\input{../preambules/prebeam.tex}

%Pour le TITLEPAGE
\title{Chapitre 9:
Variable aléatoires sur des espaces de probabilités finies}
\subtitle{}
\author[Nom (court)]{M Leboucher}
\date{}

\begin{document}

\begin{frame}
	\titlepage
	
	\begin{savoirfaire}
	\item Déterminer la loi d'une variable aléatoire discrète finie. 
	\item Calculer l'espérance et la variance d'une variable aléatoire
	\item Reconnaitre une loi uniforme, de Bernoulli, Binomiale.
	\end{savoirfaire}
\end{frame}

\begin{frame}
On récapitule dans le tableau suivant ce qu'on utilise en probabilités : \\
\vspace{10pt}
\setlength{\tabcolsep}{5pt}
\renewcommand{\arraystretch}{2}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
 & Expérience & Univers & \'Evènements &  \begin{tabular}{@{}c@{}}Loi de \\ Proba\end{tabular}  & Proba \\
\hline
Définition  & & & & & \\
\hline
Objet math. & & & & &\\
\hline
Notation(s) & & & & & \\
\hline
Exemple & & & & & \\
\hline
\end{tabular}
\end{frame}

\section{Variable aléatoire}
\begin{frame}
\titre
\question{Qu'est-ce qu'une variable aléatoire ?}
\pause
\begin{ex}{Expérience n°1}
On lance deux dés à 6 faces. 
Quelle est la probabilité de faire 2 fois 6 ? De faire 1 seul fois 6 ?  
\end{ex}
\pause
\begin{ex}{Expérience n°2}
On joue à un jeu. Chaque partie coute un euro. Le jeu consiste à lancer deux dés à 6 faces. Si l'on obtient un seul 6, on gagne 3 euros. Si l'on obtient deux 6, c'est le jackpot et on gagne 40 euros. Quelle est la probabilité de gagner 39 euros ? de gagner 2 euros ? de perdre ?
\end{ex}
\pause
\begin{defi}{Variable aléatoire}
Soit $(\Omega, \mathcal{P}(\Omega), P)$ un espace probabilisé fini. On appelle variable aléatoire sur $\Omega$ toute application $X$ de $\Omega$ à valeurs dans $\R$.
\end{defi}
\tableau{On lance n fois un dé à 6 faces. Donnez des exemples de variable aléatoire associée à cette expérience.}
\end{frame}

\begin{frame}

Avant toute étude d'une variable aléatoire, on cherchera son support:

\begin{defi}{Support d'une VA}
$X(\Omega)$ est l'ensemble des réels possibles prises par la variable aléatoire $X$. $X(\Omega)$ est appelé le support de la variable aléatoire $X$.
\end{defi}
\pause
\remarque{Si on note $X(\Omega) = \{x_1,\ldots, x_n\}$, l'évènement $(X = x_i)$ est constitué des issues pour laquelle la variable aléatoire $X$ prend la valeur $x_i$. On trouvera les notations $(X \in I)$ avec $I \subset X(\Omega)$ ou plus fréquemment $(X \leq x_i)$.}

\tableau{\exercice}
\end{frame}

\begin{frame}
\tableau{Tableau Bilan}
\vspace{10pt}
\setlength{\tabcolsep}{5pt}
\renewcommand{\arraystretch}{2}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
 & Variable Aléa & Support & \'Evènements  & Probabilité \\
\hline
Définition  & & & &  \\
\hline
Objet math. & & & & \\
\hline
Notation(s) & & & &  \\
\hline
Exemple & & & &  \\
\hline
\end{tabular}
\end{frame}

\begin{frame}
\question{Que dire des $(X=i)$ pour tous les $i \in X(\Omega)$ ?}
\pause
\begin{prop}{Système complet associé à $X$}
Soit $(\Omega, \mathcal{P}(\Omega), P)$ un espace probabilisé fini et $X$ une variable aléatoire sur $\Omega$. Alors les évènements $(X = i),i \in X(\Omega)$ forment un système complet d'évènement. On l'appelle système complet associé à $X$. 
\end{prop}
\pause
\remarque{Cela signifie que $\sum\limits_{i \in X(\Omega)} P(X = i) = 1$}
\pause
\begin{defi}{Loi de probabilité}
Si on note $X(\Omega) = \acc{x_1, \ldots, x_n}$, on appelle loi de probabilité de la variable aléatoire $X$, l'application qui à tout élément $x_i$ fait correspondre la probabilité de l'évènement $(X = x_i)$. 
\end{defi}
\tableau{\exercice}
\end{frame}

