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%Pour le TITLEPAGE
\title{Chapitre 2 \\
G�n�ralit�s sur les fonctions}
\date{}


\begin{document}

\begin{frame}
	\titlepage
	
	\begin{savoirfaire}
	\item Composer une fonction. 
	\item D�terminer la parit� d'une fonction.
	\item Trouver un minorant ou un majorant.
	\item R�soudre une in�quation.
	\item Calculer des limites sans formes ind�termin�es. 
	\item \'Etudier une fonction
	\end{savoirfaire}
\end{frame}

\section{Propri�t�s des fonctions}
\subsection{Op�rations sur les fonctions.}
\setcounter{exo}{0}
\begin{frame}
	\titre
	\pause
	\soustitre{}	
	\pause
	\begin{defi}{Op�rations de fonctions}
	Soient $f$ et $g$ 2 fonctions d'un ensemble de d�finition $\mathcal{D}$ dans $\mathbb{R}$.
	\begin{enumerate}
	\item La fonction somme $f+g$ est d�fini par 
	$$f+g : x \in \mathcal{D} \to f(x) + g(x).$$
	\item La fonction produit $fg$ est d�fini par 
	$$fg : x \in \mathcal{D} \to f(x) \times g(x).$$
	\item Si pour tout $x \in \mathcal D$, on a $g(x) \neq 0$ alors la fonction quotient $	    \frac{f}{g}$ est d�finie par 
	$$\frac fg : x \in \mathcal{D} \to \frac{f(x)}{g(x)}.$$
	\end{enumerate}
	\end{defi}
	
	\tableau{Fonctions compos�es et \exercice}
\end{frame}

\subsection{Parit�, imparit�.}
\begin{frame}
	\soustitre
	\pause
	\begin{defi}{Fonction paire}
		Une fonction $f$ d�finie sur $\mathcal{D}_f$est dite paire si :
		\begin{itemize}
		\item $\forall x \in \mathcal{D}_f, \; -x \in \mathcal{D}_f$ (Domaine de d�finition sym�trique par rapport �  0).
		\item $\forall x \in \mathcal{D}_f, \quad f(-x) = f(x)$.
		\end{itemize}
	\end{defi}
	\pause
	\begin{defi}{Fonction impaire}
		Une fonction $f$ est dite impaire si :
		\begin{itemize}
		\item $\forall x \in \mathcal{D}_f, \; -x \in \mathcal{D}_f$.
		\item $\forall x \in \mathcal{D}_f, \quad f(-x) = -f(x)$.
		\end{itemize}
	\end{defi}
	\vspace*{-5pt}
	\pause 
	\remarque{$f$ est paire (resp. impaire) si et seulement si sa courbe repr�sentative est sym�trique par rapport �  l'axe des ordonn�es (resp. �  l'origine).}
	\vspace*{-5pt} 
	\tableau{Exemples de fonctions paires ou impaires}
\end{frame}

\begin{frame}
	\begin{metodo}{D�terminer si une fonction est paire, impaire, sans parit�}
	\begin{itemize}
		\item Pour d�terminer la parit� d'une fonction, on proc�de en 2 �tapes
		\begin{enumerate}
			\item On v�rifie que le domaine de d�finition est bien sym�trique par rapport �  $0$.
			\item On prend $x$ dans $\mathcal{D}_f$, on calcule $f(-x)$ et on essaie de retrouver $f(x)$ ou $-f(x)$.  
		\end{enumerate}
		\item Pour d�montrer qu'une fonction n'a pas de parit�, on exhibe un contre-exemple : On cherche 2 nombres r�els $x \in \mathcal{D}_f$ et $y \in \mathcal{D}_f$ tels que $f(-x) \neq f(x)$ et $f(-y) \neq -f(y)$. 
	\end{itemize}
	\end{metodo}
	\tableau{ Montrer � l'aide d'un contre exemple que la fonction $P : x \to x^2 + x$ n'a pas de parit� puis \exercice}
\end{frame}


