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\title{Chapitre 20:
Variable aléatoires discrètes}
\subtitle{}
\author[Nom (court)]{M Leboucher}
\date{}
\newcommand{\A}{\mathcal{A}}
\renewcommand{\P}{P}

\begin{document}

\begin{frame}
	\titlepage
	\begin{savoirfaire}
	\item Déterminer une loi de probabilité discrète. 
	\item Calculer l'espérance ou la variance. 
	\item Loi géométrique et loi de Poisson.
	\item \'Etude des suites de variables aléatoires.
	\end{savoirfaire}
	\tableau{\exercice}
\end{frame}

\section{Variable aléatoire}
\subsection{Complément sur les variables aléatoires}
\begin{frame}
\titre
\soustitre
\begin{defi}{Variable aléatoire}
Soit $(\Omega, \A, P)$ un espace probabilisé. On appelle variable aléatoire sur $\Omega$ toute application $X$ de $\Omega$ à valeurs dans $\R$ telle que :
\[
\forall x\in\mathbb{R},\quad\{\omega \in\Omega,\;/\: X(\omega)\leq x\}\in\mathcal{A}
\]
\end{defi}
\pause
\remarque{Une VA est une application de $\Omega$ dans $\R$.}
\pause
\remarque{Nous parlerons en général de variable aléatoire sans
forcément préciser réelle}
\pause
\remarque{Si $X(\Omega) = \{x_{i}\:,\: i\in I\}$ où $I$ est une
partie finie ou infinie de $\mathbb{N}$ ou de $\mathbb{Z}$, la variable aléatoire est discrète. Sinon, elle est à densité.}
\tableau{Donnez des exemples de variables aléatoires}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{defi}{Notations}
Soit $x\in\mathbb{R}$ et $X$ une variable aléatoire
sur $\Omega$. On note pour simplifier les évènements:
\begin{itemize}
\item $(X=x)=\left\{ \omega\in\Omega\:/X(\omega)=x\right\}$ 
\pause
\item $(X\leq x)=\{w\in\Omega\;/X(w)\leq x\}$
\pause
\item Pour $A\subset \R$, $(X\in A)= \acc{x\in\Omega, X(\omega)\in A}$.
\end{itemize}
\end{defi}
\tableau{\exercice}
\pause
\begin{prop}{Opérations sur des VA}
\textit{\emph{Soient $X$ et $Y$ deux variables
aléatoires discrètes sur }}$\left(\Omega,\;\mathcal{A}, P\right)$\textit{\emph{
et $\lambda$ un nombre réel. }} \textit{\emph{Alors $X+Y$, $\lambda X$ , $X\times Y$ , $max(X,Y)$, $min(X,Y)$ sont des variables aléatoires réelles discrètes définies
sur }}$\left(\Omega,\;\mathcal{A}, P\right)$\emph{.}%
\end{prop}
\tableau{\exercice}
\end{frame}

\subsection{Formule des probabilités totales}
\begin{frame}
\question{Que dire des $(X=i)$ pour tous les $i \in X(\Omega)$ ?}
\pause
\soustitre
\pause
\begin{prop}{Système complet associé à $X$}
Soit $(\Omega,\A, P)$ un espace probabilisé et $X$ une variable aléatoire sur $\Omega$. Alors les évènements $(X = i)_{i \in X(\Omega)}$ forment un système complet d'évènement. On l'appelle système complet associé à $X$. 
\end{prop}
\pause
\remarque{Cela signifie que $\sum\limits_{i \in X(\Omega)} P(X = i) = 1$ et si $X(\Omega)=\N$ alors on a $\sum\limits_{i=0}^{+ \infty} P(X = i) =1$}
\pause
\begin{theo}{Formule des probabilités totales pour une VA}
Soit $X$ une VA discrète définie sur un espace probabilisé $(\Omega,\A,\P)$. Soit $A\in\A$, alors
\[
\P(A)
=\sum_{k\in X(\Omega)}\P(A \cap X=k)
=\sum_{k\in X(\Omega)}\P_{(X=k)}(A)\P(X=k)
\]
\end{theo}