\section{Paramètres d'une variable aléatoire}
\subsection{Espérance}
\begin{frame}
\titre
\soustitre
\question{Comment calcule-t-on une moyenne ?}
\pause
\begin{defi}{Espérance d'une variable aléatoire}
Soit $X$ une variable aléatoire sur un espace probabilisé fini $(\Omega, \mathcal{P}(\Omega), P)$. On note $X(\Omega) = \acc{x_1, \ldots, x_n}$. On appelle espérance mathématique de $X$ le nombre réel
\[
E(X)= x_1 \times P(X = x_1) + \ldots + x_n \times P(X = x_n) = \sum_{i=1}^n x_i P(X = x_i)
\]
\end{defi}
\pause
\remarque{L'espérance est le pendant probabiliste de la moyenne en statistique.}
\tableau{\exercice}
\end{frame}


\begin{frame}
\begin{prop}{Bornes de l'espérance}
Si $X(\Omega) \subset [p,q]$ alors $p \leq E(X) \leq q$. 
\end{prop}
\remarque{Notamment, si $X$ est positive, $E(X) \geq 0$}

\tableau{Démonstration directe de la propriété}
\pause
\begin{prop}{Linéarité de l'espérance}
Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires sur un espace probabilisé fini $(\Omega, \mathcal{P}(\Omega), P)$ et $a,b$ deux réels. 
\begin{itemize}
\item $E(aX + b) = aE(X) + b$
\item $E(X + Y) = E(X) + E(Y)$
\end{itemize}
\end{prop}

\end{frame}

\subsection{Formule de transfert}

\begin{frame}
\soustitre
\question{Comment calculer $E(X^2)$ ?}
\pause
\begin{theo}{Formule de transfert pour $X^2$}
Soit $X$ une variable aléatoire sur un espace probabilisé fini $(\Omega, \mathcal{P}(\Omega), P)$ et $X(\Omega) = \acc{x_1, \ldots, x_n}$. 
\[
E(X^2) = \sum_{i =1}^n (x_i)^2 P(X = x_i)
\]
\end{theo}
\tableau{\exercice}
\end{frame}

\subsection{Variance}
\begin{frame}
\soustitre
\question{Quel est la variance d'une VA, l'écart type?} 
\pause
\begin{defi}{Variance}
Soit $X$ une variable aléatoire sur un espace probabilisé fini $(\Omega, \mathcal{P}(\Omega), P)$. On appelle {\bf variance} de $X$ le nombre mesurant l'écart entre $X$ et son espérance
\[ Var(X) = E[(X - E(X))^2] .\]
On appelle {\bf écart-type} de $X$ le nombre 
\[ \sigma(X) = \sqrt{Var(X)} .\]
\end{defi}
\pause
\begin{theo}{Formule de Koenig-Huygens}
Soit $X$ une variable aléatoire sur un espace probabilisé fini $(\Omega, \mathcal{P}(\Omega), P)$. on a 
\[ Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2 .\]
\end{theo}
\tableau{Démonstration directe de la formule et \exercice}
\end{frame}

\begin{frame}
\question{Que dire de $Var(aX+b)$ ?}
\pause
\begin{prop}{}
Soit $X$ une variable aléatoire sur un espace probabilisé fini $(\Omega, \mathcal{P}(\Omega), P)$ admettant une variance. Alors, pour tous réels $a$ et $B$, on a 
\[ Var(aX+b) = a^2 Var(X) .\]
\end{prop}
\tableau{Démonstration de la propriété}
\end{frame}


