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%Pour le TITLEPAGE
\title{Chapitre 3: \\
Généralités sur les suites et suites usuelles.}
\date{}



\begin{document}

\begin{frame}
	\titlepage
	
	\begin{savoirfaire}
	\item Démontrer par récurrence
	\item Déterminer la monotonie d'une suite
	\item Montrer qu'une suite est minorée ou majorée
	\item Déterminer la formulation explicite des suites classiques. 
	\end{savoirfaire}
\end{frame}

\begin{frame}
	\begin{histoire}
En économie, on a souvent besoin d'étudier des suites de données numériques, en particulier quand on suit l'évolution des valeurs d'une variable économique au cours du temps. On peut étudier par exemple la suite formée des valeurs successives :
\begin{itemize}
\item du PIB chaque année ;
\item du taux de ch\^omage chaque mois ;
\item du taux d'inflation chaque année.
\end{itemize}
Il est donc utile pour l'économiste de savoir analyser des suites de nombres et répondre à des questions comme :
\begin{itemize}
\item les valeurs sont-elles de plus en plus élevées ?
\item les valeurs de cette suite varient-elles de moins en moins avec le temps, pour se rapprocher d'un nombre donné ?
\end{itemize}
	\end{histoire}
\pause
\begin{ex}{\'Evolution de l'épargne}
J'ai initialement 2000 \euro{} d'économies et j'ajoute 100 \euro{} par mois à mon épargne. Quelles sont les premiers termes de la suite décrivant l'évolution de mon épargne ? Quelle formule donne le total de l'épargne au $n^e$ mois ?
\end{ex}
\end{frame}

\section{Définition et principe de récurrence. }
\subsection{Définition et notation}
\begin{frame}{}
	\titre
	\soustitre
	\pause
		
	\begin{defi}{Suite numérique réelle.}
	Une suite numérique réelle est une fonction définie sur $\N$ (ou sur une partie de $\N$) et à valeurs dans R.
	\end{defi}
	\pause	
Une suite $u$ définie par
\begin{center}$\begin{array}{rcl}
u: \N & \to & \R \\
n & \mapsto & u_n
\end{array}	$
\end{center}
se note plus simplement $(u_n)_{n \in \N}$ ou $(u_n)$. L'élément $u_n$ est appelé terme de rang $n$ de la suite $u$.

\pause
\begin{ex}{Définition des suites}
		Dans l'exercice précédent, on note $(u_n)_{n \in \N}$ la suite décrivant l'épargne au cours du mois. On a alors \\
	\center{$\forall n \in \N, \quad u_n = 2000 + 100n$.}
	\end{ex}
 
\end{frame}
	
	\subsection{Trois types de définition}

\begin{frame}{}
	\soustitre
	\pause
	\begin{enumerate}
	\item {\bf Définition explicite - $u_n = f(n)$}. \\ 
	La suite peut être définie explicitement (souvent à l'aide d'une formule) :
	\pause
	\begin{itemize}
	\pause
	\item $u$ est définie par $u_n =2000 +100n$ pour $n \in \N$. 
	\pause
	\item $v$ est la suite définie par $v_n$ est la $n^{ème}$ décimale de $\pi$, pour $n \in \N^*$.
	\pause
	\end{itemize}
	\item {\bf Définition par récurrence - $u_{n+1} = f(u_n)$}. \\ 
	Elle peut également être définie par récurrence, c'est à dire en fonction des anciennes valeurs de la suite. 
	\begin{itemize}
	\pause
	\item Dans les exemples précédents, $u$ est la suite définie par $u_0 = 2000$ et par $u_{n+1} = u_n +100$.
	\pause
	\item $\left\{ \begin{array}{rcl}
	v_0  =  2, \quad v_1 = 3 \\
	\forall n \in \N, v_{n+2}  = \dfrac{v_{n+1}}{v_n}
	\end{array}
	\right.$
	\end{itemize}
	\pause
	\item {\bf Définition implicite}. \\ 
	Une suite peut également être définie par une equation. Par exemple, soit $(u_n)$ la suite définie pour tout $n >3$ par : "$u_n$ est l'unique solution de l'équation $\ln(x) = nx$.
	\end{enumerate}
	
