\input{../preambules/prebeam.tex}
\usepackage{url}
\newcommand{\serie}{\sum\limits_{n \geqslant 0}}

%Pour le TITLEPAGE
\title{Chapitre 15: Séries numériques}
\subtitle{}
\date{}


\begin{document}

\begin{frame}
	\titlepage
	
	\begin{savoirfaire}
	\item \'Etude de convergence d'une série en passant par les sommes partielles. 
	\item \'Etude de séries géométriques ou exponentielles
	\item Comparaison entre les séries.  
	\end{savoirfaire}
\end{frame}

\section{Convergence des séries}
\subsection{Séries et sommes partielles}
\begin{frame}
\begin{histoiretitre}{Le paradoxe de Zénon d'\'Elée}
Le paradoxe d'Achille et de la tortue, formulé par Zénon d'Élée, dit qu'un jour, le héros grec Achille a disputé une course à pied avec une tortue. Achille avait accordé gracieusement à la tortue une avance de cent mètres. Un raisonnement, en apparence logique, dit qu'Achille ne pourra malheureusement jamais rattraper la tortue. Vous pouvez retrouver les explications du paradoxe de Zénon à l'adresse :\\

\url{https://youtu.be/u7Z9UnWOJNY}
\end{histoiretitre}
\pause
\titre
\soustitre
\pause
\remarque{On a vu dans différentes partie du cours que l'on peut définir des suites avec des sommes. Certaines de ces suites, comme $u_n = \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k}$ tendent vers $+\infty$, d'autres comme $v_n = \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k^2}$ convergent.}
\tableau{\exercice}
\end{frame}


\begin{frame}
\question{Du coup, qu'est-ce qu'une série ?}
\pause
\begin{defi}{Série et somme partielle}
Soit \textbf{$(u_{n})_{n\in\mathbb{N}}$
}une suite de nombres réels.
\begin{itemize}
\pause
\item On appelle \textbf{série} \textbf{de terme général $u_{n}$} la suite
$(S_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ définie pour tout entier $n$ par $ S_{n}={\displaystyle \sum_{k=0}^{n}}u_{k}.$
\pause
\item $S_{n}$ est appelée \textbf{somme partielle d'indice }\textbf{\emph{n}}
et $u_{n}$ est appelé le\textbf{ terme général }de la série
\end{itemize}
\end{defi}
\pause
\remarque{}\begin{itemize}
\item On note la série réelle de terme général $u_{n}$: ${\displaystyle \sum_{n\geqslant0}}u_{n}$\textbf{
}ou $\sum u_{n}$.
\pause
\item 
D'après la définition, étudier la série ${\displaystyle \sum_{n\geqslant0}}u_{n}$
revient à étudier la suite\textbf{ }$(S_{n})_{n\in\mathbb{N}}$.
\end{itemize}
\tableau{\exercice}
\end{frame}

\subsection{Convergence des séries}
\begin{frame}
\soustitre
\question{Comment définir la convergence d'une série ?}
\pause
\begin{defi}{Convergence des séries}
Soit $u=(u_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ une suite
réelle. 
\begin{itemize}
\item On dit que la série\textbf{ }${\displaystyle \sum}u_{n}$ \textbf{converge}
lorsque la suite $(S_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ converge. Dans ce cas la limite finie de la suite $(S_{n})_{n\in\mathbb{N}}$
, notée  ${\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}}u_{n}$,
est appelée \textbf{somme de la série}. 
\pause
\item On dit que la série\textbf{ }${\displaystyle \sum}u_{n}$ \textbf{diverge}
lorsque la suite $(S_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ ne converge pas.\end{itemize}
\end{defi}
\tableau{\exercice}
\end{frame}

\begin{frame}
\remarque{}
\begin{itemize}
\item 
Attention ! 
\pause
La notation ${\displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty}}u_{k}$ n'a de sens
que si la série converge. Dans ce cas: ${\displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty}}u_{k}=\underset{n\rightarrow+\infty}{\lim}S_{n}=\underset{n\rightarrow+\infty}{\lim}{\displaystyle \sum_{k=0}^{n}}u_{k}.$

