\input{../preambules/preexo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Remplir pour chaque nouvelle feuille
\chead{Feuille d'exercice 7}
\rhead{2020-2021 }
\lfoot{}
\cfoot{Dénombrement}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Copier/coller ces deux lignes
%\end{multicols}
%\end{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Début des exercices.
\begin{exo}[Loi uniforme]
On lance un dé à 12 faces bien équilibré. On note A l'évènement "obtenir un multiple de 3" et B l'évènement "obtenir un multiple de 4". Déterminer $P(A)$ et $P(B)$.
\end{exo}

\begin{exo}[Cardinal d'une union disjointe]
On tire une carte d'un jeu de 32 cartes. Quelle est la probabilité d'obtenir un pique ou un carreau ?
\end{exo}

\begin{exo}[Cardinal d'une union disjointe(2)]
On tire une carte d'un jeu de 32 cartes. Quel est le nombre de possibilités
d'obtenir un 7 ou une figure (roi, dame, valet)?
\end{exo}

\begin{exo}[Cardinal d'une union quelconque]
On tire une carte dans un jeu de 32. Quel est le nombre de manière d'obtenir une figure ou un coeur ?
\end{exo}

\begin{exo}[Cardinal en utilisant une partition]
Dans une classe de 33 élèves, 7 élèves ayant travaillé plus de 10 h dans la semaine ont obtenu une note supérieur à 10. 3 élèves ayant travaillé entre 6 et 10 h dans la semaine ont obtenu une note supérieur à 10. Enfin, aucun des élèves ayant travaillé moins de 6h dans la semaine n'a obtenu une note supérieur à 10.
\end{exo}

\begin{exo}[Cardinal du complémentaire]
On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes. Quel est le nombre de manière de ne pas tirer un Roi noir ?
\end{exo}

\begin{exo}[p-listes]
Lorsqu'on lance un dé à 6 faces, l'univers est $\Omega =  \entier{1,6}$. Donner des 2 listes de $\Omega$ et des 8 listes de $\Omega$. 
\end{exo}

\begin{exo}[Cardinal du produit cartésien]
Un restaurant propose 3 choix d'entrées, 4 choix de plats principaux et 5 choix de desserts. 
Combien peut-on confectionner de menus distincts ?
\end{exo}

\begin{exo}[Avec ordre et Avec remise]
Quel est le nombre de codes possibles pour une carte bleue ?
\end{exo}

\begin{exo}[Permutations]
Combien y a-t-il de résultats possibles dans une course rassemblant 12 chevaux ?  
\end{exo}

\begin{exo}[Arrangements]
Quel est le nombre de paris possibles au tiercé pour une course de
12 chevaux ?
\end{exo}

\begin{exo}[Combinaisons]
On distribue 5 cartes à un joueur dans un jeu de 52 cartes. Quel est le nombre de mains possibles ? 
\end{exo}

\begin{exo}[Calculs]
\begin{qmulti}{3}
\item $A = \binom{3}{0}$
\item $B = \binom{21}{1}$
\item $C = \binom{25}{3}$
\end{qmulti}
\end{exo}

\begin{exo}[Calculs]
\begin{qmulti}{2}
\item $ A = (a+b)^3$
\item $ B = (2x-3)^3$
\end{qmulti}
\end{exo}

\label{Calculer des probabilités à l'aide du dénombrement}
\savoir{Calculer des probabilités à l'aide du dénombrement}
\begin{exo}
On lance deux fois de suite un dé équilibré.
\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité que la somme des numéros obtenus soit égale à 8 ?
\item Il y a 11 sommes possibles (tous les entiers entre 2 et 12). Pourquoi la probabilité calculée à la première question n'est-elle pas tout simplement égale à $\dfrac{1}{11}$ ?
\end{enumerate}
\end{exo}


%\begin{exo}[Crible de Poincaré]
%Dans une classe de 36 élèves, les élèves étudient au moins une langue
%vivante : 22 étudient l'anglais , 22 l'allemand et 18 l'espagnol. On sait de plus que 10 étudient à la fois l'anglais et l'allemand, que 9 étudient à la fois l'allemand et l'espagnol et 11 à la fois
%l'anglais et l'espagnol. Combien étudient les trois langues ?
%\end{exo}

\begin{exo}[*]
On tire 3 cartes une à une et au hasard avec remise à chaque fois de la carte tirée, dans un jeu de 32 cartes (8 hauteurs et 4 couleurs).
\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité d'obtenir 3 valets ?
\item Quelle est la probabilité d'obtenir 3 fois une carte de même hauteur ?
\item Quelle est la probabilité qu'au moins une de ces cartes soient un valet ?
\end{enumerate}
\end{exo}

\newpage

\begin{exo}[*]
On tire 3 cartes une à une et au hasard \textbf{sans} remise à chaque fois de la carte tirée, dans un jeu de 32 cartes (8 hauteurs et 4 couleurs).
\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité d'obtenir 3 valets ?
\item Quelle est la probabilité d'obtenir 3 fois une carte de même hauteur ?
\item Quelle est la probabilité qu'au moins une de ces cartes soient un valet ?
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[**]
On s'appliquera à justifier les réponses. Le résultat numérique final n'est pas exigé (laisser sous formes de formule).
Une main de poker est constitué de 5 cartes tirées  d'un jeu de 52 cartes (4 couleurs et 13 cartes par couleurs). 
\begin{enumerate}
\item Nombre de tirages possibles ? 
\item Nombre de tirages donnant exactement 5 cartes de même couleur ? 
\item Nombre de tirages donnant les 4 As ? donnant un carré (4 cartes identiques)
\item Nombre de tirages donnant exactement 3 cartes de même couleur ? 
%\item Dénombrer l'ensemble des tirages exactement 2 c\oe urs ou 2 trèfles. 
%\item Dénombrer l'ensemble des tirages donnant exactement 3 carreaux et 2 dames.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[***]
On cherche à démontrer le théorème suivant : ''Si E est un ensemble à n éléments alors \emph{$card(\mathcal{P}(E))=2^{n}.$}''

