\input{../preambules/prebeam.tex}

%Pour le TITLEPAGE
\title{Chapitre 8: \\
Limites d'une fonction r�elle}
\date{}


\begin{document}

\begin{frame}
	\titlepage
	
	\begin{savoirfaire}
		\item Calculer la limite d'une fonction (sans ind�termination).
		\item Calculer la limite d'une fonction (avec ind�termination)
		\item D�terminer une limite avec des in�galit�s	
	\end{savoirfaire}
\end{frame}

\begin{frame}

{\small
\begin{histoire}
Intuitivement, on dit qu'une quantit� d�pendant d'un param�tre (par
exemple le temps) admet une limite finie $\ell$ en un point $a$, si cette quantit� � se rapproche de plus en plus de $\ell$ � lorsque le temps se rapproche de $a$. Il est possible de formuler de fa�on tr�s pr�cise l'expression � se rapproche de plus en plus de �. 
\vspace{5pt}
\pause

Ce fut le centre des travaux de 3 math�maticiens c�l�bres du $XIX^e$ si�cle: Cauchy (Fran�ais, 1789 - 1853), Bolzano (Empire d'Autriche, 1781-1848) et Weierstrass (Empire Allemand, 1815-1897). Ils s'attach�rent � donner une d�finition rigoureuse des limites. \\

\begin{minipage}{0.3\linewidth}
\begin{figure}
\includegraphics[scale=0.25]{Cauchy.jpg}
\caption*{Cauchy}
\end{figure}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.3\linewidth}
\begin{figure}
\includegraphics[scale=0.3]{Bolzano.jpg}
\caption*{Bolzano}
\end{figure}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.3\linewidth}
\begin{figure}
\includegraphics[scale=0.28]{Weierstrass.jpg}
\caption*{Weierstrass}
\end{figure}
\end{minipage}
\end{histoire}
}

\end{frame}

\section{Limites � l'infini}
\subsection{Limite finie en l'infini}
\begin{frame}
\titre
\soustitre
\vspace{5pt}
On dit que la fonction $f$ tend vers $\ell$ quand $x$ tend vers $+\infty$ ssi
\pause
$$
\forall\epsilon>0,\;\exists M>0\text{ tel que }\forall x\in D_f,\;\;x > M\Rightarrow\left|f(x)-\ell\right|<\epsilon.
$$

\pause

\begin{defi}{Limites finie en l'infini}
On dit que la fonction $f$ tend vers $\ell$ quand $x$ tend vers $+\infty$ si et seulement si pour tout $\varepsilon >0$(aussi petit qu'on veut), la quantit� $f(x) - \ell$ est comprise entre $-\varepsilon$ et $+ \varepsilon$
lorsque $x$ est suffisamment grand. On note 
\[
\li_{x \to +\infty} f(x) = \ell
\]
\end{defi}
\pause

\begin{ex}{Limite usuelle}
\tableau{\exercice}
\end{ex}

\end{frame}

\begin{frame}
\begin{figure}
\includegraphics[scale=0.5]{limite1.jpg}
\caption*{Exemple de limite finie en l'infini}
\end{figure}

\remarque{On d�finit de m�me la limite en $- \infty$.}
\pause
\begin{defi}{Asymptote horizontale}
Soit $f$ une fonction telle que $\li_{x \to + \infty} f(x) = \ell$ (o� $\ell \in \R$). Ainsi la droite d'�quation $y = \ell$ est appel�e asymptote horizontale � la courbe de $f$ au voisinage de $+ \infty$ (m�me chose en $-\infty$).
\end{defi}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{figure}
\includegraphics[scale=0.7]{asymptote1.jpg}
\end{figure}

\pause
\begin{metodo}{}
Pour �tudier la position de la courbe de $f$ par rapport � l'asymptote $y = \ell$ , on �tudie le signe de $f (x)- \ell$ :
\begin{itemize}
\item Si $f (x)- \ell \geq 0$, la courbe est au-dessus de son asymptote.
\item Si $f (x)- \ell \leq 0$, la courbe est en dessous de son asymptote.
\end{itemize}