Si la série ne converge pas, on dira la série $\sum u_n$ diverge sans faire apparaître le signe $+\infty$.
\pause
\item Il existe des séries pour lesquelles on sait directement calculer la somme et ainsi savoir si elles sont convergentes ou non. Par exemple, les séries télescopiques, les séries géométriques etc... Pour les autres, on va introduire des outils nous permettant de savoir si ces séries sont convergentes sans forcément savoir calculer la somme (de la même manière que pour les suites).
\end{itemize}
\tableau{\exercice}
\end{frame}


\begin{frame}
\remarque{Les sommes infinies ne se manipulent pas comme les sommes finies. En général, on calculera d'abord les sommes partielles ,qui sont finies, puis on passera à la limite.}
\pause
\begin{histoire}
\begin{minipage}{0.6\linewidth}
Niels Henrik Abel (1802-1829) est un mathématicien norvégien. Il est connu pour ses travaux en analyse mathématique sur la semi-convergence des séries numériques. Il a dit des séries :\\
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.2]{Abel.jpeg}
\end{center}
\end{minipage}
{\it Les séries divergentes sont une invention du diable et c'est une honte qu'on ose fonder sur elles la moindre démonstration. On peut tirer d'elles tout ce qu'on veut quand on les emploie et ce sont elles qui ont produit tant d'échecs et tant de paradoxes. [\ldots] Mes amis, voici quelque chose dont il faut se moquer.}
\end{histoire}
\pause
\tableau{Montrer que $1+2+3+ \ldots = -1/12$}
\end{frame}

\subsection{Propriétés des séries convergentes}
\begin{frame}
\soustitre
\question{Si une série $\sum u_n$ converge, que dire de la convergence de la suite $(u_n)_{n \in \N}$ ?}
\pause
\begin{prop}{}
Si la série \emph{${\displaystyle \sum_{n\geqslant0}}u_{n}$} converge
alors $\underset{n\rightarrow+\infty}{\lim}u_{n}=0.$
\end{prop}
\tableau{Preuve directe de la propriété.}
\pause
\remarque{cette proposition est très utile pour montrer qu'une série diverge, en utilisant sa contraposée:}
\pause
\[
\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty}u_{n}\neq 0\quad\Longrightarrow\sum u_{n}\; \text{diverge}
\]
\pause
\remarque{Attention ! Erreur classique ! La réciproque de cette proposition est fausse !}
\tableau{Illustration des remarques}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{prop}{Linéarité des séries convergentes}
Soient $(u_{n})_{n\in\N}$ et $(v{}_{n})_{n\in\N}$
deux suites réelles et $\lambda$ un réel non nul.
\pause
\begin{itemize}
\item Les séries ${\displaystyle \sum_{n\geqslant0}}u_{n}$ et ${\displaystyle \sum_{n\geqslant0}}\lambda u_{n}$
sont de \textbf{même} \textbf{nature} et lorsqu'elles convergent,
on a:
\end{itemize}
\begin{center}
${\displaystyle {\displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty}}\lambda}u_{k}=\lambda{\displaystyle {\displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty}}}u_{k}$.
\par\end{center}
\pause
\begin{itemize}
\item Si les séries ${\displaystyle \sum_{n\geqslant0}}u_{n}$ et ${\displaystyle \sum_{n\geqslant0}}v_{n}$
\textbf{convergent}, alors la série de terme général $u_{n}+v_{n}$
converge et on a:
\end{itemize}
\begin{center}
${\displaystyle {\displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty}}(}u_{k}+v_{k})={\displaystyle {\displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty}}}u_{k}+{\displaystyle {\displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty}}}v_{k}.$
\end{center}
\end{prop}
\tableau{\exercice \; et \exercice}
\end{frame}

