\input{../preambules/prebeam.tex}

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\title{Chapitre 22: Intégrales impropres}
\subtitle{}
\author[Nom (court)]{M Leboucher}
\date{}
\institute[UT3 -- FSI]{Lycée Stanislas Cannes - ECE 1}
\newcommand{\A}{\mathcal{A}}
\renewcommand{\P}{P}

\begin{document}

\begin{frame}
	\titlepage
\begin{savoirfaire}
\item \'Etudier la nature et calculer la valeur d'une intégrale généralisée. 
\item \'Etudier la nature et calculer la valeur d'une double intégrale généralisée.
\item \'Etudier la nature d'une intégrale généralisée par comparaison. 
\end{savoirfaire}	
	
	\tableau{\exercice}
\end{frame}

\section{Intégrale sur un intervalle quelconque.}
\begin{frame}
\titre
\begin{defi}{Intégrale impropre}
\begin{enumerate}
\item Soit $f$ une fonction continue sur $[a,+\infty[$. On dit que l'intégrale $\displaystyle \int_a^{+\infty} f(t) dt $ est convergente si et seulement si $\li_{x \to + \infty} \displaystyle \int_a^x f(t) dt $ existe et est finie. Dans ce cas, on note 
\[
\li_{x \to + \infty} \displaystyle \int_a^x f(t) dt = \int_a^{+\infty} f(t) dt
\]
\item On définit de même $\displaystyle \int_{- \infty}^{a} f(t) dt $
\end{enumerate}
\end{defi}
\pause
\begin{metodo}{Calcul d'intégrale impropre}
\begin{enumerate}
\item On pose $x$ afin de calculer l'intégrale sur un segment.
\item On fait tendre $x$ vers l'infini. 
\end{enumerate}
\end{metodo}
\tableau{\exercice}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{defi}{Intégrale impropre}
Soit $f$ une fonction continue sur $]a,b[$ (avec $a$ et $b$ pouvant valoir $- \infty$ ou $+ \infty$) et $c \in ]a,b[$. On dit que l'intégrale $ \displaystyle \int_a^b f(t) dt $ est convergente ssi $\li_{x \to a} \displaystyle \int_x^c f(t) dt $ et $\li_{x \to b} \displaystyle \int_c^x f(t) dt $ existent et sont finies. Dans ce cas, on note
\[
\int_a^b f(t)dt = \li_{x \to a} \int_x^c f(t) dt +\li_{x \to b} \displaystyle \int_c^x f(t) dt
\]
\end{defi}
\remarque{Dans les deux cas, ces intégrales sont appelés impropres car une intégrale n'est définie rigoureusement que sur un segment.}
\tableau{\exercice}
\end{frame}

\section{Intégrales de références}
\begin{frame}
\titre
\begin{histoire}
Tout comme les sommes, certaines intégrales sont tellement importantes qu'on les appelle intégrales de références. Elles sont à connaitre par c\oe ur.
\end{histoire}
\question{Rappeler ce qu'est une série de Riemann ?}
\pause
\begin{prop}{Intégrale de Riemann (1)}
L'intégrale impropre $\displaystyle \int_1^{+\infty} \dfrac{1}{t^{\alpha}} dt$ est convergente si et seulement si $\alpha >1$. Dans ce cas
\[ \int_1^{+\infty} \dfrac{1}{t^{\alpha}} dt = \dfrac{1}{\alpha - 1} \]
\end{prop}
\tableau{\exercice}
\end{frame}

\begin{frame}
\question{Que se passe-t-il pour une intégrale de Riemann en 0 ?}
\pause
\begin{prop}{Intégrale de Riemann (2)}
L'intégrale impropre $\displaystyle \int_0^{1} \dfrac{1}{t^{\alpha}} dt$ est convergente si et seulement si $\alpha <1$. Dans ce cas
\[ \int_0^{1} \dfrac{1}{t^{\alpha}} dt = \dfrac{1}{1 - \alpha} \]
\end{prop}
\tableau{\exercice \; puis \href{run:Intégrales de références.ggb}{Intégrales de Riemann GeoGebra}}
\pause
\begin{prop}{Exponentielle}
L'intégrale impropre $\displaystyle \int_0^{+\infty} e^{-\alpha t}dt$ est convergente si et seulement si $\alpha > 0$. Dans ce cas
\[ \int_0^{+\infty} e^{-\alpha t} dt = \dfrac{1}{\alpha} \]
\end{prop}
\tableau{\exercice}
\end{frame}