\tableau{\exercice}
\end{frame}

\subsection{Transformation d'une variable aléatoire discrète}
\begin{frame}
\soustitre
\pause
\begin{defi}{Transformation d'une VA}
Soit $X$ une variable aléatoire discrète
définie sur $\left(\Omega,\;\A, P\right)$ et $g$ une application
de $X(\Omega)$ dans $\mathbb{R}$. L'application 
\[
Y\::\:\begin{cases}
\Omega & \longrightarrow\mathbb{R}\\
w & \longmapsto g(X(w))
\end{cases}
\]
est une variable aléatoire notée $g(X).$%
\end{defi}
\pause
\remarque{$g(X)$ est en fait la composée $g\circ X$ définie
sur $\Omega$ par $g\circ X(\omega)=g(X(\omega))$ }
\pause
\remarque{On se servira notamment de la transformation pour le calcul de $X^2$ (et donc de la variance).}

\tableau{\exercice}
\end{frame}


\section{Fonction de répartition d'une VA}
\subsection{Rappel sur la loi de probabilité}
\begin{frame}
\titre 
\soustitre
\pause
\begin{defi}{Loi} 
On appelle \textbf{loi d'une VA} de la
variable aléatoire discrète \emph{X }(ou \textbf{loi de probabilité} de \textbf{\emph{X}}
ou \textbf{distribution de }\textbf{\emph{X}}) la donnée de $\P(X=x_i)$ pour tout $x_i\in X(\Omega)$.
\end{defi}
\pause
\remarque{S'il y a peu d'éléments dans $X(\Omega)$, on représente la loi de X dans un  tableau}
\remarque{Lorsque $X$ prend une infinité de valeurs (ou de nombreuses valeurs), il est évidemment difficile
de présenter la loi de $X$ sous la forme d'un tableau. On préfère
dans ce cas écrire, lorsque c'est possible, une formule
pour $\P(X=x_{k})$}
\pause
\begin{metodo}{Déterminer la loi d'une variable aléatoire $X$}
\begin{enumerate}
\item Déterminer les valeurs prises par $X$ , c'est à dire déterminer $X(\Omega)$
$=\{x_{i}\:,\: i\in I\}$ 
\item Déterminer les probabilités corresp. $p_{i}=\P\left(X=x_{i}\right)$.\end{enumerate}
\end{metodo}
\tableau{\exercice}
\end{frame}

\subsection{Fonction de répartition d'une variable aléatoire}
\begin{frame}
\soustitre
\pause
\begin{defi}{Fonction de répartition}
On appelle\textbf{ fonction de répartition de
la variable aléatoire discrète }\textbf{\emph{X}} la fonction réelle
notée $F_{X}$ définie par : 

\begin{center}
$\forall t\in\mathbb{R}$ , $F_{X}(t)=P\left(X\leqslant t\right)$.
\par\end{center}%
\end{defi}
\remarque{En statistique, la fonction de répartition correspondrait à la fréquence des effectifs cumulés croissants.}
\tableau{\exercice}
\pause
\remarque{Lorsque la variable aléatoire $X$ est discrète, sa fonction de répartition est une fonction constante par morceau.}
\end{frame}

\begin{frame}
\question{Propriétés de la fonction de répartition ?}
\pause
\begin{prop}{Fonction de répartition}
Soient\emph{ }$X$ une variable aléatoire discrète
et $F_{X}$ sa fonction de répartition. Alors:
\begin{itemize}
\item $\forall t\in\mathbb{R},$ $0\leq F_{X}(t)\leq 1$.
\pause
\item la fonction $F_{X}$ est croissante sur $\mathbb{R}.$
\pause
\item $\underset{x\rightarrow-\infty}{\lim}F_{X}(x)=0$ et $\underset{x\rightarrow+\infty}{\lim}F_{X}(x)=1.$
\pause
\item $\forall(a,b)\in\mathbb{R}^{2},$ tel que $a<b$, $P\left(a<X\leqslant b\right)=F_{X}(b)-F_{X}(a).$
\pause
\item la fonction $F_{X}$ est continue à droite en tout point\end{itemize}
\end{prop}

\tableau{Preuve de la proposition}
\end{frame}

\begin{frame}

\begin{prop}{Fonction de répartition et loi}
Soient\emph{ }$X$ une variable
aléatoire discrète et $F_{X}$ sa fonction de répartition . On suppose
que $X(\Omega)=\left\{ x_{1},x_{2},x_{3},...\right\} $ avec $x_{1}<x_{2}<x_{3}...$
Alors, pour tout entier $i\geq2$ :

\begin{center}
$P(X=x_{i})=F_{X}(x_{i})-F_{X}(x_{i-1})$
\end{center}%
\end{prop}
\pause
\remarque{
Cette proposition permet donc de définir la loi d'une variable $X$
à partir de sa fonction de répartition. On a donc ce résultat très important qui dit que la loi d'une VA discrète est entièrement déterminée par la donnée de sa fonction de répartition. }