\section{Séries usuelles}
\subsection{Série géométrique}

\begin{frame}
\titre 
\soustitre
\question{Que dire de la convergence des $\sum\limits_{n \geqslant 0} q^n $ ?}
\pause
\begin{prop}{Série géométrique}
La série ${\displaystyle \sum_{n\geqslant0}}q^{n}$ converge si et
seulement si $\left|q\right|<1$ et dans ce cas \[
{\displaystyle {\displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty}}q^{k}=\dfrac{1}{1-q}.}
\]
\end{prop}
\pause
\begin{ex}{}
La série $\serie \frac{1}{2^n}$ converge et vaut $2$ comme on l'a vu en introduction.  
\end{ex}
\tableau{Preuve directe de la propriété et \exercice}
\end{frame}

\subsection{Série géométrique "dérivée"}
\begin{frame}
\soustitre
\question{Que dire de la convergence des $\serie nq^n $ ?}
\pause
\begin{prop}{Série géométrique "dérivée"}
\begin{itemize}
\item La série ${\displaystyle \sum_{n\geqslant1}}nq^{n-1}$ converge si
et seulement si $\left|q\right|<1$ et dans ce cas : \qquad ${\displaystyle {\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}}nq^{n-1}=\dfrac{1}{(1-q)^{2}}.}$
\pause
\item La série ${\displaystyle \sum_{n\geqslant2}}n(n-1)q^{n-2}$ converge si et seulement si $\left|q\right|<1$ et dans ce cas : \qquad ${\displaystyle {\displaystyle \sum_{n=2}^{+\infty}}n(n-1)q^{n-2}=\dfrac{2}{(1-q)^{3}}.}$
\end{itemize}
\end{prop}
\tableau{Preuve directe du premier point et \exercice}
\end{frame}

\subsection{Série de Riemann}
\begin{frame}
\soustitre
\begin{histoire}
\begin{minipage}{0.7\linewidth}
Mathématicien allemand du $XIX^e$ siècle, Riemann a travaillé dans de nombreux domaines des mathématiques (analyse, géométrie, intégrales, nombres premiers). Un des problèmes du millénaire porte son nom. 
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.3\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.3]{Riemann.jpeg}
\end{center}
\end{minipage}
\end{histoire}
\vspace{-10pt}
\pause
\begin{defi}{Série de Riemann}
{\small La série de terme général $\frac{1}{n^\alpha}$ ($\alpha \in \R$) est appelée série de Riemann.} 
\end{defi}
\pause
\begin{theo}{Série de Riemann}
 La série de Riemann $\ds \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^{\alpha}}$ converge si et seulement si $\alpha>1$.
\end{theo}
\pause
\remarque{Même si la série converge, on ne connait pas la valeur exacte de la somme $\ds \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^{\alpha}}$}
\vspace{-10pt}
\tableau{Exemples de série de Riemann convergentes ou divergentes.}
\end{frame}

\subsection{Série exponentielle}
\begin{frame}
\soustitre
\pause
\begin{prop}{Série exponentielle}
Pour tout $x\in\mathbb{R}$, la série exponentielle ${\displaystyle \sum_{n\geqslant0}\dfrac{x^{n}}{n!}}$
est convergente et :
\[ {\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{x^{n}}{n!}=e^{x}} \]
\end{prop}
\pause
\begin{metodo}{Déterminer si une série converge ou non. }
Pour déterminer si une série converge ou non, et éventuellement calculer sa limite, on essaiera si possible de se
ramener à une des séries usuelles (géométriques, Riemann ou exponentielle).
\end{metodo}
\tableau{\exercice}
\end{frame}