\end{frame}

\subsection{Principe de récurrence}
\begin{frame}
\soustitre

{\small \it Le principe de récurrence est un raisonnement des mathématiques permettant de montrer des propositions dépendant d'un entier. }
\pause

	\begin{defi}{Principe de récurrence}
	Soit $\mathcal{P}_n$ une proposition dépendant d'un entier et $n_0 \in \N$, fixé.
	\begin{itemize}
	\item Si $\mathcal{P}_{n_0}$ est vraie ({\bf initialisation}),
	\item Si pour tout entier $n \geq n_0$, $\mathcal{P}_n \implies \mathcal{P}_{n+1}$({\bf hérédité}),
	\end{itemize}
alors $\mathcal{P}_n$ est vraie pour tout entier $n \geq n_0$. 
	\end{defi}
	\pause	
	
	\begin{metodo}{Récurrence.}
\begin{enumerate}
\item \'Ennoncer clairement la propriété que l'on veut montrer.
\item Initialisation : Vérifier que la propriété est vraie au rang $n_0$ (en général, c'est facile).
\item Hérédité : On suppose que la propriété est vraie pour un certain rang $n \geq n_0$ et on montre que la propriété est vraie au rang $n+1$.  
\item Conclusion : On réécrit clairement ce qu'on a démontré.
\end{enumerate}
	\end{metodo}

\tableau{\exercice }
\end{frame}

	\section{Comportement des suites}
	
	
\subsection{Suites majorées, minorées, bornées}
\begin{frame}
\titre
\soustitre
\pause
\begin{defi}{Suites majorées, minorées, bornées}
\begin{itemize}
\item Une suite $(u_n)$ est dite minorée s'il existe $m \in \R$ tel que $ m \leq u_n$ pour tout $n$. $m$ s'appelle un minorant.
\item Une suite $(u_n)$ est dite majorée s'il existe $M \in \R$ tel que $M \geq u_n$ pour tout $n$. $M$ s'appelle un majorant.
\item Une suite bornée est une suite à la fois majorée et minorée : il existe deux réels $m$ et $M$ tels que pour tout $n$: \\
\begin{center}
$ m  \leq u_n \leq M$
\end{center}
\end{itemize}
\end{defi}
\pause

\begin{ex}{}
La suite $u$ définie par $u_n = \dfrac{1}{n+1}$ est bornée car $\forall n, \; 0 \leq u_n \leq 1$.
\end{ex}
\pause

\begin{metodo}{}
Dans le cas d'une suite définie par récurrence, on peut également montrer qu'elle est bornée par récurrence.
\end{metodo}

\tableau{\exercice}
\end{frame}

	
	
	\subsection{Suites monotones}
\begin{frame}
	\soustitre
\pause
	\begin{defi}{Suites monotones}
	Soit $(u_n)$ une suite. 
	\begin{itemize}
	\item On dit que $(u_n)$ est constante si $u_n = u_{n+1}$ pour tout n.
	\item On dit que $(u_n)$ est une suite croissante (resp strictement croissante) si $u_n \leq u_{n+1}$ (resp $u_n < u_{n+1}$) pour tout n.
	\item On dit que $(u_n)$ est une suite décroissante (resp strictement décroissante) si $u_n \geq u_{n+1}$ (resp $u_n > u_{n+1}$) pour tout n.
	\item Une suite monotone est une suite soit croissante, soit décroissante.
	\end{itemize}	 
	\end{defi}
	\pause
	\remarque{Une suite peut n'être monotone qu'à partir d'un certain rang $n_0$. Une suite constante à partir d'un certain rang est dit stationnaire.}
	
	\tableau{Exemples de suites monotones.}
\end{frame}

\subsection{Méthodes de recherche des variations d'une suite.}
\begin{frame}
\soustitre
\pause
\begin{metodo}{Suites définies explicitement}
Pour étudier la monotonie d'une suite $(u_n)$ définie pour tout entier $n\geq n_0$ par $u_n = f (n)$, on introduit la fonction $f$ associée, et on étudie ses variations. On en déduit alors la monotonie de u.
\begin{itemize}
\item Si $f$ est croissante sur $[n_0;+\infty[$, alors la suite $(u_n)$ est croissante.
\item Si $f$ est décroissante sur $[n_0;+\infty[$, alors la suite $(u_n)$ est décroissante.
\end{itemize}
\end{metodo}

\tableau{Démonstration de la méthode}
\tableau{\exercice}
\end{frame}

\begin{frame}

\begin{metodo}{Méthode des soustractions}
Soit une suite $u$ donnée. On peut étudier le signe de la différence $u_{n+1} -u_n$.
\begin{itemize}
\item Si $\forall n, \; u_{n+1} - u_n \geq 0$, alors la suite $u$ est croissante.
\item Si $\forall n, \; u_{n+1} - u_n \leq 0$, alors la suite $u$ est décroissante.
\end{itemize}
\end{metodo}
\tableau{\exercice}

