\input{../preambules/preexo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Remplir pour chaque nouvelle feuille
\chead{Feuille d'exercice 6}
\rhead{2019-2020 }
\lfoot{}
\cfoot{Sommes et Produits, Applications}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Copier/coller ces deux lignes
%\end{multicols}
%\end{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Début des exercices.


\begin{exo}[Par récurrence]
Montrer par récurrence que 
$$
\sum_{k = 0}^n k = \dfrac{n(n+1)}{2}
$$
\end{exo}

\begin{exo}[En ajoutant ou retranchant des termes]
Calculer les sommes suivantes 
\begin{qmulti}{3}
\item $\ds \sum_{k=2}^n k$ 
\item $\ds \sum_{k=1}^n \left( \dfrac{1}{2} \right)^k$
\item $\ds \sum_{k=1}^{n+1} k^3$
\end{qmulti}
\end{exo}

\begin{exo}[En factorisant]
Calculer les sommes suivantes 
\begin{qmulti}{3}
\item $\ds \sum_{k=1}^n 4k^2$ 
\item $\ds \sum_{k=0}^n x^{k+3}$
\item $\ds \sum_{k=0}^{n} \dfrac{4^k \times 8^k }{2^{2k+1}}$
\end{qmulti}
\end{exo}

\begin{exo}[En développant]
Calculer les sommes suivantes 
\begin{qmulti}{3}
\item $\ds \sum_{k=1}^n k + 1$ 
\item $\ds \sum_{k=0}^n k(k-1)$
\item $\ds \sum_{k=0}^{n} 4k^3 + 3k^2$
\end{qmulti}
\end{exo}

\begin{exo}[Changement de variables]
Calculer les sommes suivantes 
\begin{qmulti}{3}
\item $\ds \sum_{k=2}^{n+1} (k - 1)^3$ 
\item $\ds \sum_{k=1}^n \left( \dfrac{1}{2} \right)^k$
\item $\ds \sum_{k=p}^{n} x^k$
\end{qmulti}
\end{exo}

\begin{exo}[Sommes télescopiques]
Calculer les sommes suivantes 
\begin{qmulti}{3}
\item $\ds \sum_{k=2}^{n+1} (k+1)^2 - k^2$ 
\item $\ds \sum_{k=1}^n \sqrt{k+1} - \sqrt{k}$
\item $\ds \sum_{k=p}^{n} \dfrac{1}{k(k-1)}$
\end{qmulti}
{\it Indication pour la dernière : On montrera que $\dfrac{1}{k(k-1)} = \dfrac{1}{k-1} - \dfrac{1}{k} $. }
\end{exo}

\begin{exo}[En utilisant le binôme de Newton]
Calculer les sommes suivantes 
\begin{qmulti}{3}
\item $\ds \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} 3^k 4^{n-k} $ 
\item $\ds \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (-2)^k4^{n-k} $ 
\item $\ds \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (-1)^k $ 
\end{qmulti}
\end{exo}

\begin{exo}
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\forall k \geq 3, \quad \ln(k) \geq 1$. 
\item En déduire que $\ds \sum_{k=3}^n \ln(k) \geq n-2$. 
\end{enumerate}

\end{exo}

\begin{exo}[Probabilité]
On considère $A_1, \ldots, A_n$, un système complet d'évènement tels que 
$$
\forall i  \in \entier{1;n}, P(A_i) = \dfrac{a}{3^{i+1}}. 
$$
Déterminez la valeur de $a$. 
\end{exo}

\begin{exo}[Formule des probabilités totales]
On considère 20 urnes numérotées de 1 à 20. Dans la $k^{eme}$ urne, il y a  $k$ boules vertes et $20 - k$ boules rouges. On lance un dé à 20 faces et on tire une boule dans l'urne portant le numéro de la face obtenue par le dé. On note les évènements $A_k$ : "La face obtenu par le dé porte le numéro $k$" et $V$ : "La boule tirée est verte". Calculer $P(V)$.
\end{exo}

\begin{exo}[Indépendance]
Votre voisine a deux enfants dont vous ignorez le sexe. On considère les trois événement suivants :
\begin{itemize}
\item $A$ = "les deux enfants sont de sexes différents"
\item $B$ = "l'ainé est une fille"
\item $C$ = "le cadet est un garçon". 
\end{itemize}
Montrer que $A$, $B$ et $C$ sont deux à deux indépendants, mais ne sont pas mutuellement indépendants.
\end{exo}

\begin{exo}[Puissance de matrice]
\hspace{50pt} On considère la matrice $A = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 
\end{pmatrix}$. \begin{enumerate}
\item Montrer que $A = I_3 + B$ où $B$ est une matrice à déterminer. 
\item Montrer que pour $k \geq 2$, $B^k = 0_3$.
\item Pour $n \geq 2$, calculer $A^n$ à l'aide du binôme de Newton. 
\end{enumerate}
\end{exo}

\label{Manipuler une inégalité mettant en jeu une somme.}
\savoir{Manipuler une inégalité mettant en jeu une somme.}

\begin{exo}
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout $x \geq 0$, $e^x \geq x$
\item En déduire que $\ds \sum_{k=0}^n e^k \geq \dfrac{n(n+1)}{2}$. 
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[*]
Soit $n \geq 2$. Montrer que $\ds \sum_{k=1}^n k^n  \geq \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.
\end{exo}