\tableau{\exercice}
\end{frame}

\section{Paramètres d'une variable aléatoire}
\subsection{Espérance}
\begin{frame}
\titre
\soustitre
\question{Comment calcule-t-on une espérance ?}
\pause
\begin{defi}{Espérance d'une variable aléatoire}
Soit $X$ une variable aléatoire discrète. Si la série ${\displaystyle \sum_{k\in X(\Omega)}}k\ \P(X=k)$
est absolument convergente, on dira que $X$ admet une espérance notée $E(X)$
 et on a  
 \[
 E(X)={\displaystyle \sum_{x\in X(\Omega)}}x\ \P(X=x).
 \]
\end{defi}
\end{frame}

\begin{frame}
\remarque{}
\begin{itemize}
\item
Puisque l'espérance est définie sous condition de convergence d'une certaine série, cette dernière n'existe pas forcément !
\pause
\item
On parle aussi de moyenne à la place d'espérance.
\pause
\item
 Si $X(\Omega)=\mathbb{N}$, sous réserve de convergence de la série, on a 
 
 $E(X)={\displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty}}kP(X=k)$.
 \pause
\item
Dans le cas où la variable aléatoire est \textbf{finie,
}son espérance existe toujours car la série est en fait une somme
finie de réels.
\end{itemize}
\tableau{\exercice}
\end{frame}

\begin{frame}
\question{Les propriétés suivantes sont des rappels.}
\pause
\begin{prop}{Bornes de l'espérance}
Si $X(\Omega) \subset [p,q]$ et $X$ admet une espérance alors $p \leq E(X) \leq q$. 
\end{prop}

\remarque{Notamment, si $X$ est positive, $E(X) \geq 0$}
\pause
\begin{prop}{Linéarité de l'espérance}
Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires sur un espace probabilisé $(\Omega, \A, P)$ admettant une espérance et $a,b$ deux réels. Alors $aX+b$ et $X+Y$ admettent une espérance et 
\begin{itemize}
\item $E(aX + b) = aE(X) + b$
\item $E(X + Y) = E(X) + E(Y)$
\end{itemize}
\end{prop}
\pause
\begin{defi}{Variable aléatoire centrée}
Toute variable aléatoire admettant une espérance nulle est dite centrée.
\end{defi}
\tableau{\exercice}
\end{frame}

\subsection{Formule de transfert}

\begin{frame}
\soustitre
\question{Comment calculer $E(X^2)$ ?}
\pause
\begin{theo}{Formule de transfert}
Soit $X$ une variable aléatoire sur un espace probabilisé $(\Omega, \A, P)$ et $g$ une application de $\R$ dans $\R$. L'espérance de $g(X)$ existe si et seulement si la série $\sum\limits_{x \in X (\Omega)} g(x) P(X = x)$ est absolument convergente et alors
\[
E(g(X)) = \sum_{x \in X(\Omega)} g(x) P(X = x)
\]
\end{theo}
\pause
\remarque{Dans le cas où $X(\Omega)= \N$ et que l'espérance existe, on a $E(g(X)) = \sum\limits_{k=0}^{+\infty} g(k) P(X=k)$.}

\tableau{\exercice}
\end{frame}

\subsection{Moments d'une variable aléatoire discrète}
\begin{frame}
\soustitre
\pause
\begin{defi}{Moments d'ordre $r$}
Soit $p\in\mathbb{N}\setminus\acc{0}$ et $X$ une variable aléatoire sur un espace probabilisé $(\Omega, \A, P)$. Si la série 
$\sum\limits_{x\in X(\Omega)}x^{p}P(X=x)$
est absolument convergente alors 
on dit que la variable aléatoire $X$ admet un  \textbf{moment d'ordre }\textbf{\emph{p}}
et on a 
\[
m_p(X) = E(X^p)=\sum_{x\in X(\Omega)}x^{p}P(X=x).
\] 
\end{defi}
\pause
\remarque{}
\begin{itemize}
\item Toute variable aléatoire discrète finie admet des moments à tous les
ordres $p\in\mathbb{N}\setminus\acc{0}$.
\pause
\item Le moment d'ordre 1 d'une VA \emph{X} est son espérance
$E(X)$.
\pause
\item Si $X(\Omega)=\N, E[X^p]=\sum\limits_{k\in\N}k^{p}P(X=k). $
\end{itemize}
\tableau{\exercice}
\end{frame}