\end{metodo}
\tableau{\exercice}
\end{frame}

\subsection{Limite infinie en l'infini}
\begin{frame}
\soustitre
\begin{defi}{Limite infinie en l'infini}
Si, pour tout nombre $A$ (aussi grand qu'on veut), la fonction $f$ est toujours sup�rieure ou �gale � $A$ d�s que $x$ est suffisamment grand, on dit que f a pour limite $+ \infty$ quand $x$ tend vers $ + \infty$. On note
\[
\li_{x \to +\infty} f(x) = + \infty
\]
\end{defi}
\remarque{En langage math�matique on �crit donc
$$
\forall A>0, \exists M\in\R,\forall x\geq M\implies f(x)\geq A
$$}
\begin{ex}{Limite usuelle}
\tableau{\exercice}
\end{ex}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{figure}
\includegraphics[scale=0.5]{limite2.jpg}
\caption*{Exemple de limite infinie en l'infini}
\end{figure}

\pause
\remarque{On d�finit de m�me $\li_{x \to +\infty} f(x) = - \infty$, $\li_{x \to -\infty} f(x) = + \infty$ et $\li_{x \to -\infty} f(x) = - \infty$}

\end{frame}

\section{Limites en un point}
\subsection{Limite finie en un point.}
\begin{frame}
\titre
\soustitre
\begin{defi}{Limite finie en un point.}
Soient $x_0$ et $\ell$ deux r�els. Si $f (x)$ est aussi proche que l'on veut de $\ell$ d�s lors que $x$ est proche de $x_0$, on dit que $f$ a pour limite $\ell$ quand $x$ tend vers $x_0$. On note
\[
\li_{x \to x_0} f(x) = \ell
\]
\end{defi}
\pause
\remarque{En langage math�matique on �crit donc
\[
\forall \varepsilon>0, \exists \alpha > 0,\forall x, |x - x_0| < \alpha\implies |f(x)- \ell| < \varepsilon.
\]}
\vspace{-20pt}
\begin{ex}{}
\[
\li_{x \to 2} 2x + 1 = \qquad \qquad \li_{x \to 2} x^2 - 2x  +1 = 
\]
\end{ex}
\end{frame}

\subsection{Limite infinie en un point.}
\begin{frame}
\soustitre
\begin{defi}{Limite infinie en un point.}
Soit $x_0 \in \R$. Si $f (x)$ est aussi grand que l'on veut d�s lors que $x$ est proche de $x_0$, on dit que $f$ a pour limite $+ \infty$ quand $x$ tend vers $x_0$. On note
\[
\li_{x \to x_0} f(x) = + \infty
\]
\end{defi}
\pause
\remarque{En langage math�matique on �crit donc
\[
\forall A>0, \exists \alpha > 0,\forall x, |x - x_0| < \alpha\implies f(x) > A.
\]}
\vspace{-20pt}
\remarque{On d�finit de m�me $\li_{x \to x_0} f(x) = - \infty$.}
\begin{ex}{}
\[
\li_{x \to 0} \dfrac{1}{x^2} =  \qquad \qquad \li_{x \to 0} \ln(e^{x^2} -1) =
\]
\end{ex}
\end{frame}

\subsection{Limite � droite ou � gauche.}
\begin{frame}
\soustitre
\begin{defi}{Limite � droite ou � gauche.}
Soit $x_0 \in \R$.
\begin{itemize}
\item Si on s'int�resse � la limite en $x_0$, en imposant $x < x_0$, on parle de la limite � gauche en $x_0$, et on note $ \li_{x \to x_0^{-}}$ ou $\li_{x \toi x_0} $.
\item Si on s'int�resse � la limite en $x_0$, en imposant $x > x_0$, on parle de la limite � droite en $x_0$, et on note $ \li_{x \to x_0^{+}}$ ou $\li_{x \tos x_0} $.
\end{itemize} 
\end{defi}
\pause
\begin{prop}{}
Soit $f$ une fonction et $x_0 \in \R$. Alors $f$ admet une limite en $x_0$ si et seulement si $f$ admet des limites � gauche et � droite en $x_0$ et que ces limites sont les m�mes. Dans ce cas,
\[ \li_{x \toi x_0} f(x) = \li_{x \tos x_0} f(x)  = \li_{x \to x_0} f(x) 
\]
\end{prop}