\pause

\begin{metodo}{Méthode des divisions}
Soit une suite $u$ dont {\bf tous les termes sont strictement positifs}. On a alors
\begin{itemize}
\item Si $\forall n, \; \dfrac{u_{n+1}}{ u_n} \geq 1$, alors la suite $u$ est croissante.
\item Si $\forall n, \; \dfrac{u_{n+1}}{u_n} \leq 1$, alors la suite $u$ est décroissante.
\end{itemize}
\end{metodo}
\tableau{\exercice}

\end{frame}

\begin{frame}
\begin{ex}{Suites géométriques}
\begin{itemize}
\item Si $a >1$, la suite $(a^n)$ est strictement croissante.
\item Si $a =1$, la suite $(a^n)$ est constante.
\item Si $0<a <1$, la suite $(a^n)$ est strictement décroissante.
\end{itemize}
\end{ex}

\pause
\begin{metodo}{Méthode par récurrence}
Dans le cas d'une suite définie par récurrence, on peut étudier sa monotonie par récurrence, en prenant comme hypothèse de récurrence $\mathcal{P}_n : "u_{n+1} \geq u_n"$ pour montrer que la suite est croissante, ou $\mathcal{P}_n : "u_{n+1} \leq u_n"$ pour montrer qu'elle est décroissante
\end{metodo}
\tableau{\exercice}

\end{frame}

\section{Suites particulières}
\subsection{Suites arithmétiques}
\begin{frame}
\titre
\soustitre
\pause
\begin{defi}{Suites arithmétiques}
Une suite arithmétique est une suite $(u_n)$ définie par une formule de récurrence de la forme $ \forall n \in \N, u_{n+1} = u_n + r$ avec $r \in \R$. Le nombre $r$ est appelé la raison de la suite. 
\end{defi}
\pause
\begin{ex}{Retour à l'exemple du début}
Dans l'exemple du début, l'évolution de l'épargne est une suite arithmétique de premier terme $u_0 = 2000$ et de raison $100$.
\end{ex}

\pause
\begin{prop}{Formule explicite}
Soit u une suite arithmétique de raison r, alors: 
\vspace{-6pt}
\begin{maths}
\forall n\in\mathbb{N},\: u_{n}=u_{0}+nr
\end{maths}
Si la suite $u$ n'est définie qu'à partir
d'un rang $p \in\mathbb{N}$, alors :
\vspace{-6pt}
\[
\forall n\geq p,\: u_{n}=u_{p}+(n-p)r
\]
\end{prop}

\tableau{Preuve de la propriété par récurrence}
\end{frame}

\begin{frame}

\begin{cor}{Somme des n premiers entiers}
On a pour tout $n \in \N$,
\[
1+2+ \ldots + n = \dfrac{n (n+1)}{2}
\]
\end{cor}
\tableau{Démonstration directe de la propriété}
\pause
\begin{prop}{Sens de variation d'une
suite arithmétique}
Soit u une suite arithmétique de raison r: 
\begin{itemize}
\item si $r>0$ alors la suite $u$ est strictement croissante
\item si $r<0$ alors la suite $u$ est strictement décroissante
\item si $r=0$ alors la suite $u$ est constante.
\end{itemize}
\end{prop}

\tableau{Preuve directe des deux propriétés}
\end{frame}


\subsection{Suites géométriques}
\begin{frame}
\soustitre
\begin{defi}{Suites géométriques}
Une suite géométrique est une suite $(u_n)$ définie par une formule de récurrence de la forme : $ \forall n \in \N, u_{n+1} = q \times u_n $ avec $q \in \R$. Le nombre $q$ est appelé la raison de la suite. 
\end{defi}
\pause
\begin{prop}{Formule explicite}
Soit u une suite géométrique de raison q, alors: 
\vspace{-6pt}
\begin{maths}
\forall n\in\mathbb{N},\: u_{n}=u_{0} \times q^n
\end{maths}
Si la suite $u$ n'est définie qu'à partir
d'un rang $p \in\mathbb{N}$, alors :
\vspace{-6pt}
\[
\forall n\geq p,\: u_{n}=u_{p}\times q^{n-p}
\]
\end{prop}

