\input{../preambules/prebeam.tex}
\newcommand{\serie}{\sum\limits_{n \geqslant 0}}
\newcommand{\A}{\mathcal{A}}

%Pour le TITLEPAGE
\title{Chapitre 17: Espaces probabilisés infinis}
\subtitle{}
\author[Nom (court)]{M Leboucher}
\date{}

\begin{document}

\begin{frame}
	\titlepage
	
	{\it "C-3PO : - Les chances de traverser un champ d'astéroïde avec succès sont d'approximativement une sur 3720. \\
	Han Solo : - Tu sais, moi et les probabilités ".}\\
	\hfill \uline{Star Wars: L'empire Contre-Attaque} 
	
	\begin{savoirfaire}
	\item Modéliser un problème de probabilité. 
	\item Calculer la probabilité d'une union ou d'une intersection infinie
	\item Déterminer des lois de probabilités. 
	\item Appliquer la formule des probabilité totales. 
	\end{savoirfaire}
\end{frame}

\section{Espaces probabilisable}
\subsection{Introduction}

\begin{frame}
\titre
\soustitre

\begin{enumerate}
\item Première situation: On lance trois fois un dé non truqué. 
\begin{itemize}
\item Quelle est la probabilité d'obtenir le premier 6 au premier lancer ? au deuxième ? au troisième ?
\item Quelle est la probabilité d'obtenir au moins un 6 ?
\end{itemize}
 \pause
\begin{center}
\hspace{-38pt}
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
Univers $\Omega$ & \'Evènements $\mathcal{P}(\Omega)$ & Probabilité $P$ \\
\hline
 & $A_j$ : Obtenir le premier 6 & $P (A_1) = 1/6$ \\ 
$\Omega = \entier{1,6}^3$ &au $j$ème lancer, $j \in \entier{1,3}$& $P (A_2) = 5/36$ \\ 
 &  & $P (A_3) = 25/216$ \\ 
 \hline
 & $B$ : Obtenir au moins un 6 : & $P(B) = 91/216$. \\
 & $B = A_1 \cup A_2 \cup A_3$ & {\footnotesize $P(A_1)+ P(A_2) +P(A_3)$.} \\ 
 \hline
\end{tabular}
\end{center}
\pause
\item Seconde situation : On lance un dé jusqu'à ce que l'on obtienne un 6.
\begin{itemize}
\item Quelle est la probabilité d'obtenir le premier 6 au $n^{i\grave{e}me}$ lancer ?
\item Quelle est la probabilité d'obtenir au moins un 6 ?
\end{itemize}
\end{enumerate}
\tableau{Remplir le même tableau}
\end{frame}

\subsection{Tribu}
\begin{frame}
\soustitre
\question{Quelles opérations connait-on sur les évènements?}
 \pause
\begin{defi}{Tribu}
Soit $\Omega$ un ensemble, $\mathcal{A}$
un sous-ensemble de $\mathcal{P}(\Omega)$. On dit que $\mathcal{A}$
est une \textbf{tribu} de $\Omega$ si :
\begin{itemize}
\item $\Omega\in\mathcal{A}$,
\item Stabilité du passage au complémentaire : $\forall A\in\mathcal{A}$ , $\overline{A}\in\mathcal{A},$ 
\item Stabilité de l'union dénombrable: si pour tout $i \in \mathbb{N}, A_i \in \mathcal{A}$ alors 
$$\bigcup_{i=0}^{+\infty} A_{i}\in\mathcal{A} .$$
\end{itemize}
\end{defi}
\remarque{Une tribu est aussi appelée $\sigma$-algèbre d'évènements.}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{prop}{Ensemble d'une tribu}
Soit \textit{\emph{$\mathcal{A}$ une
tribu de $\Omega.$ Alors:}}
\begin{itemize}
\item
 \textit{\emph{$\emptyset\in\mathcal{A}$,}}
\item 
Toute réunion (finie ou infinie) intersection (finie ou infinie) et complémentaire d'éléments de $\A$ est dans $\A$.
\end{itemize}
\end{prop}
 \pause
\begin{defi}{Espace probabilisable}
Soit $\Omega$ un ensemble et $\A$ une tribu sur $\Omega$. L'ensemble $(\Omega, \A)$ est appelé espace probabilisable. 
\end{defi}
 \pause
\remarque{Puisqu'on est dans le cadre des probabilités, si $(\Omega, \A)$ est un espace probabilisable, tout ensemble $A \in \A$ est appelé événement. Ainsi, la tribu $\A$ contient l'ensemble des événements auxquels on va s'intéresser.}
\tableau{\exercice}
\end{frame}