\tableau{\exercice}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{metodo}{Limites � droite ou � gauche. }
On est souvent amen� � �tudier des limites � droite et � gauche lorsque
\begin{itemize}
\item La fonction n'est d�finie que sur un intervalle et on regarde la limite au bord de cet intervalle.
\item La fonction est d�finie de deux mani�res diff�rentes selon les intervalles.
\end{itemize}
\end{metodo}
\tableau{\exercice}
\pause
\begin{defi}{Asymptote verticale}
Si $\li_{x \to a^+ (\text{ou} a^-)} f (x) = + \infty$ ( ou $- \infty$), on dit que la droite d'�quation $x = a$ est une asymptote verticale � la courbe de $f$.
\end{defi}
\tableau{Dessin}
\end{frame}

\section{Calculs de limites}
\subsection{Limites usuelles}
\begin{frame}
\titre
\soustitre
\begin{prop}{Fonctions usuelles}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
Fonctions & Limites � retenir \\
\hline
Puissances & $\li_{x \to + \infty} x^n = + \infty $\\
& $ \li_{x \to - \infty} x^n = + \infty $ si n est pair, $-\infty$ sinon\\ 
\hline
Inverse & $\li_{x \to + \infty} \frac{1}{x} = 0^+, \quad \li_{x \to - \infty} \frac{1}{x} = 0^- $ \\
 & $\li_{x \tos 0} \frac{1}{x} = + \infty, \quad \li_{x \toi 0} \frac{1}{x} = - \infty $ \\
 \hline
Racine carr�e & $\li_{x \to + \infty} \sqrt{x} = + \infty, \quad \li_{x \to 0^+} \sqrt{x} = 0$ \\
\hline
logarithme & $\li_{x \to + \infty} \ln(x) = + \infty, \quad \li_{x \to 0^+} \ln(x) = - \infty$ \\
\hline
exponentielle &  $\li_{x \to + \infty} e^x = + \infty, \quad \li_{x \to - \infty} e^x = 0$ \\
\hline
Valeur absolue & $\li_{x \to + \infty} | x | = + \infty, \quad \li_{x \to - \infty}  |x| = + \infty$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{prop}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{prop}{Fonctions puissances}
\begin{itemize}
\item Pour tout $\alpha > 0, \li_{x \to + \infty} x^\alpha = + \infty$ et $\li_{x \tos 0} x^\alpha = 0$.
\item Pour tout $\alpha < 0, \li_{x \to + \infty} x^\alpha = 0$ et $\li_{x \tos 0} x^\alpha = + \infty$.
\item Pour tout $a > 1, \li_{x \to + \infty} a^x = + \infty$ et $\li_{x \to -\infty} a^x = 0$.
\item Pour tout $0< a < 1, \li_{x \to + \infty} a^x =0$ et $\li_{x \to -\infty} a^x = + \infty$.
\end{itemize}
\end{prop}
\remarque{Toutes ces propri�t�s se retrouvent � partir de la formule de la puissance : $\alpha^\beta = e^{\beta \ln(\alpha)} $.}
\tableau{\exercice}
\end{frame}

\subsection{Op�rations sur les limites}
\begin{frame}
\soustitre
\begin{prop}{Limite de $f+g$}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\rule[-1.5ex]{0pt}{4ex} lim $g$ / lim $f$ & $\ell$ & $+ \infty$ & $- \infty$ \\
\hline
\rule[-1.5ex]{0pt}{4ex} $\ell'$ & $\ell+\ell'$ & $+\infty$ & $- \infty$ \\
\hline
\rule[-1.5ex]{0pt}{4ex} $+ \infty $& $+ \infty $& $ + \infty$ & FI \\ 
\hline
\rule[-1.5ex]{0pt}{4ex} $- \infty $& $- \infty $&  FI & $ - \infty$ \\ 
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{prop}

