4,12 \rfloor = 4, \qquad \lfloor \pi \rfloor = 3, \qquad \lfloor -2,4 \rfloor = -3 $
	\end{center}
	\end{ex}
	\pause
	\begin{prop}{Propriétés de la partie entière}
	\begin{itemize}
	\item $\forall x \in \R, \lfloor x \rfloor \in \Z$ 
	\end{itemize}
	\begin{minipage}{0.4\linewidth}
	\begin{itemize}
	\item $\forall x \in \R, \; \lfloor x \rfloor \leq x$. 
	\end{itemize}
	\end{minipage}
	\begin{minipage}{0.48\linewidth}
	\begin{itemize}
	\item $\forall x \in \R, \; x < \lfloor x \rfloor +1 $. 
	\end{itemize}
	\end{minipage}
	\\
	\vspace{6pt}
	\begin{itemize}
	\item On a donc $\qquad x-1 < \lfloor x \rfloor \leq x < \lfloor x \rfloor +1.$
	\item On dit que la fonction partie entière est constante par morceaux.
	\end{itemize}
	\end{prop}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[scale=0.6]{entiere.png}
\caption{Fonction partie entière}
\end{figure}
\tableau{\exercice}
\grand
\end{frame}


\subsection{Déterminer un ensemble de définition}
\begin{frame}
\soustitre
	\begin{ex}{Rappel}	
		Le domaine de définition de :
		\begin{itemize}
		\item $x \to \dfrac{1}{x}$ est $\R^* = \R \setminus \{ 0 \}$.
		\item $x \to \sqrt{x}$ est $[0, + \infty[ = \R_+$.
		\item $x \to \ln(x)$ est $]0, +\infty[ = \R_+^*$. 
	\end{itemize}		 
	\end{ex}	
	\pause
	
	\begin{metodo}{Trouver le domaine de définition d'une fonction}
	\begin{itemize}
	\item Si il y a une fraction, on vérifie que le dénominateur \\ \underline{ne s'annule pas}.
	\item Si il y a une racine carrée, on vérifie que l'expression sous la racine carrée est \underline{positive}.
	\item Si il y a une fonction logarithme ($\ln$), on vérifie que l'expression dans le logarithme est \underline{strictement positive}.
	\end{itemize}
	\end{metodo}
	
	\tableau{\exercice}
\end{frame}


\end{document}