\begin{frame}
\question{\href{run:Intégrales de références.ggb}{Intégrales de ln GeoGebra}}
\pause
\begin{prop}{Logarithme}
L'intégrale impropre $\displaystyle \int_0^{1} \ln(t) dt$ est convergente et on a 
\[ \int_0^{1} \ln(t) dt = -1 \]
\end{prop}
\tableau{\exercice}
\pause
\begin{prop}{Gaussienne}
La fonction $f : x \to e^{-x^2}$ est intégrable sur $\R$ et on a 
\[ \int_{- \infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi} \]
\end{prop}
\tableau{\exercice}
\end{frame}

\section{Propriétés des intégrales impropres}
\subsection{Linéarité de l'intégrale}
\begin{frame}
\titre
\soustitre
\pause
\remarque{Toutes les propriétés vues sur les intégrales sont encore vraies à condition que les intégrales impropres soient convergentes.}
\question{Propriété de linéarité d'une intégrale ? }
\pause
\begin{prop}{Linéarité de l'intégrale}
Soit $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un intervalle $I$, $\lambda$ et $\mu$ deux scalaires.\\
Si les int\'egrales g\'en\'eralis\'ees $\int_I f(t)dt$ et $\int_I g(t)dt$ convergent, alors $\int_I(\lambda f(t)+\mu g(t))dt$ converge et 
$$\int_I(\lambda f(t)+\mu g(t)) dt=\lambda \int_If(t)dt+\mu\int_I g(t)dt.$$
\end{prop}
\tableau{\exercice}
\end{frame}

\subsection{Relation de Chasles}
\begin{frame}
\soustitre
\question{Rappeler la relation de Chasles pour les intégrales.}
\pause
\begin{prop}{Relation de Chasles}
Soient $a< b$ (finis ou non) et $f$ une fonction continue sur $]a,b[$ telle que $\int_a^b f(t) dt$ converge. Alors, pour tout $c \in ]a,b[$, on a 
\[
\int_a^bf(t)dt=\int_a^cf(t)dt+\int_c^b f(t)dt.
\]
\end{prop}
%\tableau{Démonstration de la propriété.}
\end{frame}

\subsection{Comparaisons}
\begin{frame}
\soustitre
\question{Propriété de comparaison pour les séries ?}
\pause
\begin{prop}{Comparaison}
Soient $a< b$ (finis ou non) et $f,g$ deux fonctions continues sur $]a,b[$ telles que $\forall t \in ]a,b[$, $0 \leq f(t) \leq g(t)$. Alors,
\begin{itemize}
\item Si $ \int_a^b g(t) dt$ converge alors $\int_a^b f(t)dt$ converge et, dans ce cas, \[
\int_a^b f(t)dt\leq \int_a^b g(t)dt
\]
\item Si $\int_a^b f(t)dt$ diverge alors $\int_a^b g(t)dt$ diverge.
\end{itemize} 
\end{prop}
\pause
\remarque{Attention : il faut absolument que $f$ soit positive.}
\tableau{\exercice}
\end{frame}

\subsection{Convergence absolue.}
\begin{frame}
\soustitre
\question{Comment définir la convergence absolue ?}
\pause
\begin{defi}{Convergence absolue}
Soient $a< b$ (finis ou non) et $f$ une fonction continue sur $]a,b[$. On dit que l'intégrale $\int_a^b f(t) dt$ converge absolument sur $]a,b[$ si $\int_a^b |f(t)| dt$ converge. 
\end{defi}
\pause
\remarque{On dit également que $f$ est intégrable sur $]a,b[$ si $f$ est absolument convergente sur $]a,b[$.}
\pause
\begin{theo}{Convergence absolue}
Soient $a< b$ (finis ou non) et $f$ une fonction continue sur $]a,b[$. Si $\int_a^b f(t) dt$ est absolument convergente alors elle est convergente et
\[
\left| \int_a^b f(t) dt \right| \leq \int_a^b |f(t)| dt
\]
\end{theo}
\tableau{\exercice}
\end{frame}

\end{document}