\subsection{Majorant-Minorant}
\begin{frame}
	\soustitre
	\vspace{-5pt}
	\pause
	\begin{histoire}
	Reprenons la fonction prix de vente	$p(x) = 115 - 4\sqrt{x}.$ Pour $x$ compris entre 9 et 300, on peut v�rifier que cette fonction est toujours plus grande que 0 (ce qui est sens� !). On dit alors que 0 est un minorant de la fonction $p$.
	\end{histoire}
	\pause
	\vspace{-5pt}
	\begin{defi}{Majorant - Minorant}
		Soit $f$ une fonction d�finie sur un intervalle $I$ de $\R$.
		\begin{itemize}
		\item $f$ est dite major�e (resp. minor�e) sur $I$ s'il existe un nombre r�el $M$ (resp. $m$) tel que : 
		$$\forall x \in I,\quad f(x) \leq M \quad \text{(resp.} \quad f(x) \geq m).$$
		$M$ (resp. $m$) est un majorant (resp. un minorant) de $f$ sur $I$.
		\item $f$ est dite born�e sur I si elle est �  la fois major�e et minor�e. 
		\end{itemize}					
	\end{defi}
	\tableau{\exercice}
\end{frame}

\section{Tableaux de variations}

\subsection{Sens de variation}
\begin{frame}
	\titre
	\soustitre
	\pause
	\begin{defi}{Monotonie d'une fonction}
		Soit $f$ une fonction d�finie sur un intervalle $I$ de $\R$.
		\begin{itemize}
		\item On dit que $f$ est croissante sur $I$ si, pour tous nombres $x, y \in I$, on a 
		\begin{center}
			Si $x<y$ alors $f(x) \leq f(y)$
		\end{center}
		\item On dit que $f$ est d�croissante sur $I$ si, pour tous nombres $x, y \in I$, on a 
		\begin{center}
			Si $x<y$ alors $f(x) \geq f(y)$
		\end{center}
		\end{itemize}
	\end{defi}
	\remarque{On utilisera plut�t cette d�finition pour r�soudre des in�galit�s plus que pour montrer qu'une fonction est croissante.}
	\tableau{\exercice}
\end{frame}

\begin{frame}
	\remarque{Une fonction croissante conserve l'ordre d'une in�galit� alors qu'une fonction d�croissante le modifie.}
	\pause
	\remarque{On peut �galement d�finir la croissance (resp. la d�croissance) stricte d'une fonction. On dit que $f$ est strictement croissante (resp. d�croissante) ssi pour tout $u,v, \in I$ tels que $u < v$, on a $f(u)<f(v)$ (resp. $f(u) > f(v)$).}
	\pause
	
	\begin{prop}{}
		\begin{itemize}
		\item La somme de deux fonctions croissantes (resp. d�croissante) est croissante (resp. d�croissante). 
		\item La compos�e de 2 fonctions ayant le m�me sens de variation est croissante.
		\item La compos�e de 2 fonctions ayant des sens de variations contraires est d�croissante.
		\end{itemize}
	\end{prop}
	\tableau{D�monstration directe de la propri�t�.}
	
\end{frame}

\subsection{D�riv�es de fonctions}
\begin{frame}
	\soustitre	
	\begin{center}
	\begin{tabular}{|c|c|c|}
	\hline
	\rule[-3ex]{0pt}{8ex}{\bf Fonction} & \textbf{D�riv�e} & \textbf{Ensemble de d�rivabilit�} \\
	\hline
	\rule[-1.5ex]{0pt}{4ex} $f(x) = x^n$ & $f'(x) = n x^{n-1}$ & $\R$ \\
	\hline
	\rule[-2.25ex]{0pt}{6ex} $f(x) = \dfrac{1}{x^n}$ & $f'(x) = \dfrac{-n}{x^{n+1}}$ & $\R^*$ \\
	\hline
	\rule[-2.25ex]{0pt}{6ex} $f(x) = \sqrt{x} $ & $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ & $\R_+^*$ \\
	\hline
	\rule[-2.25ex]{0pt}{6ex} $f(x) = \ln{x} $ & $f'(x) = \frac{1}{x}$ & $\R_+^*$ \\
	\hline
	\rule[-1.5ex]{0pt}{4ex} $f(x) = e^x$ & $f'(x) = e^x$ & $\R$ \\
	\hline
	\rule[-1.5ex]{0pt}{4ex} $f(x) = x^{\alpha}$ & $f'(x) = \alpha x^{\alpha-1}$ & $\R_+^*$ \\
	\hline
	\end{tabular}
	\end{center}
\end{frame}