\begin{ex}{}
\[ \li_{x \to + \infty} x + \sqrt{x} =  + \infty
\]
\end{ex}
\tableau{\exercice}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{prop}{Limite de $f \times g$}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\rule[-1.5ex]{0pt}{4ex} lim $g$ / lim $f$ & $ \ell \neq0$ & $ 0$ & $+ \infty$ & $- \infty$ \\
\hline
\rule[-1.5ex]{0pt}{4ex} $\ell' \neq 0$ & $\ell \times \ell'$ & 0 & $\text{sgn}(\ell').\infty$ & $-\text{sgn}(\ell'). \infty$ \\
\hline
\rule[-1.5ex]{0pt}{4ex} $0$ & 0 & 0 &FI & FI \\
\hline
\rule[-1.5ex]{0pt}{4ex} $+ \infty $& $\text{sgn}(\ell). \infty $& FI & $ + \infty$ & $- \infty$ \\ 
\hline
\rule[-1.5ex]{0pt}{4ex} $- \infty $& $- \text{sgn}(\ell).\infty $&  FI & $-\infty$ & $ + \infty$ \\ 
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{prop}

\begin{ex}{}
\[ \li_{x \to + \infty} x \times \sqrt{x} =  + \infty
\]
\end{ex}
\tableau{\exercice}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{prop}{Limite de $\dfrac{f}{g}$}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\rule[-1.5ex]{0pt}{4ex} lim $g$ / lim $f$ & $ \ell \neq 0$ & $\ell = 0$ & $+ \infty$ & $- \infty$ \\
\hline
\rule[-2.25ex]{0pt}{6ex} $\ell' \neq 0$ & $\dfrac{\ell}{\ell'}$ & 0 & $\text{sgn}(\ell').\infty$ & $-\text{sgn}(\ell'). \infty$ \\
\hline
\rule[-1.5ex]{0pt}{4ex} $0^+$ & $\text{sgn}(\ell).\infty$ & FI & $+ \infty$ & $- \infty$ \\
\hline
\rule[-1.5ex]{0pt}{4ex} $0^-$ & $- \text{sgn}(\ell).\infty $ & FI & $- \infty$ & $+\infty$ \\
\hline
\rule[-1.5ex]{0pt}{4ex} $+ \infty $& 0 & 0 & FI & FI \\ 
\hline
\rule[-1.5ex]{0pt}{4ex} $- \infty $&  0 & 0 & FI & FI  \\ 
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{prop}

\begin{ex}{}
\[ \li_{x \to + \infty} \dfrac{1+\dfrac1x}{\sqrt{x}} =  0 \qquad \li_{x \tos 0} \dfrac{x^2 +1}{x}= +\infty
\]
\end{ex}
\tableau{\exercice}
\end{frame}

\subsection{Limite d'une fonction compos�e}
\begin{frame}
\soustitre

\vspace{+5pt}
\question{Comment d�terminer $\li_{x \to + \infty} \sqrt{x^2 - x +1}$ ?}
\pause
\begin{prop}{Limite de fonctions compos�es}
Soient $f$ , $g$ ,$h$ trois fonctions telles que $f (x) = g (h(x))$ sur un intervalle I. Soient $a,b,c$ des �l�ments de $ \R \cup \{- \infty; + \infty \}$. Si $\li_{x \to a} h(x) = b$ et $\li_{X \to b} g(X) = c$, alors
\[
\li_{x \to a }f(x) = c
\]
\end{prop}
\pause
\begin{metodo}{D�terminer la limite de $f(x) = g(h(x))$ en $x_0$}
\begin{enumerate}
\item On pose $X = h(x)$.
\item On d�termine la limite $b$ de $h(x)$ en $x_0$.
\item On d�termine la limite $c$ de $g(X)$ en $b$, et on conclut : la limite de $f$ en $x_0$ vaut $c$.
\end{enumerate}
\end{metodo}
\tableau{Exemple pr�c�dent puis \exercice}
\end{frame}

\subsection{Croissances compar�es}
\begin{frame}
\soustitre
\begin{prop}{Croissances compar�es}
Pour tout $\alpha >0$ et $\beta >0$
\[
\li_{x \to + \infty} \dfrac{e^{\beta x}}{x^\alpha} = + \infty \quad \text{et} \quad \li_{x \to + \infty} \dfrac{x^\alpha}{(\ln(x))^\beta} = + \infty
\]
\end{prop}
\vspace{-5pt}
\pause
\begin{prop}{Cons�quence}
Par passage � l'inverse, on obtient
\[
\li_{x \to + \infty} \dfrac{x^\alpha}{e^{\beta x}} = 0 \quad \text{et} \quad \li_{x \to + \infty} \dfrac{(\ln(x))^\beta}{x^\alpha} = 0
\]
\end{prop}
\tableau{\exercice}
\vspace{-5pt}