\subsection{Calculs avec les \'Evènements} 
\begin{frame}
\soustitre
\question{Rappeler les règles de distributivité de 3 évènements et les lois de Morgan.} 
 \pause
\begin{theo}{Distributivité}
Soit $\A$ une tribu. Soient $(A_i)_{i\in \N}$ des éléments de $\mathcal{A}$ et $B \in \A$ un évènement. On a les règles de calculs suivantes:
$$
B\cap\pare{\bigcup_{i = 0}^{+\infty} A_i}=\bigcup_{i = 0}^{+\infty}\pare{B\cap A_i}
\text{, et }
B\cup\pare{\bigcap_{i = 0}^{+\infty}A_i}=\bigcap_{i = 0}^{+\infty}\pare{B\cup A_i}
$$
\end{theo}
 \pause
\begin{theo}{Lois de Morgan}
Soit $\A$ une tribu. Soient $(A_i)_{i \in \N}$ (éléments de $\mathcal{A}$). On a:
$$
\overline{\bigcup_{i=0}^{+\infty}A_i}=\bigcap_{i=0}^{+\infty}\overline{A_i}
\text{, et }
\overline{\bigcap_{i=0}^{+\infty}A_i}=\bigcup_{i = 0}^{+\infty}\overline{A_i}
$$ 
\end{theo}
\end{frame}

\subsection{Systèmes complet d'évènements}
\begin{frame}
\soustitre
\question{Rappeler ce qu'est un système complet d'évènement dans le cas fini}
 \pause
\begin{defi}{Système complet d'évènement} 
Soit $\A$  une tribu d'un ensemble $\Omega$. \textit{\emph{On appelle }}\textbf{\emph{système complet d'évènements
de $\Omega$}} toute famille $\left(A_{i}\right)_{i\in \N}$ telle que :
\begin{itemize}
\item $\forall  i\in \N$, $A_{i}\in\mathcal{A}$
\item La réunion des $A_i$ est égale à $\Omega$ : ${\displaystyle \bigcup_{i\in \N}}A_{i}= \displaystyle \bigcup_{i=0}^{+\infty} A_i = \Omega$
\item Les $A_i$ sont deux à deux disjoints (incompatibles) $\forall i,j\in \N, i\neq j \implies A_{i}\cap A_{j}=\varnothing.$\end{itemize}
\end{defi}
 \pause
\begin{ex}{Système complet d'évènements}
On considère $\Omega = \N$. 
\tableau{Quel système complet d'évènements peut-on mettre sur $\Omega$ ?}
\end{ex}
\end{frame}

\section{Probabilité et espace probabilisé}
\subsection{Probabilité}
\begin{frame}
\titre
\soustitre
\question{Rappeler la définition d'une probabilité}
 \pause
\begin{defi}{Probabilité}
Soit $\A$ une tribu d'un ensemble $\Omega$.
On appelle \textbf{probabilité}  toute \textbf{application} 
$$
P:\mathcal{A}\rightarrow[0;\,1]
$$
telle que :
\begin{itemize}
\item (Probabilité de l'évènement certain) \textsc{$P\left(\Omega\right)=1$}
\item ($\sigma$-additivité). Pour toute suite d'événements $(A_i)_{i \in \N}$ deux à deux incompatibles, on a
\end{itemize}
\begin{center}
$P\left({\displaystyle \bigcup_{i = 0}^{+\infty}}A_{i}\right)={\displaystyle \sum_{i = 0}^{+\infty}}P\left(A_{i}\right)$
\par\end{center}
\end{defi}
\tableau{\exercice}
\end{frame}

\subsection{Espace probabilisé}
\begin{frame}
\soustitre
\begin{defi}{Espace probabilisé}
Soit $(\Omega, \A)$ un espace probabilisable, et $P$ une probabilité sur  $(\Omega, \A)$. L'espace  $(\Omega, \A, P)$ est appelé espace probabilisé.
\end{defi}
 \pause
\begin{prop}{}
Soit $(\Omega, \A, P)$ un espace probabilisé.
\begin{itemize}
 \pause
\item $P(\emptyset) = 0$
 \pause
\item Pour tout évènement $A \in \A$, $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$.
 \pause
\item Si $(A,B) \in \A^2$ avec $A \subset B$ alors $P(A) \leqslant P(B)$. 
\end{itemize}
\end{prop}
 \pause
\begin{theo}{Union d'évènements}
Soit $(\Omega, \A, P)$ un espace probabilisé. Soient $A$ et $B$ deux évènements. Alors
 \pause 
\[
P (A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B).
\] 
\end{theo}
\tableau{\exercice}
\end{frame}