\begin{frame}
\remarque{Dans ce tableau, $u$ et $v$ sont des fonctions d�rivables sur un intervalle $I$.}
\begin{center}
	\begin{tabular}{|c|c|c|}
	\hline
	\rule[-3ex]{0pt}{8ex}{\bf Op�rations basiques} & \textbf{D�riv�e} & \textbf{Conditions} \\
	\hline
	\rule[-1.5ex]{0pt}{4ex} $f = u + v$ & $f' = u' + v'$ &  \\
	\hline
	\rule[-1.5ex]{0pt}{4ex} $f = ku$ ($k \in \R$) & $f' = ku'$ &  \\
	\hline
	\rule[-1.5ex]{0pt}{4ex} $f = uv$  & $f' = u'v + uv'$ &  \\
	\hline
	\rule[-2.25ex]{0pt}{6ex} $f = \frac{1}{v} $ & $f' = -\dfrac{v'}{v^2}$ & $v$ ne s'annule pas sur $I$ \\
	\hline
	\rule[-2.25ex]{0pt}{6ex} $f = \frac{u}{v} $ & $f' = \frac{u'v - v' u}{v^2}$ & $v$ ne s'annule pas sur $I$ \\
	\hline
	\end{tabular}
	\end{center}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{prop}{D�riv�e d'une fonction compos�e}
La d�riv�e d'une fonction compos�e $f(u)$ est donn�e par 
\[
(f(u))' = u' \times f'(u)
\]
\end{prop}
\begin{center}
	\begin{tabular}{|c|c|c|}
	\hline
	\rule[-3ex]{0pt}{8ex}{\bf Composition} & \textbf{D�riv�e} & \textbf{Conditions} \\
	\hline
	\rule[-1.5ex]{0pt}{4ex} $f = u^n$ ($n \in \N$) & $f' = n u' u^{n-1} $ &  \\
	\hline
	\rule[-1.5ex]{0pt}{4ex} $f = u^\alpha$ ($\alpha \in \R$) & $f' = \alpha u' u^{\alpha - 1}$ & $u$ strictement positif  \\
	\hline
	\rule[-2.25ex]{0pt}{6ex} $f = \sqrt{u} $ & $f' = \dfrac{u'}{2 \sqrt{u}}$ & $u$ strictement positif \\
	\hline
	\rule[-1.5ex]{0pt}{4ex} $f = e^u$  & $f' = u'e^u$ &  \\
	\hline
	\rule[-2.25ex]{0pt}{6ex} $f = \ln(u)$ & $f' = \dfrac{u'}{u}$ & $u$ strictement positif  \\
	\hline
	\rule[-1.5ex]{0pt}{4ex} $f = u(ax+b)$  & $f' = a \times u'(ax+b)$ &  \\
	\hline
	\end{tabular}
	\end{center}
\end{frame}

\begin{frame}
\remarque{ La d�rivation sera vue plus en d�tail au second semestre. En attendant, nous l'utiliserons pour trouver le sens de variation d'une fonction.}
	\begin{prop}{Lien avec le sens de variation}
	Soit $f$ une fonction d�finie et d�rivable sur $\mathcal{D}_f$.
	\begin{itemize}
	\item Si pour tout $x \in I \subset \mathcal{D}_f$, $f'(x) \geq 0$ (resp. $f'(x) >0 $), alors la fonction $f$ est croissante (resp. strictement croissante) sur I. 
	\item Si pour tout $x \in I \subset \mathcal{D}_f$, $f'(x) \leq 0$ (resp. $f'(x) <0 $), alors la fonction $f$ est d�croissante (resp. strictement d�croissante) sur I. 
	\end{itemize}
	\end{prop}
	\tableau{\exercice}
\end{frame}	
	
