\input{../preambules/prebeam.tex}
\newcommand{\A}{\mathcal{A}}

%Pour le TITLEPAGE
\title{Chapitre 14: Calcul différentiel}
\subtitle{}
\date{}


\begin{document}

\begin{frame}
	\titlepage
	\begin{savoirfaire}
	\item Déterminer la dérivabilité d'une fonction en un point ou sur un intervalle
	\item Calculer la dérivée d'une fonction sur un intervalle. 
	\item \'Etude de fonctions, interprétation graphique.
	\item Utiliser l'inégalité des accroissements finis. 
	\item Manipuler les développements limités d'ordre 1.  
	\end{savoirfaire}
\end{frame}

\section{Dérivabilité en un point}
\subsection{Modélisation de la vitesse et du coût marginal}

\begin{frame}
\titre
\soustitre
\question{Quelle est la formule de la vitesse ?}
\pause
\question{On considère une voiture qui se déplace en ligne droite. La distance qu'elle parcourt en fonction du temps est donnée par la courbe suivante - Quelle est sa vitesse moyenne entre les temps $t_i$ et $t_f$ ?}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.25]{vitesse.jpg}
\end{center}
\pause
\vspace{-15pt}
\question{Quelle est la vitesse instantanée ?}
\end{frame}

\begin{frame}
\question{On considère une entreprise produisant des objets dont le cout de production $C$ est une fonction de la quantité d'objet produit.  Quel est le cout marginal de la 10ème unité fabriquée ?}

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{cout.jpg}
\end{center}
\pause
\question{On considère maintenant une entreprise dont le cout de production $C$ est une fonction de $q$ la quantité d'objet produit exprimée en million d'unité. Exprimer le cout marginal de la 10 millionième unité produite. }
\pause
\end{frame}

\subsection{Dérivabilité en un point}
\begin{frame}
\soustitre
\question{Rappeler les limites avec le taux d'accroissement}
\pause
\begin{defi}{Dérivabilité en un point}
On dit que la fonction \emph{f} est \textbf{dérivable en $x_{0}$
}si  $\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}$ existe et est finie. Cette limite est alors appelée
\textbf{nombre dérivé de }\textbf{\emph{f}}\textbf{ en} $x_{0}$ et
notée $f\,'(x_{0})$.
\end{defi}
\pause
\remarque{} 
$\bullet$ On a aussi $f\,'(x_{0})=\underset{\underset{}{h\rightarrow0}}{\lim}\dfrac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}.$\\
\pause
$\bullet$ Comme dans le cas de la continuité, il est nécessaire pour la fonction d'être  définie au point $x_0$ pour y être dérivable.
\tableau{\exercice}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{ex}{Taux d'accroissement usuels}
On rappelle les deux taux d'accroissements classique :
\[
\li_{x \to 0} \dfrac{e^x - 1}{x} = e^0 = 1 \quad \text{et} \quad \li_{x \to 0} \dfrac{\ln(1+x)}{x} = \dfrac{1}{1+0} = 1
\]
\end{ex}
\pause
\begin{prop}{}
Si la fonction $f$ est \textbf{dérivable} en $x_{0}$ , alors elle
est \textbf{continue} en $x_{0}$.%
\end{prop}

\remarque{Attention ! La réciproque est fausse ! }
\pause
\tableau{Donner un exemple de fonction $f$ continue en un point $x_0$ mais non dérivable en ce point.}
\pause
\remarque{La contraposée dit qu'une fonction non continue n'est pas dérivable.}
\end{frame}

\subsection{Dérivabilité à droite et à gauche}
\begin{frame}
\soustitre
\question{En s'inspirant de la continuité, comment définir la dérivabilité à gauche et à droite.} 
\pause
\begin{defi}{Dérivabilité à droite et à gauche}
\begin{itemize}
\item On dit que la fonction \emph{f} est \textbf{dérivable à gauche en
$x_{0}$ } lorsque $\underset{x\to x_0^-}{\lim}\dfrac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}$ existe et est finie.
Cette limite est alors appelée \textbf{nombre dérivé à gauche} et notée $f_{g}'(x_{0})$
\pause
\item On dit que la fonction \emph{f} est \textbf{dérivable à droite en
$x_{0}$ } lorsque $\underset{x\to x_0^+}{\lim}\dfrac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}$ existe et est finie.
Cette limite est alors appelée \textbf{nombre dérivé à droite} et notée $f_{d}'(x_{0})$
\end{itemize}
\end{defi}
\tableau{\exercice}
\end{frame}

\begin{frame}
\question{Rappeler le lien entre continuité, continuité à gauche, et continuité à droite.}
\pause
\remarque{A la différence de la continuité, il n'est pas suffisant pour être dérivable en un point d'être dérivable à gauche et à droite ! Il faut une condition supplémentaire.}
\pause
\begin{prop}{Dérivabilité à gauche et à droite}
On suppose que $I$ est un intervalle ouvert.
$f$ est \textbf{dérivable} en\emph{ $x_{0}$ }si et seulement si\emph{
}$f$ est dérivable à \textbf{gauche} et à \textbf{droite} en \emph{$x_{0}$
}et que 
\[
f_{g}'(x_{0})=f_{d}'(x_{0}).
\]
On a alors dans ce cas-là : $f_{g}'(x_{0})=f_{d}'(x_{0})=f'(x_0)$.
\end{prop}
\tableau{\exercice}
\end{frame}

