\input{../preambules/preexo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Remplir pour chaque nouvelle feuille
\chead{Feuille d'exercice 9}
\rhead{2020-2021}
\lfoot{}
\cfoot{VA sur un espace fini}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Copier/coller ces deux lignes
%\end{multicols}
%\end{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Début des exercices.
%On utilisera les 4 expériences suivantes dans toutes la partie cours : \\
%{\bf Expérience n°1 :}On lance un dé à 6 faces équilibré. \\
%{\bf Expérience n°2 :} On lance 2 dés à 6 faces équilibrés. \\
%{\bf Expérience n°3 :} On lance une pièce qui a une probabilité $ p = \dfrac{1}{4}$ de tomber sur pile. \\
%{\bf Expérience n°4 :}On lance $n=5$ fois la pièce truquée de l'expérience précédente. \\ 

%\begin{exo}[Variables aléatoires]
%On lance n fois une pièce truquée ayant la probabilité $p \in ]0;1[$ de faire pile. Donnez des exemples de variable aléatoire associée à cette expérience. 
%\end{exo}

\begin{exo}[Support de V.A.]
On lance 2 dés à 6 faces équilibrées, on note $X$ la variable aléatoire associée à la somme des deux dés. Décrivez $X(\Omega)$ et calculer $P(X = 2)$ et $P(X \geq 3)$. 
\end{exo}

\begin{exo}[Loi de probabilité]
\begin{enumerate}
\item On lance une pièce de monnaie équilibrée et on note $X$ la variable aléatoire valant 0 si on obtient face et 1 si on obtient pile. 
\item On lance un dé à 6 faces équilibré et on note $Y$ la variable aléatoire correspondant au numéro obtenu sur le dé. 
\item On lance 2 dés à 6 faces équilibrés muni de la variable aléatoire $Z$ correspondant au chiffre maximum obtenu par les 2 dés. 
\end{enumerate}
Donner la loi de probabilité de chacune de ces variables aléatoire. 
\end{exo}


\begin{exo}[Espérance]
On reprend les variables aléatoires de l'exercice précédent. Donner l'espérance de $X$, $Y$ et $Z$.
\end{exo}

\begin{exo}[Formule de transfert]
On reprend les variable aléatoire $X$, $Y$ et $Z$. Calculer $E(X^2)$, $E(Y^2)$ et $E(Z^2)$.  
\end{exo}

\begin{exo}[Variance]
On reprend les variables aléatoires de l'exercice 3. Calculer la variance de $X$, $Y$ et de $Z$. 
\end{exo}

\begin{exo}[Loi certaine]
On considère une urne $U$ contenant $n$ boules numérotées de 1 à $n$ et indiscernables au toucher. On effectue une suite de tirage avec remise dans l'urne $U$. On note $Z_k$ la variable aléatoire égale au nombre de numéros distincts obtenus au cours des $k$ premiers tirages et on note $E(Z_k)$ l'espérance de $Z_k$. \\

Déterminer la loi de la variable aléatoire $Z_1$ et la loi de la variable aléatoire $Z_2$. En déduire $E(Z_1)$ et $E(Z_2)$. 
\end{exo}

\begin{exo}[Loi uniforme]
Soit $X \loi{U}(\entier{1,n})$. Calculer $E(X)$ et $Var(X)$.  
\end{exo}

\begin{exo}[Loi uniforme]
Pour $b > a$ deux entiers, on définit la loi uniforme $Y$ sur $\entier{a,b}$ par :
\[ \forall k \in \entier{a,b}, \quad P(Y = k) = \dfrac{1}{b-a+1} .\]
\begin{enumerate}
\item Montrer que $Y = X + a - 1$ où $X \hookrightarrow \mathcal{U}(\entier{1,n})$ et $n = b-a+1$.
\item En déduire $E(Y)$ et $Var(Y)$. 
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Loi de Bernoulli]
Soit $X \hookrightarrow \mathcal{B}(p)$. Retrouver $E(X)$ et $Var(X)$ à l'aide de la définition. 
\end{exo}

\begin{exo}[Loi de Bernoulli]
Pour chacune des expériences suivantes, déterminer s'il s'agit de lois de Bernoulli et le cas échéant donner son paramètre $p$ :
\begin{enumerate}
\item On tire une boule d'une urne contenant 7 boules rouges et 3 boules vertes. $X$ est la variable aléatoire qui vaut $1$ si on tire une boule rouge et 0 si on tire une boule verte. 
\item On lance un dé à 10 faces. $X$ est la variable aléatoire qui vaut 1 si le nombre obtenu est inférieur ou égal à 10 et 0 sinon. 
\item  On tire une carte d'un jeu de 32 cartes. $X$ est la variable aléatoire qui vaut $1$ si l'on tire un valet ou une dame et 0 sinon. 
\item On tire une boule dans une urne contenant $n$ boules numérotées de $1$ à $n$ et on note $X$ la variable aléatoire égale au numéro de la boule obtenue. 
\item On tire 12 dés à 10 faces et on $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de dé affichant 6. 
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Loi binomiale]
Montrer que la loi binomiale de paramètre $(n,p)$ est bien une loi de probabilité. 
\end{exo}

\begin{exo}[Loi Binomiale]
Dans chacun des cas suivants, déterminer la loi de $X$, son espérance et sa variance.
\begin{enumerate}
\item On tire 4 fois une boule d'une urne contenant 7 boules rouges et 3 boules vertes. A chaque tirage, on replace la boule tirée dans l'urne et on note $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de boules rouges tirées. 
\item On tire 10 fois une pièces de monnaie truqué, ayant 1 chance sur 4 de faire pile. $X$ est la variable aléatoire comptant le nombre de pile obtenue. 
\item On suppose que Harry P. a une chance sur 100 de récupérer une lettre. Et qu'il a reçu 500 lettres. On note X la variable aléatoire correspondant au nombre de lettre récupéré. 
\end{enumerate}
\end{exo}
\vspace{20pt}