\section{Loi usuelle finie}
\subsection{Loi certaine}
\begin{frame}
\titre
\soustitre
\question{Une urne contient n boules, indiscernables au toucher, de couleurs différentes et portant toutes le numéro 2 et on tire une boule. On note $X$ le numéro tiré.}
\pause
\begin{defi}{Loi certaine}
On dit que la variable aléatoire $X$ suit la loi certaine si et seulement s'il existe un réel a tel que l'événement ($X = a$) soit certain. Ainsi
\[ X(\Omega) = \acc{a} \; \text{et} \quad P(X=a) = 1 .\]
\end{defi}
\pause
\begin{theo}{Espérance et Variance de la loi certaine}
Soit $a \in \R$ et $X$ une variable aléatoire suivant la loi certaine égale à $a$. Alors
 \[ E(X) = a \quad  \text{et} \quad  Var(X) = 0 .\]
\end{theo}
\tableau{\exercice}
\end{frame}

\subsection{Loi uniforme}
\begin{frame}
\soustitre
\question{On lance un dé à 6 faces et on note $X$ la variable aléatoire associée au numéro de la face obtenue.}
\pause
\begin{defi}{Loi uniforme}
Soit $n \in \N^*$. On dit que la variable aléatoire $X$ suit la loi uniforme sur $\entier{1,n}$ si
\[ X(\Omega) = \entier{1,n} \; \text{et} \quad \forall k \in \entier{1,n} P(X=k) = \dfrac{1}{n} .\]
On note alors $X \loi{U}(\entier{1,n})$. 
\end{defi}
\pause
\begin{theo}{Espérance et Variance de la loi uniforme}
Soit $X \loi{U}(\entier{1,n})$. Alors
 \[ E(X) = \dfrac{n+1}{2} \quad  \text{et} Var(X) = \dfrac{n^2 - 1}{12} .\]
\end{theo}
\tableau{\exercice puis \exercice}
\end{frame}

\subsection{Loi de Bernoulli}
\begin{frame}
\soustitre
\question{On lance une pièce truquée ayant pour probabilité $p \in ]0,1[$ de faire pile. On note $X$ la variable aléatoire valant 1 si on fait pile, 0 sinon.}
\pause
\begin{defi}{Loi de Bernoulli}
Soit $p \in ]0,1[$. On dit que la variable aléatoire $X$ suit la loi de Bernoulli de paramètre $p$ si
\[ X(\Omega) = \acc{0,1} \; \text{et} \quad P(X=1) = p ,  \quad P(X = 0) = q = 1-p .\]
On note alors $X \loi{B}(p)$. 
\end{defi}
\pause
\begin{theo}{Espérance et Variance de la loi de Bernoulli}
Soit $p \in ]0,1[$ et $X \loi{B}(p)$. Alors
 \[ E(X) = p \quad  \text{et} Var(X) = pq = p(1-p).\]
\end{theo}
\tableau{\exercice \quad  puis \exercice}
\end{frame}

\subsection{Loi Binomiale}
\begin{frame}
\soustitre
\question{On lance $n$ pièces truquées ayant pour probabilité $p \in ]0,1[$ de faire pile. On note $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de pile.}
\pause
\begin{defi}{Loi Binomiale}
Soit $n \in \N^*$ et $p \in ]0,1[$. On dit que la variable aléatoire $X$ suit la loi Binomiale de paramètre $(n,p)$ si
\[ X(\Omega) = \entier{0,n} \; \text{et} \forall k \in \entier{0,n} ,  \; P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} .\]
On note alors $X \loi{B}(n,p)$. 
\end{defi}
\pause
\begin{ex}{Fondamental}
On répète $n$ fois de manière indépendante une expérience ayant deux
issues possibles : le succès de probabilité $p$, et l'échec de probabilité $1-p$. On parle d'expérience de Bernoulli. La variable aléatoire $X$ comptant le nombre de succès obtenus suit une loi binomiale de paramètre $(n,p)$.
\end{ex}
\end{frame}

\begin{frame}
\remarque{Il s'agit bien d'une loir de probabilité}
\tableau{\exercice}
\pause
\remarque{ Dans le cas $n=1$, on retrouve la loi de Bernoulli de paramètre $p$.}
\begin{theo}{Espérance et Variance de la loi binomiale}
Soit $n \in \N^*$, $p \in ]0,1[$ et $X \loi{B}(n,p)$. Alors
 \[ E(X) = np \quad  \text{et} \quad  Var(X) = npq = np(1-p).\]
\end{theo}
\tableau{Démonstration de l'espérance de 2 manières et \exercice}
\end{frame}

\end{document}