\subsection{Interprétation graphique}
\begin{frame}
\soustitre
\question{Lien avec les tangentes.}
\pause
\begin{prop}{Tangente}
On note $C_f$ la courbe représentative de $f$. 
\begin{enumerate}
\item
Si $f$ est dérivable en $x_0$ alors $C_f$ admet une tangente au point $(x_0,f(x_0))$ dont le coefficient directeur est donné par $f'(x_0)$ et l'équation par 
$$
y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0).
$$
\pause
\item
Si $f$ n'est pas dérivable en $x_0$ et que 
$\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\pm\infty$ alors $C_f$ admet une tangente verticale au point $(x_0,f(x_0))$.
\end{enumerate}
\end{prop}
\pause
\remarque{Si la fonction est dérivable uniquement à droite (resp. à gauche), on parle de demi-tangente en remplaçant $f'$ par $f'_d$ (resp. $f'_g$).}
\tableau{\exercice}
\end{frame}

\begin{frame}
\question{Que se passe-t-il lorsque la dérivée est nulle.}
\pause
\remarque{Lorsque la courbe représentative d'une fonction admet une tangente au point d'abscisse $x_0$ dont le coefficient directeur est nul, on dit que la tangente est horizontale.}
\pause
\remarque{Lorsque la courbe représentative d'une fonction admet deux demies tangentes en un point d'abscisse $x_0$, on dit que ce point est anguleux.}
\tableau{Dessin et \exercice}
\pause
\remarque{Lorsque la courbe représentative d'une fonction admet deux demies tangentes verticales en un point d'abscisse $x_0$, on dit que ce point un point de rebroussement.}
\tableau{Dessin et \exercice}
\end{frame}

\subsection{Développement limité à l'ordre 1}
\begin{frame}
\soustitre
\question{Tangente et développement limité à l'ordre 1}
\pause
 \begin{prop}{Développement limité à l'ordre 1}
 Si $f$ est dérivable en $x_{0}$ alors il existe
 une fonction $\varepsilon$ définie sur\emph{
I} tels que :

\begin{center}
$f(x)=f(x_{0})+f'(x_0)(x-x_{0})+(x-x_{0})\varepsilon(x)$ $\;$avec
$\underset{\underset{}{x\rightarrow x_{0}}}{\lim}\varepsilon(x)=0.$
\par\end{center}
On dit alors que $f(x_{0})+f'(x_0)(x-x_{0})+(x-x_{0})\varepsilon(x)$ est
un \textbf{développement limité à l'ordre 1 au voisinage de $x_{0}$
}de la fonction \emph{$f$}%
\end{prop}
\tableau{\exercice}
\end{frame}

\section{Dérivabilité sur un intervalle }
\subsection{Dérivés et opérations}

\begin{frame}
\titre 
\soustitre
\question{Dérivabilité sur un intervalle}
\pause
\begin{defi}{Dérivabilité sur un intervalle}
On dit que la fonction \emph{f} est \textbf{dérivable sur }\textbf{\emph{I}}\textbf{
}lorsque \emph{f} est dérivable en tout $x$ appartenant à \emph{I}\textbf{.}

On appelle alors \textbf{fonction dérivée de }\textbf{\emph{$f$}}, notée
\textbf{\emph{$f'$}}  la fonction qui à tout réel
$x$ de \emph{I} associe son nombre dérivé \emph{$f\,'(x)$}:

$\qquad\qquad$\emph{ $\begin{array}{cccc}
f\,': & I & \longrightarrow & \mathbb{R}\\
 & x & \longmapsto & f\,'(x)
\end{array}$}%
\end{defi}
\pause
\remarque{On dit que $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $I$ si $f$ est dérivable sur $I$ et si sa dérivée $f'$ est continue sur $I$.}
\tableau{Montrer que la fonction $x \to x^2$ est dérivable pour $x_0 \in \R$.}
\pause
\begin{prop}{Fonctions dérivables}
\tableau{Donner les fonctions usuelles dérivables et les formules}
\end{prop}
\end{frame}


\begin{frame}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{tableau.jpg}
\end{center}
\tableau{Compléter le tableau et \exercice}
\end{frame}