%%% Exercices d'approfondissement
\label{Déterminer la loi d'une VA discrète finie, son espérance et sa variance}
\savoir{Déterminer la loi d'une VA discrète finie, son espérance et sa variance}

\begin{exo}
On considère une variable aléatoire $X$ prenant les valeurs 0,1,2 ou 3. On donne 
$$ P(X = 0) = \dfrac{1}{10} \quad \text{et} \quad P(X = 1) =\dfrac{1}{2} .$$
\begin{enumerate}
\item Sachant que les événements $(X = 2)$ et $(X = 3)$ sont équiprobables, déterminer $P(X = 2)$ et $P(X = 3)$.
\item Donner la loi de $X$, puis calculer $E(X)$ et $V(X)$.
\end{enumerate} 
\end{exo}

\begin{exo}[*]
On joue au jeu suivant : On parie sur un nombre compris entre 1 et 6 puis on lance 3 dés et on gagne $3$ \euro{} si le nombre sort 3 fois, $2$ \euro{} s'il ne sort que 2 fois et $1$ \euro{} s'il sort une fois. On perd $1$ euro s'il ne sort pas. Déterminer la loi, l'espérance et la variance de la variable $X$ représentant le gain du joueur. 
\end{exo}

\begin{exo}[*]
On pioche successivement deux boules, sans remettre la première boule, dans une urne contenant 5 boules numérotées de 1 à 5. On note $X$ la valeur absolue de la différence des deux numéros obtenus.
\item Donner $X(\Omega)$ et la loi de $X$. Calculer $E(X)$ et $V(X)$.
\end{exo}

\begin{exo}[**]
Soient $n\geq 1$ et $a\in\R$. On considère la VA $X$ à valeurs dans $\acc{0,\cdots,n} $telle que $ \forall k\in\acc{0,\cdots,n} , P(X=k)=a\binom{n}{k}$
\begin{enumerate}
\item
Déterminer $a$ pour que l'on définisse bien une loi de probabilité.
\item
\begin{enumerate}
\item
Montrer que $\forall k\in\acc{1,\cdots,n},k\binom{n}{k}=n\binom{n-1}{k-1}$.
\item
En déduire $E(X)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exo}

\label{Reconnaître une loi usuelle}
\savoir{Reconnaître une loi usuelle}

\begin{exo}
On lance 20 fois une pièce ayant la probabilité p de faire pile. Dans les cas suivants, déterminer la loi de $X$, son espérance et sa variance. 
\begin{enumerate}
\item On note $X$ le nombre de pile obtenue. 
\item On note $X$ la variable aléatoire valant 1 si l'on a que des piles et 0 sinon. 
\item On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de lancers. 
\item On gagne 2 euros si on obtient plus de piles que de face. On perd 2 euro sinon et on perd 1 euro en cas de match nul. On note X le gain.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[*]
Une grenouille monte les marches d'un escalier (supposé infini) en partant du sol et en sautant :
\begin{itemize}
\item Ou bien une seule marche avec la probabilité $p$.
\item Ou bien 2 marches avec la probabilité $1-p$. 
\end{itemize}
On suppose que les sauts sont indépendants les uns des autres. 
\begin{enumerate}
\item Dans cette question, on observe $n$ sauts de la grenouille et on note $X_n$ le nombre de fois ou la grenouille a sauté une marche. Quelle est la loi de $X_n$
\item On note $Y_n$ la variable aléatoire égale au nombre de marches franchies. Exprimer $Y_n$ en fonction de $X_n$. En déduire l'espérance et la variance de $Y_n$. 
%\item On note désormais $Z_n$ le nombre de sauts nécessaires pour atteindre ou dépasser la $n$-ième marche. \'Ecrire un algorithme Scilab qui simule la variable aléatoire $Z_n$. 
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[**]
Soit $n\in \N^*$ et $p \in ]0;1[$. On considère $n$ joueurs visant une cible. Chacun des joueurs effectue 2 tirs. A chaque tir, chaque joueur à la probabilité $p$ d'atteindre la cible. Les tirs sont indépendants les uns des autres. 
\begin{enumerate}
\item Pour tout $1 \leq i \leq n$, $X_i$ est la variable aléatoire qui vaut $1$ si le joueur $i$ a touché sa cible au premier tir et 0 sinon. Quels sont les variables aléatoires $X_i$ ?
\item On pose $X= X_1 + \ldots + X_n$ . Que représente la variable aléatoire $X$ ? Déterminer la loi de $X$. 
\item On note $Z$ la VA égale au nombre de joueurs ayant atteint la cible au moins une fois à l'issue des 2 tirs. Montrer que $Z$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. 
\item On pose la VA $Y = Z - X$. Que représente $Y$ ? Déterminer la loi de $Y$ ?  
\end{enumerate}
\end{exo}


\end{document}