\section{Conditions de convergences}
\subsection{Suites et séries}
\begin{frame}
\titre
\begin{histoire}
{\small Après avoir étudié la convergence de quelques séries particulières, on s'intéresse maintenant à des critères de convergences pour des séries quelconque. Les théorèmes suivants nous donnent en général l'existence d'une limite mais ne permettent pas de trouver la somme.  }
\end{histoire}
\pause
\soustitre
\begin{theo}{Convergence d'une suite}
Soit $(u_n)$ une suite. Alors $(u_n)$ converge si et seulement si la série $\serie (u_{n+1} - u_n)$ converge. Dans ce cas, en notant $\ell$ la limite de $(u_n)$, on a 
\[ \sum_{k=0}^{+\infty} (u_{k+1} - u_k)= \ell -u_0 .
\]
\end{theo}
\tableau{Preuve du théorème et \exercice}
\end{frame}

\subsection{Séries à termes positifs}
\begin{frame}
\soustitre
\begin{histoire}
L'étude des séries avec des termes positifs est souvent plus simple à étudier.
\end{histoire}
\pause
\begin{theo}{}
Soit $(u_n)$ une suite à termes positifs. Alors la série $\serie u_n$ converge si et seulement si la suite des sommes partielles $(S_n)$ est majorée.
\end{theo}
\pause
\begin{metodo}{Majorer une somme partielle}
Pour majorer $S_n = \sum u_k$, on commence en général par majorer $(u_n)$. On somme alors ces majorants pour en déduire un majorant de $(S_n)$. 
\end{metodo}
\tableau{Preuve du théorème par double implication et \exercice }
\end{frame}

\begin{frame}
\question{Quel est le théorème de comparaison pour les suites ?}
\pause
\begin{theo}{de comparaison}
Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites à \textbf{termes positifs}. On suppose que pour tout $n$, 
$$ 0 \leqslant u_n \leqslant v_n .$$
\pause
Alors, si la série $\serie v_n$ est convergente alors la série $\serie u_n$ est convergente. Dans ce cas,
$$
\sum_{k=0}^{+\infty} u_k \leq \sum_{k=0} ^{+\infty} v_k .
$$
\pause
Si la série $\serie u_n$ diverge vers $+\infty$ alors la série $\serie v_n$ diverge vers $+\infty$.
\end{theo}
\tableau{\exercice}
\end{frame}

\subsection{Convergence absolue.}
\begin{frame}
\soustitre
\begin{histoire}
Dans les cas où la série n'est pas à terme positif, nous allons utiliser la notion de convergence absolue.
\end{histoire}
\pause
\begin{defi}{Convergence absolue}
Soit $(u_{n})$ une suite réelle. On dit que la série\textbf{ }${\displaystyle \sum}u_{n}$ est absolument convergente lorsque la série ${\displaystyle \sum}\left|u_{n}\right|$ converge.%
\end{defi}
\pause
\begin{theo}{Convergence absolue}
Si une série est absolument convergente alors elle est convergente
\end{theo}
\pause
\remarque{La réciproque n'est pas vraie: une série peut être convergent sans être absolument convergente. Par exemple, la série $\serie \frac{(-1)^n}{n}$ n'est pas absolument convergente mais elle est convergente (cf. Exercice 21)}
\tableau{\exercice}
\end{frame}
\subsection{\'Etudier une série}

\begin{frame}
\soustitre
\begin{metodo}{\'Etudier une série}
Pour \'etudier une série $\serie u_n$, on suit différentes étapes 
\begin{enumerate}
\item On vérifie que la suite $(u_n)$ tend vers 0. Si non, la série est divergente. 
\item On pose la suite des sommes partielles $(S_n)$ et on vérifie si on peut la calculer. Si oui, on peut conclure quant à la convergence, et la valeur de la somme le cas échéant.
\item On vérifie si on peut se ramener à une série de référence (géométrique et dérivées, Riemann, exponentielle). Si oui, on peut conclure quant à la convergence, et la valeur de la somme le cas échéant.
\item Si tout ce qui précède n'a pas abouti et que la série est à terme positif, on essaie de majorer (ou minorer) les sommes partielles $(S_n)$ ou la suite $(u_n)$.
\item Si tout ce qui précède n'a pas abouti et que la série n'est pas à termes positifs, on s'intéresse à la convergence absolue.
\end{enumerate}
\end{metodo}

\end{frame}

\end{document}