\subsection{Dérivée de $f^{-1}$}
\begin{frame}
\soustitre
\question{Rappeler la définition de la fonction réciproque et dériver cette expression.}
\pause
\begin{prop}{Dérivée de la fonction réciproque}
Soit $f$ une fonction continue et strictement monotone sur l'intervalle
$I$ , $f^{-1}$sa fonction \textbf{réciproque} définie sur $J=f(I)$.
Si $f$ est \textbf{dérivable} sur $I$ et si $f'$ ne s'annule pas,
la fonction $f^{-1}$ est \textbf{dérivable} sur $J$ et 

\[
(f^{-1})'=\dfrac{1}{f\:'\circ f^{-1}}
\]
\end{prop}

\tableau{Retrouver la dérivée de la fonction $\ln$ en utilisant la dérivée inverse de l'$\exp$.}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{metodo}{Montrer que $f^{-1}$ dérivable en un réel $y_0$.}
Pour montrer que $f^{-1}$ est dérivable en réel $y_0$ :
\begin{enumerate}
\item  On écrit $y_0 = f (x_0)$ (soit $x_0 = f^{-1} (y0)$) et on montre que $f$ est dérivable en $x_0$.
\item On s'assure que $f'(x_0) \neq 0$.
On peut alors conclure que $f^{-1}$ est dérivable en $y_0$, et que
\[
(f^{-1}) '(y_0) = \dfrac{1}{f'(f^{-1}(y_0))} = \dfrac{1}{f'(x_0)}
\]
\end{enumerate}
\end{metodo}
\tableau{\exercice}
\end{frame}

\section{Applications de la dérivation}
\subsection{Dérivée nulle sur un intervalle}
\begin{frame}
\titre
\soustitre
\question{Que peut-on dire lorsque la dérivée est nulle ?}
\pause
\begin{prop}{Dérivée nulle}
Soient $I$ un intervalle de $\R$ et $f :I \to \R$ une fonction dérivable sur $I$. Alors $f$ est constante sur $I$ si et seulement si $\forall x \in I$, $f'(x) = 0$. 
\end{prop}
\pause
\remarque{Si l'on a $f$ et $g$ dérivables sur un intervalle $I$. On a alors}
\[
f' = g' \leftrightarrow f = g + cte
\]
\tableau{Montrer la remarque et trouver un contre exemple quand $I$ n'est pas un intervalle.}
\end{frame}

\subsection{Monotonie et dérivée}
\begin{frame}
\soustitre
\question{Sens de variation de $f$ en fonction de sa dérivée ?}
\pause
\begin{theo}{Sens de variation}
Soient $I$ un intervalle de $\R$ et $f :I \to \R$ une fonction dérivable sur $I$. Alors
\begin{itemize}
\item $f$ est croissante (resp. décroissante) sur $I$ si et seulement si $\forall x \in I$, $f'(x) \geq 0$ (resp. $f'(x) \leq 0$)
\pause
\item $f$ est strictement croissante (resp. strictement décroissante) sur $I$ si et seulement si $f'$ est strictement positive sur $I$ (resp. strictement négative) sauf éventuellement en un nombre fini de réels où $f'$ s'annule. 
\end{itemize}
\end{theo}
\pause
\begin{ex}{Fonction cube}
La dérivée de la fonction $x \to x^3$ est strictement positive sauf en 0. Cette fonction est strictement croissante. 
\end{ex}
\tableau{\exercice}
\end{frame}

\subsection{Extremum et nombre dérivée}
\begin{frame}
\soustitre
\question{Rappeler ce qu'est un extremum (local, global) ?}
\pause
\begin{prop}{Extremum et dérivée}
Soit $f$ une fonction dérivable sur
un intervalle ouvert $I$ et $x_{0}$ un point de $I$.
 $f$ possède un extrémum local en $x_{0}$
 si et seulement si $f'(x_0)=0$ et $f'$ change de signe en $x_0$.
\end{prop}
\pause
\remarque{Si $f'$ passe du négatif au positif, l'extremum est un minimum (ex: $x\to x^2$) et si $f'$ passe du positif au négatif, l'extremum est un maximum (ex: $x\to -x^2$)}
\pause
\remarque{$f'(x)=0$ est insuffisant. En effet la fonction cube, notée $f$ ,
vérifie $f'(0)=0$ et pourtant 0 n\textquoteright{}est pas un extrémum
de $f$.}
\tableau{Déterminer les extrema de la fonction $f(x)=\frac{x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}+2x-1$}
\end{frame}

\subsection{Inégalité des accroissements finis}
\begin{frame}
\soustitre
\pause
\begin{theo}{Inégalités des accroissements finis}    
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$. S'il existe deux réels m et M tels que $\forall x\in I$, $m\leqslant f'(x)\leqslant M$
alors pour tout $(a,b)\in I^2$ tels que $a\leq b$ alors on a 
\[
m(b-a)\leqslant f(b)-f(a)\leqslant M(b-a)
\]
\end{theo}
\tableau{Démonstration directe et \exercice}
\pause
\begin{cor}
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$.
S'il existe un réel \emph{K} tel que $\forall x\in I$, $\left|f'(x)\right|\leqslant K$
alors pour tout $(a,b)\in I^2$,
\[
\left|f(b)-f(a)\right|\leqslant K\left|b-a\right|
\]
\end{cor}
\tableau{\exercice}
\end{frame}


\end{document}