\end{frame}

\begin{frame}
\begin{prop}{Croissances compar�es}
Pour tout $\alpha >0$ et $n \in \N$
\[
\li_{x \tos 0} x^\alpha \ln(x) = 0 \quad \text{et} \quad \li_{x \to - \infty} x^n e^x = 0
\]
\end{prop}
\vspace{-5pt}
\tableau{Preuve directe de la derni�re propri�t�}
\pause
\remarque{On pourra retenir que l'exponentielle l'emporte sur les puissance qui l'emporte sur le logarithme.}
\pause
\begin{metodo}{Croissances compar�es}
Pour utiliser les croissances compar�es, il faut souvent faire un changement de variable pour s'y ramener.
\end{metodo}
\tableau{\exercice}
\end{frame}

\section{Lever les ind�terminations}
\subsection{Cas $\infty - \infty$}
\begin{frame}
\titre
\soustitre
\begin{ex}{}
\[ \li_{x \to + \infty} x^3 - x \quad ; \quad \li_{x \to + \infty} \sqrt{x^2 -1} - x \quad ; \quad \li_{x \to + \infty} x - e^x 
\]
\end{ex}
\pause
\begin{metodo}{Ind�termination $\infty - \infty$}
\begin{itemize}
\item Si c'est un polyn�me, on factorise par le th�or�me de plus haut degr� (on utilisera plus tard un th�or�me tr�s pratique)
\item S'il y a une racine carr�e, on multiplie par la quantit� conjugu�e.  
\item Sinon, on force la factorisation par le terme qui semble converger le plus rapidement. 
\end{itemize}
\end{metodo}
\tableau{D�termination des exemples et \exercice}
\end{frame}

\subsection{Cas $0 \times \infty$}
\begin{frame}
\soustitre
\begin{ex}{}
\[ \li_{x \tos 1} (x^2 - 1)\ln(x-1) \quad ; \quad \li_{x \to - \infty} x e^{x^3} 
\]
\end{ex}
\pause
\begin{metodo}{Ind�termination $0 \times \infty$}
\begin{itemize}
\item On fait un changement de variable afin de se ramener � une croissance compar�e. 
\end{itemize}
\end{metodo}
\tableau{D�termination des exemples et \exercice}
\end{frame}

\subsection{Cas $\frac{\infty}{\infty}$}
\begin{frame}
\soustitre
\begin{ex}{}
\[ \li_{x \to + \infty} \dfrac{x^2 - 1}{x+1} \quad ; \quad \li_{x \to + \infty} \dfrac{e^{x}}{\ln(x)} \quad ; \quad \li_{x \to + \infty} \dfrac{e^x + x^4}{e^{2x} - e^x + 3}
\]
\end{ex}
\pause
\begin{metodo}{Ind�termination $\dfrac{\infty}{\infty}$}
\begin{itemize}
\item S'il s'agit d'une fraction rationnelle, on factorise le num�rateur et le d�nominateur par le terme de plus haut degr� puis on simplifie (on aura �galement un th�or�me plus tard). 
\item On fait un changement de variable ou on fait des calculs pour faire apparaitre une croissance compar�e
\item Dans le cas g�n�ral, on factorise au num�rateur et au d�nominateur par le terme qui croit le plus vite.  
\end{itemize}
\end{metodo}
\tableau{D�termination des exemples et \exercice}
\end{frame}