\section{Propriétés des probabilités}
\subsection{Limite monotone}

\begin{frame}
\titre 
\soustitre
Dans cette partie, $(\Omega, \A, P)$ est un espace probabilisé
 \pause
\begin{defi}{Suite croissante et décroissante d'évènements}
\begin{itemize}
\item On dit que la suite d'évènement $(A_n)_{n \in \N}$ est croissante si, pour tout $i \in \N$, $A_n \subset A_{n+1}$.
 \pause 
\item On dit que la suite d'évènement $(A_n)_{n \in \N}$ est décroissante si, pour tout $i \in \N$, $A_{n+1} \subset A_n$. 
\end{itemize}
\end{defi}
 \pause
\begin{theo}{Limite monotone}
Soit $(A_n)_{n \in \N}$ une suite d'évènements de $\A$.
\begin{itemize}
\item {\small Si la suite $(A_n)$ est croissante, alors $P\left( \bigcup\limits_{n=0}^{+\infty} A_n \right) = \lim\limits_{n\to +\infty} P(A_n)$. }
 \pause
\item {\small Si $(A_n)$ est décroissante, alors $P\left(  \bigcap\limits_{n=0}^{+\infty} A_n \right) = \lim\limits_{n\to +\infty} P(A_n)$. }
\end{itemize} 
\end{theo}
\tableau{\exercice}
\end{frame}


\begin{frame}
\question{Que dire de la limite monotone avec des évènements quelconques ?}
 \pause
\begin{prop}{}
Soit $(A_n)_{n \in \N}$ une suite d'évènements de $\A$. Alors
\[
P\left( \bigcup\limits_{n=0}^{+\infty} A_n \right) = \lim\limits_{n\to +\infty} P\left( \bigcup\limits_{i=0}^{n} A_i \right) 
\]
 \pause
 \[
P\left(  \bigcap\limits_{n=0}^{+\infty} A_n \right) = \lim\limits_{n\to +\infty} P\left(  \bigcap\limits_{i=0}^{n} A_i \right)
\]
\end{prop}
\tableau{Preuve directe et \exercice}
\end{frame}

\subsection{\'Evènement vrai presque surement}
\begin{frame}
\soustitre
\begin{histoire}
Dans les deux derniers exercices, nous avons obtenus des probabilités égales à 0 ou 1 alors que les évènements n'étaient ni impossible ni certain. 
\end{histoire}
 \pause
\begin{defi}{}
Soit $A$ un évènement de $\A$.
\begin{itemize}
\item On dit que $A$ est {\bf négligeable} si $P(A) = 0$
 \pause
\item On dit que $A$ est {\bf presque sur} (ou vrai presque surement) si $P(A) = 1$. 
\end{itemize}
\end{defi}
 \pause
\remarque{Ce cas n'arrivait jamais dans un espace probabilisé fini. En effet, dans ce cas, $P(A) = 0$ si et seulement si $A = \emptyset$. C'est une particularité des espaces probabilisés infinis.}
\tableau{\exercice}
\end{frame}


\subsection{Probabilité conditionnelle}
\begin{frame}
\soustitre
\question{Définition d'une probabilité conditionnelle et formule des probabilités composée ?}
 \pause
\pause
\begin{defi}{Probabilités conditionnelles}
Soit $A \in \A$ un évènement de probabilité {\bf non nulle}. Alors l'application $P_A$ définie sur $\A$ par
$$ \forall B \in \A, \quad P_A(B)= \frac{P(B\cap A)}{P(A)} , $$
est une probabilité sur $\left(\Omega,\A \right)$ appelée probabilité sachant $A$. Elle est parfois notée $P\pare{B\vert A}$. 
\end{defi}
 \pause
\begin{theo}{Formule des probabilités composées.}
Pour tous évènements $A_1, \ldots, A_n$, on a 
\[ P(A_1 \cap \ldots \cap A_n ) = P(A_1) P_{A_1}(A_2) P_{A_1 \cap A_2}(A_3) \ldots P_{A_1 \cap \ldots \cap A_{n-1}} (A_n) 
\]
\end{theo}

\tableau{\exercice}
\end{frame}

\begin{frame}
\question{Rappeler la FPT et la formule de Bayes.}
 \pause
\begin{theo}{Formule des probabilités totales}
Soit $\left(\Omega,\A,\: P\right)$ un espace probabilisé. Soit $(A_i)_{i\in \N}$ un système complet d'évènements de $\Omega$ de probabilité non nulle. Alors on a 
\vspace{-8pt}
\[
\forall B \in \A, \quad P(B) = \sum_{k=0}^{+\infty} P(B \cap A_k) = \sum_{k=0}^{+\infty} P(A_k) P_{A_k}(B)
\]
En particulier 
\[
\sum_{k=0}^{+\infty} P(A_k) = 1
\]
\end{theo}
 \pause
\begin{theo}{Formule de Bayes}
 Soient $A,B \in \A$ deux évènements de probabilité non nulle. \pause Alors
\[
P_A(B) = \dfrac{P(B)}{P(A)}P_B(A)
\]
\end{theo}
\tableau{\exercice}
\end{frame}

\subsection{Indépendance mutuelle}
\begin{frame}
\soustitre
\question{Rappeler la définition d'évènements indépendants}
 \pause
\begin{defi}{Indépendance mutuelle}
Soit $(A_i )_{i \in \N}$ une suite infinie d'événements de $\A$ . On dit que la suite $(A_i )$ est mutuellement indépendante si pour tout sous ensemble fini $J \subset \N$, on a
$$
P \left( \bigcap_{i \in J} A_i \right) = \prod_{i \in J} P(A_i)
$$
\end{defi}
\tableau{\exercice}
\end{frame}


\end{document}