\tableau{Preuve de la propriété par récurrence}
\end{frame}

\begin{frame}

\begin{prop}{Somme des $n$ premiers termes d'une suite géométrique}
Soit $q\neq 1$ et  $0\leq p\leq n$,on a alors
\[
1 + q + q^2 + \ldots + q^n =\frac{1-q^{n+1}}{1-q}
\text{ et }
q^p + \ldots + q^n =q^p\times\frac{1-q^{n-p+1}}{1-q}
\]
\end{prop}
\tableau{\exercice}
\pause
\begin{prop}{Sens de variation d'une suite géométrique}
Soit u une suite géométrique de raison q et de terme initial $u_{0}>0$: 
\begin{itemize}
\item si $0<q<1$ alors la suite $u$ est strictement décroissante
\item si $q=1$ alors la suite $u$ est constante ou stationnaire
\item si $q>1$ alors la suite $u$ est strictement croissante
\item si $q<0$ alors la suite $u$ n'est ni croissante ni décroissante(ses
termes sont alternativement positifs et négatifs).
\end{itemize}
\end{prop}
\pause
\begin{ex}{Suite non monotone}
La suite $(-1)^n$ n'est pas monotone. 
\end{ex}
\end{frame}

\begin{frame}

\end{frame}

\subsection{Suites arithmético-géométrique}
\begin{frame}
\soustitre

{\it Ces suites s'appellent aussi suites récurrentes linéaire d'ordre 1.} 
\pause
\begin{defi}{Suites arithmético-géométrique}
Une suite $u$ est une suite \textbf{arithmético-géométrique}
s'il existe deux réels $a\mathbb{\in R} \setminus \left\{ 0,1\right\} $ et
$b\in\mathbb{R^{\star}}$, tels que:
\begin{center}
\textbf{$\forall n\in\mathbb{N},\; u_{n+1}=a\times u_{n}+b.$}
\par\end{center}%
\end{defi}
\pause
\remarque{Une suite arithmético-géométrique est définie par la relation $u_{n+1}=f(u_{n})$
avec $f$ une fonction affine de la forme $f(x)=ax+b$}
\pause
\begin{prop}{Formule explicite}
Soit $u$ une suite arithmético-géométrique. Avec les notations de la définition, soit $\alpha$ le réel solution de l'équation $x=ax+b$. Alors la suite $v$ définie par $\forall n\in\mathbb{N},\: v_{n}=u_{n}-\alpha$ est une suite géométrique de raison $a$.
\end{prop}

\tableau{\exercice}
\end{frame}

\subsection{Suites récurrentes linéaires d'ordre 2 }
\begin{frame}
\soustitre
\pause
\begin{defi}{Suites récurrentes linéaires d'ordre 2}
Une suite $u$ est une suite \textbf{récurrente
linéaire d'ordre 2} s'il existe deux réels $a\in\mathbb{R^{\star}}$
et $b\in\mathbb{R^{\star}}$, tels que:
\begin{center}
$\forall n\in\mathbb{N},\; u_{n+2}=a\times u_{n+1}+b\times u_{n}.$
\end{center}
\end{defi}
\pause
\remarque{On a besoin pour définir ce type de suite de ses deux
premiers termes $u_{0}$ et $u_{1}.$}
\pause
\begin{prop}{}
Soit $u$ une suite récurrente d'ordre 2, vérifiant pour tout $n$, $u_{n+2} = a u_{n+1} + bu_n$. Alors la suite géométrique $(q^n)$ ($q \neq 0$) est solution de la récurrence si et seulement si $q^2 = aq+b$.
\end{prop}
\tableau{Démonstration de la propriété par double implication}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{prop}{Formule explicite}
Soit $u$ une suite récurrente linéaire d'ordre 2 définie par $ u_{n+2}=au_{n+1}+bu_{n}$. On pose l'équation (E) : \textbf{$x^{2}-ax-b=0$ }appelée \textbf{équation
caractéristique de }$u$.
\begin{itemize}
\item si l'équation (E) admet deux solutions réelles $x_{1}$ et $x_{2}$,
alors il existe deux réels $\lambda$ et $\mu$ tels que 
\end{itemize}
\begin{center}
\textbf{$\forall n\in\mathbb{N},\; u_{n}=\lambda\times x_{1}^{n}+\mu\times x_{2}^{n}$}
\end{center}
\begin{itemize}
\item si l'équation (E) admet une solution réelle $x_{0}$, alors il existe
deux réels $\lambda$ et $\mu$ tels que 
\begin{center}
\textbf{$\forall n\in\mathbb{N},\; u_{n}=(\lambda+\mu\times n)x_{0}^{n}$}
\par\end{center}%
\end{itemize}
\end{prop}

\pause
\begin{metodo}{Déterminer l'expression d'une suite récurrente linéaire d'ordre 2}
\begin{enumerate}
\item On pose l'équation caractéristique (E).
\item On détermine les solutions de l'équation caractéristique.
\item Une fois la (ou les) solution(s) trouvée(s), on utilise les
deux premiers termes pour obtenir un système nous donnant $\lambda$ et $\mu$.
\end{enumerate}
\end{metodo}
\tableau{\exercice}
\end{frame}

\end{document}