	\begin{frame}
	\begin{figure}
	\includegraphics[scale=0.3]{tangente.png}
	\end{figure}
	\pause
	\begin{defi}{Tangente}
	Soit $f$ une fonction d�finie sur $\mathcal{D}_f$ et d�rivable en $a \in \mathcal{D}_f$. La tangente � la courbe repr�sentative de $f$ au point d'abscisse $a$ est la droite $T_a$ d'�quation
	$$
	y = f'(a) (x-a) + f(a).
	$$ 
	Le coefficient directeur de cette tangente est le nombre $f'(a)$.
	\end{defi}
	\tableau{\exercice}
\end{frame}

\subsection{Maximum et minimum}
\begin{frame}
	\soustitre
	\pause
	\begin{defi}{Maximum-minimum}
		Soit $f$ une fonction d�finie sur un intervalle r�el $I$. Soit $a \in I$.
		\begin{itemize}
		\item On dit que $f$ admet un maximum en $a$ si :
			$$\forall x \in I, \; f(x) \leq f(a) .$$
			On notera le maximum de $f$ : $\displaystyle \max_{x\in I} f(x) = f(a) $.
		\item On dit que $f$ admet un minimum en $a$ si :
			$$\forall x \in I, \; f(x) \geq f(a) .$$
			On notera le minimum de $f$ : $\displaystyle \min_{x\in I} f(x) = f(a) $.
		\end{itemize}		 
	\end{defi}
	\pause
	\begin{prop}{Lien avec la d�riv�e}
	Soit une fonction $f$ est d�rivable sur un intervalle $]a,b[$ ouvert. Si $c \in ]a,b[$ est un minimum ou un maximum de la fonction $f$ alors $f'(c) = 0$. 
	\end{prop}
	\tableau{\exercice}
	
\end{frame}

\section{Introduction aux limites}
\subsection{Limites de fonctions usuelles}

\begin{frame}
\titre
\soustitre
\remarque{Tout comme les d�riv�es, les limites seront vues plus en d�tails dans un cours prochain.}
\pause
\begin{prop}{Fonctions usuelles}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
Fonctions & Limites � retenir \\
\hline
Puissances & $\li_{x \to + \infty} x^n = + \infty $\\
& $ \li_{x \to - \infty} x^n = + \infty $ si n est pair, $-\infty$ sinon\\ 
\hline
Inverse & $\li_{x \to + \infty} \frac{1}{x} = 0^+, \quad \li_{x \to - \infty} \frac{1}{x} = 0^- $ \\
 & $\li_{x \tos 0} \frac{1}{x} = + \infty, \quad \li_{x \toi 0} \frac{1}{x} = - \infty $ \\
 \hline
Racine carr�e & $\li_{x \to + \infty} \sqrt{x} = + \infty, \quad \li_{x \to 0^+} \sqrt{x} = 0$ \\
\hline
logarithme & $\li_{x \to + \infty} \ln(x) = + \infty, \quad \li_{x \to 0^+} \ln(x) = - \infty$ \\
\hline
exponentielle &  $\li_{x \to + \infty} e^x = + \infty, \quad \li_{x \to - \infty} e^x = 0$ \\
\hline
Valeur absolue & $\li_{x \to + \infty} | x | = + \infty, \quad \li_{x \to - \infty}  |x| = + \infty$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{prop}
\end{frame}

\subsection{Op�rations sur les limites}
\begin{frame}
\soustitre
\begin{prop}{Limite de $f+g$}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\rule[-1.5ex]{0pt}{4ex} lim $g$ / lim $f$ & $\ell$ & $+ \infty$ & $- \infty$ \\
\hline
\rule[-1.5ex]{0pt}{4ex} $\ell'$ & $\ell+\ell'$ & $+\infty$ & $- \infty$ \\
\hline
\rule[-1.5ex]{0pt}{4ex} $+ \infty $& $+ \infty $& $ + \infty$ & FI \\ 
\hline
\rule[-1.5ex]{0pt}{4ex} $- \infty $& $- \infty $&  FI & $ - \infty$ \\ 
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{prop}