\subsection{Variance}
\begin{frame}
\soustitre
\question{Quel est la variance d'une VA, l'écart type?} 
\pause
\begin{defi}{Variance}
Soit $X$ une variable aléatoire sur $(\Omega, \A, P)$ admettant un moment d'ordre $2$. On appelle {\bf variance} de $X$ le nombre mesurant l'écart entre $X$ et son espérance
\[ Var(X) = E[(X - E(X))^2].\]
On appelle alors {\bf écart-type} de $X$ le nombre 
\[ \sigma(X) = \sqrt{Var(X)} .\]
\end{defi}
\pause
\begin{theo}{Formule de Koenig-Huygens}
Soit $X$ une variable aléatoire sur $(\Omega, \A, P)$ admettant un moment d'ordre $2$. On a 
\[ Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2 .\]
\end{theo}
\end{frame}

\begin{frame}
\question{Que dire de $Var(aX+b)$ ?}
\pause
\begin{prop}{}
Soit $X$ une variable aléatoire sur $(\Omega, \A, P)$ admettant un moment d'ordre $2$. Alors, pour tous réels $a$ et $b$,$aX +b$ admet une variance et on a 
\[ Var(aX+b) = a^2 Var(X) .\]
\end{prop}
\pause
\begin{defi}{Variable aléatoire réduite}
Soit $X$ une variable aléatoire sur $(\Omega, \A, P)$ admettant un moment d'ordre $2$. On dit que $X$ est réduite si $\sigma(X) = Var(X) = 1$.
\end{defi}
\tableau{\exercice}
\end{frame}


\section{Loi usuelle discrètes infinies}
\subsection{Loi géométrique}
\begin{frame}
\titre
\soustitre
\question{Reprendre l'exercice 1. Quelle était la loi de $X$ ?}
\pause
\begin{defi}{Loi géométrique}
Soit $p\in]0;1[$. On pose $q=1-p$
On dit qu'une variable aléatoire réelle \emph{X} suit \textbf{la loi
géométrique de paramètre }\textbf{\emph{p}}, notée $\mathcal{G}(p)$,
lorsque:
\[ X(\Omega) = \N^* \qquad \forall k\in\mathbb{N}^*,\: P(X=k)=pq^{k-1} \]
\end{defi}
\pause
\begin{ex}{Modélisation de la loi géométrique}
La loi géométrique correspond à l'obtention du premier succès lorsqu'une épreuve de Bernoulli se répète de manière indépendante. 
\end{ex}
\tableau{\exercice}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{theo}{Espérance et Variance de la loi géométrique}
Si $X$ suit la loi géométrique \emph{$\mathcal{G}(p)$ }, alors $X$
admet une espérance $E(X)=\dfrac{1}{p}$ et une variance \textit{\emph{$V(X)=\dfrac{q}{p^{2}}$}}\textit{.}%
\end{theo}
\tableau{Démonstration du théorème}
\end{frame}

\subsection{Loi de Poisson}
\begin{frame}
\soustitre
\begin{histoire}
La loi de Poisson permet de modéliser durant un temps $t$ la réalisation d'événements dont la probabilité de se réaliser est très petite. Par exemple des séismes sur un temps long, des taux de pannes d'appareils électriques etc...
Mais aussi en finance, pour mesurer la probabilité de défaut d'un crédit.
Le paramètre $\lambda$ fait varier la manière dont apparaissent ces événements. 
\end{histoire}
\pause
\begin{defi}{Loi de Poisson}
Soit $\lambda>0$.On dit qu'une variable aléatoire \emph{X} suit \textbf{la loi de Poisson de paramètre }$\lambda$, notée $\mathcal{P}(\lambda)$, lorsque:
\[ X(\Omega) = \N \qquad \forall k\in\mathbb{N},\: P(X=k)=e^{-\lambda}\dfrac{\lambda^{k}}{k!}.
\]
\end{defi}
\tableau{\exercice}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{prop}{Espérance et variance de la loi de poisson}
Si $X$ suit la loi de Poisson \emph{$\mathcal{P}(\lambda)$}, alors
$X$ admet une espérance $E(X)=\lambda$ et une variance \textit{\emph{$V(X)=\lambda$.}}%
\end{prop}
\tableau{Démontrer cette proposition}
\end{frame}

\end{document}