\subsection{Cas $\frac{0}{0}$}
\begin{frame}
\soustitre
\begin{ex}{}
\[ \li_{x \to 1} \dfrac{x^2 - 1}{(x-1)^2} \quad ; \quad \li_{x \to 0} \dfrac{e^{2x} -1}{(e^x - 1)^2} \quad ; \quad \li_{x \to 0} \dfrac{e^x -1}{x}
\]
\end{ex}
\pause
\begin{metodo}{Ind�termination $\dfrac{0}{0}$}
\begin{itemize}
\item S'il s'agit d'une fraction rationnelle (ou assimil�)
	\begin{enumerate}
	\item On cherche les racines du num�rateur et du d�nominateur.
	\item On factorise.
	\item On simplifie. 
	\end{enumerate}
\item Sinon, on regarde si c'est une limite connue.
\end{itemize}
\end{metodo}
\pause
\begin{prop}{Taux d'accroissement}
On a les limites suivantes
\[ \li_{x \to + 0} \dfrac{e^x - 1}{x} = 1, \qquad \li_{x \to 0} \dfrac{\ln(1+x)}{x} = 1 
\] 
\end{prop}
\tableau{D�termination des exemples et \exercice}
\end{frame}

\section{Th�or�mes de comparaison}

\subsection{Passage � la limite dans les in�galit�s}
\begin{frame}
\titre
\soustitre
\begin{prop}{}
Soient {f }et {g} deux fonctions et $x_{0}\in \mathbb{R} \cup \acc{- \infty ; + \infty}$
\begin{itemize}
\item Si $f(x)\geqslant g(x)$ et si {$\underset{x\rightarrow x_{0}}{\lim}f(x)=\ell$} et {$\underset{x\rightarrow x_{0}}{\lim}g(x)=\ell'$ } avec $(\ell,\ell')\in\mathbb{R}^{2}$ alors {$\ell\geqslant \ell'$}

\item Si $f(x)\geqslant g(x)$ et si {$\underset{x\rightarrow x_{0}}{\lim}g(x)=+\infty$ }
alors {$\underset{x\rightarrow x_{0}}{\lim}f(x)=+\infty$ }

\item Si $f(x)\geqslant g(x)$ et si {$\underset{x\rightarrow x_{0}}{\lim}f(x)=-\infty$ }
alors {$\underset{x\rightarrow x_{0}}{\lim}g(x)=-\infty$ }
\end{itemize}
\end{prop}
\remarque{L'op�ration de passage � la limite est compatible avec les in�galit�s larges mais pas aux in�galit�s strictes:}
\tableau{Contre exemple et \exercice}
\end{frame}

\subsection{Limite par encadrement}
\begin{frame}
\soustitre
\begin{prop}{Th�or�me d'encadrement ou th�or�me des gendarmes}
Soient $f, g$ et $h$ trois fonctions d�finies au voisinage
de $x_{0}$ et $\ell \in \R$. Si $g(x)\leqslant f(x)\leqslant h(x)$
et si {$\underset{x\rightarrow x_{0}}{\lim}g(x)$ $=\underset{x\rightarrow x_{0}}{\lim}h(x)=\ell$ }alors :
 
{$f$ }admet une limite en $x_{0}$ et {$\underset{x\rightarrow x_{0}}{\lim}f(x)=\ell$.}
\end{prop}
\pause
\begin{prop}{Corollaire}
Soient $f$ et $g$ deux fonctions telles que $|f(x) - \ell| \leq g(x)$. Si $\li_{x \to x_0} g(x) = 0$ alors $\lim_{x \to x_0} f(x) = \ell$.
\end{prop}
\tableau{D�monstration du corollaire et \exercice}
\end{frame}

%\subsection{Asymptote oblique}
%
%\begin{frame}
%\soustitre
%\vspace{+5pt}
%\question{Que dire du comportement de la fonction $f : x \to x - 1 + \dfrac{1}{x}$ quand $x$ tend vers $+\infty$ ? }
%\pause
%\begin{defi}{Asymptote oblique}
%Soit $\mathscr{C}_f$ la courbe repr�sentative d'une fonction $f$ dans un rep�re donn�. Soit $(\mathscr{D})$ une droite d'�quation $y = ax +b$ $(a \neq 0)$. On dit que la droite $(\mathscr{D})$ est une asymptote oblique � $\mathscr{C}_f$ en $+ \infty$ si 
%\[
%\lim_{x \to + \infty} \left( f(x) - (ax +b) \right) = 0
%\]
%\end{defi}
%\remarque{M�me d�finition en $- \infty$.}
%\tableau{\exercice}
%\end{frame}

\end{document}