\begin{ex}{}
\[ \li_{x \to + \infty} x + \sqrt{x} =  + \infty
\]
\end{ex}
\tableau{\exercice}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{prop}{Limite de $f \times g$}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\rule[-1.5ex]{0pt}{4ex} lim $g$ / lim $f$ & $ \ell \neq0$ & $ 0$ & $+ \infty$ & $- \infty$ \\
\hline
\rule[-1.5ex]{0pt}{4ex} $\ell' \neq 0$ & $\ell \times \ell'$ & 0 & $\text{sgn}(\ell').\infty$ & $-\text{sgn}(\ell'). \infty$ \\
\hline
\rule[-1.5ex]{0pt}{4ex} $0$ & 0 & 0 &FI & FI \\
\hline
\rule[-1.5ex]{0pt}{4ex} $+ \infty $& $\text{sgn}(\ell). \infty $& FI & $ + \infty$ & $- \infty$ \\ 
\hline
\rule[-1.5ex]{0pt}{4ex} $- \infty $& $- \text{sgn}(\ell).\infty $&  FI & $-\infty$ & $ + \infty$ \\ 
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{prop}

\begin{ex}{}
\[ \li_{x \to + \infty} x \times \sqrt{x} =  + \infty
\]
\end{ex}
\tableau{\exercice}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{prop}{Limite de $\dfrac{f}{g}$}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\rule[-1.5ex]{0pt}{4ex} lim $g$ / lim $f$ & $ \ell \neq 0$ & $\ell = 0$ & $+ \infty$ & $- \infty$ \\
\hline
\rule[-2.25ex]{0pt}{6ex} $\ell' \neq 0$ & $\dfrac{\ell}{\ell'}$ & 0 & $\text{sgn}(\ell').\infty$ & $-\text{sgn}(\ell'). \infty$ \\
\hline
\rule[-1.5ex]{0pt}{4ex} $0^+$ & $\text{sgn}(\ell).\infty$ & FI & $+ \infty$ & $- \infty$ \\
\hline
\rule[-1.5ex]{0pt}{4ex} $0^-$ & $- \text{sgn}(\ell).\infty $ & FI & $- \infty$ & $+\infty$ \\
\hline
\rule[-1.5ex]{0pt}{4ex} $+ \infty $& 0 & 0 & FI & FI \\ 
\hline
\rule[-1.5ex]{0pt}{4ex} $- \infty $&  0 & 0 & FI & FI  \\ 
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{prop}

\begin{ex}{}
\[ \li_{x \to + \infty} \dfrac{1+\dfrac1x}{\sqrt{x}} =  0 \qquad \li_{x \tos 0} \dfrac{x^2 +1}{x}= +\infty
\]
\end{ex}
\tableau{\exercice}
\end{frame}

\subsection{Limite d'une fonction compos�e}
\begin{frame}
\soustitre

\vspace{+5pt}
\question{Comment d�terminer $\li_{x \to + \infty} \sqrt{x^2 + x +1}$ ?}
\pause
\begin{prop}{Limite de fonctions compos�es}
Soient $f$ , $g$ ,$h$ trois fonctions telles que $f (x) = g (h(x))$ sur un intervalle I. Soient $a,b,c$ des nombres r�els ou $+\infty$ ou $- \infty$. Si $\li_{x \to a} h(x) = b$ et $\li_{X \to b} g(X) = c$, alors
\[
\li_{x \to a }f(x) = c
\]
\end{prop}
\pause
\begin{metodo}{D�terminer la limite de $f(x) = g(h(x))$ en $x_0$}
\begin{enumerate}
\item On pose $X = h(x)$.
\item On d�termine la limite $b$ de $h(x)$ en $x_0$.
\item On d�termine la limite $c$ de $g(X)$ en $b$, et on conclut : la limite de $f$ en $x_0$ vaut $c$.
\end{enumerate}
\end{metodo}
\tableau{Exemple pr�c�dent puis \exercice}
\end{frame}

\end{document}