\textsc{\small{$\forall$}}\emph{\small{p $\in$ $\left\{ 0,\:...,\: n\right\} $,
}}{\small{on pose $E_{p}$ l'ensemble des parties de $E$ à $p$ éléments.}}{\small \par}
\begin{enumerate}
\item {\small{Que peut-on dire de la famille des $\left(E_{p}\right)_{0\leqslant p\leqslant n}$
par rapport à $\mathcal{P}(E)$ ?}}{\small \par}
\item Déterminer le cardinal de {\small{$\left(E_{p}\right)_{0\leqslant p\leqslant n}$ }}{\small \par}
\item {\small{En déduire que $card(\mathcal{P}(E))=2^{n}$.}}\end{enumerate}
\end{exo}

\label{Calculer avec des factorielles et des coefficients binomiaux}
\savoir{Calculer avec des factorielles et des coefficients binomiaux}

\begin{exo}[Calculs]
Calculer les coefficients binomiaux suivants. 
\vspace{-13pt}
\begin{qmulti}{3}
\item $A = \binom{2}{2}$
\item $B = \binom{17}{14}$
\item $C = \binom{10}{2} + \binom{10}{3}$
\end{qmulti}
\vspace{-10pt}
Comparer le dernier résultat obtenu avec $\binom{11}{3}$.
\end{exo}

\begin{exo}[Développer les expressions suivantes.]
% 
%\vspace{-13pt}
\begin{qmulti}{2}
\item $ A = (a+2)^3$
\item $ B = (1+\sqrt{2})^4 + (1 - \sqrt{2})^4$
\end{qmulti}
\end{exo}

\begin{exo}[**]
On désigne par $n$ et $k$ deux entiers naturels tels que $k \leq n$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\forall i \in \entier{k,n}, \binom{n}{i} \binom{i}{k} = \binom{n}{k} \binom{n-k}{i-k}$
\item En déduire que, pour tout réel $x$, on a 
$
\ds \sum_{i=k}^n \binom{n}{i} \binom{i}{k} x^{n-i} = \binom{n}{k} (1+x)^{n-k}.
$
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[**]
Soit $n \in \N^*$. 
\begin{enumerate}
\item Question préliminaire : Soit $k \in \N^*$. Simplifier les quantités $(k+1)k!$ et $(k+2)(k+1)k!$
\item On considère la somme $S_n =  \ds \sum_{k=1}^n k \times k!$. 
\begin{enumerate}
\item En utilisant la décomposition $k = k+1 -1$, justifier que $S_n = \ds \sum_{k=1}^n (k+1)! - \sum_{k=1}^n k!$. 
\item Déduire du résultat précédent que $S_n = (n+1)! - 1$. 
\end{enumerate}
\item On considère la somme $T_n = \ds \sum_{k=1}^n (k^2 +1) \times k!$. 
\begin{enumerate}
\item Soit $k \in \N^*$. Justifier que $k^2 +1 = (k+2)(k+1) - 2(k+1) +1 - k$. 
\item En utilisant la décomposition précédente et la linéarité de la somme, montrer que 
$$
T_n = \sum_{k=1}^n (k+2)! - 2 \sum_{k=1}^n(k+1)! + \sum_{k=1}^n k! - S_n.
$$
\item En remarquant une propriété télescopique sur les 3 premières sommes, montrer que 
$$
T_n = (n+2)! - (n+1)! - 1 - S_n.
$$
\item Simplifier le résultat précédent pour obtenir $T_n = (n+1)! n$. 
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{exo}




%\begin{exo}[*]
%Soient 3 urnes $U_{1}$, $U_{2}$ et $U_{3}$ et n boules numérotées
%de 1 à n.
%\begin{enumerate}
%\item Quel est le nombre total de répartitions de ces boules dans les 3
%urnes?
%\item Quel est le nombre de répartitions qui laissent au moins $U_{1}$
%vide ? au moins une urne vide ?
%\item En déduire le nombre de répartitions qui ne laissent aucune urne vide.
%\end{enumerate}
%\end{exo}



%\begin{exo}[***]
%Soient $p,q \in \mathbb{N}$ et $n \in \left[\kern-0.15em\left[ {0,p + q} 
% \right]\kern-0.15em\right]$. Proposer une démonstration par dénombrement de l'égalité 
%$$\left( 
%\begin{gathered}
%  p + q \\ 
%  n \\ 
%\end{gathered}
% \right) = \sum\limits_{k = 0}^n {\left( 
%\begin{gathered}
%  p \hfill \\
%  k \hfill \\ 
%\end{gathered}
% \right)\left( 
%\begin{gathered}
%  q \\ 
%  n - k \\ 
%\end{gathered}
% \right)} $$
%\end{exo}
%%% Exercices d'applications
%\renewcommand\bcStyleTitre[1]{\hspace{10pt}\itshape \Large \color{black} #1}
%\setlength{\logowidth}{13pt}
%\begin{bclogo}[couleur=white,couleurBord=white,arrondi=0.2, logo = \bcbook]{ Exercices d'applications}
%\end{bclogo} 
%\vspace{-13pt}





%TCIMACRO{\TeXButton{TeX field}{\end{multicols}}}%
%BeginExpansion
%\end{multicols}%
%EndExpansion

\end{document}