\label{Utiliser la formule des probabilités totales}
\savoir{Utiliser la formule des probabilités totales}

\begin{exo}
On choisit au hasard une des 4 urnes ci-dessous et on en tire une boule au hasard.
\begin{itemize}
 \item L'urne 1 contient 3 boules rouges, 2 blanches et 3 noires.
 \item L'urne 2 contient 4 boules rouges, 3 blanches et 1 noire.
 \item L'urne 3 contient 2 boules rouges, 1 blanche et 1 noire.
 \item L'urne 4 contient 1 boule rouge, 6 blanches et 1 noires.
\end{itemize}
Déterminer la probabilité que cette boule soit blanche.
\end{exo}

\begin{exo}[*]
Soit $n$ un entier plus grand que 1. Dans un sac, on place $n$ jetons numérotés de $1$ à $n$. On a également $n$ urne telle que l'urne $k$ contienne $k^2$ boules blanches et $n^2 - k^2$ boules noires. On considère l'expérience suivante :
\begin{enumerate}
\item On tire un jeton aléatoirement du sac.
\item On pioche dans l'urne correspondant au numéro du jeton, une boule. On regarde la couleur de cette boule.
\end{enumerate} 
Calculer la probabilité de tirer une boule blanche.
\end{exo}

\begin{exo}[**]
On considère une particule se déposant à chaque seconde sur l'un des trois sommets $A,B,C$ d'un triangle suivant le procédé suivant :

\vspace{0.3cm}

\begin{itemize}
 \item Si la particule se trouve en $B$, elle y reste.
 \item Si la particule se trouve en $A$, elle se trouve à la seconde suivante sur l'un des trois sommets de façon équiprobable.
 \item Si la particule se trouve en $C$, à la seconde suivante, elle y reste une fois sur trois et a 7 chances sur 12 d'aller en $B$. Enfin, il y a une chance sur 12 d'aller en $A$. 
\end{itemize}

\vspace{0.3cm}

\noindent A la première seconde elle se pose au hasard sur l'un des trois sommets.\\
Pour tout $n\in \N^*$, on note $A_n$ (respectivement $B_n$ et $C_n$) l'événement : \og à la $n$-ième seconde, la particule se trouve en $A$ (respectivement $B$ et $C$)\fg et on note $a_n, b_n, c_n$ les probabilités de $A_n, B_n, C_n$.

\vspace{0.3cm}

\begin{enumerate}
 \item Donner $a_1, b_1, c_1$.
 \item Donner pour $n \in \mathbb{N}^*$, une relation de récurrence entre $a_{n+1}, b_{n+1}, c_{n+1}$ et $a_n, b_n, c_n$.
 \item Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $c_n = (1/2)^n-(1/6)^n$. En déduire $a_n$ et $b_n$ en fonction de $n$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\label{Déterminer l'indépendance d'évènements.}
\savoir{Déterminer l'indépendance d'évènements.}

\begin{exo}
On considère l'expérience aléatoire consistant à effectuer $n$ tirages (avec $n \geq 2$) dans une urne contenant 3 boules noires et 5 boules rouges. Les tirages se feront avec remise. Calculer la probabilité des évènements suivants :
\begin{enumerate}
\item $A$ : "Les tirages n'amènent pas de boules noires".
\item $B_k$ : "La première boule rouge est obtenue au $k$-ième tirage" (avec $k \in \entier{1,n}$ fixé).
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[*]
On considère l'expérience aléatoire consistant à effectuer $n$ tirages avec remise (avec $n \geq 4$) dans une urne contenant 1 boule noire et 2 boules rouges. Calculer la probabilité de l'évènement $C$ : "On obtient au moins une boule rouge" \\

Afin de calculer la probabilité de l'évènement $C$, on introduit les évènements $N_k$ (resp. $R_k$) : "On tire une boule noire (resp. rouge) au $k^{\`eme}$ tirage". On a $C = R_1 \cup \ldots \cup R_n = \ds \bigcup_{k=1}^n R_k $. 
\remarque{Le problème, c'est que les évènements $R_1$, $R_2, \ldots, R_n$ ne sont pas incompatibles. On ne peut donc pas utiliser la propriété du cours. On va alors utiliser le fait que $C = \overline{N_1 \cap N_2 \cap \ldots \cap N_n}$. On peut retrouver ce résultat en utilisant les formules de Moivre ou tout simplement en remarquant qu'obtenir au moins une boule rouge revient à ne pas obtenir que des boules noires.}
\end{exo}

\label{Calculer la puissance d'une matrice.}
\savoir{Calculer la puissance d'une matrice.}

\begin{exo}
On considère la matrice $A = \begin{pmatrix}
1 & 1 \\
0 & 2 
\end{pmatrix}$ et on pose $J = \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
0 & 1 
\end{pmatrix}$. 
\begin{enumerate}
\item Vérifier que $A = I_2 + J$.
\item Calculer $J^2$. En déduire $J^n$ pour $n \in \N$.
\item Démontrer en utilisant la formule du binôme de Newton :
$$
\forall n \in \N, \qquad A^n = \begin{pmatrix}
1 & 2^n - 1 \\
0 &  2^n
\end{pmatrix}
$$
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[*]
On considère la matrice $A = \begin{pmatrix}
2 & 1 & 1 \\
0 & 2 & 2 \\
0 & 0 & 2
\end{pmatrix}$ et on pose $J = \begin{pmatrix}
0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 2  \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}$. 
\begin{enumerate}
\item Vérifier que $A = 2I_3 + J$.
\item Calculer $J^2$ et $J^3$. En déduire $J^n$ pour $n \in \N$.
\item En déduire la formule de $A^n$ en utilisant le binôme de Newton. 
\end{enumerate}
\end{exo}

%%% Exercices d'applications
%\renewcommand\bcStyleTitre[1]{\hspace{10pt}\itshape \Large \color{black} #1}
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%\begin{bclogo}[couleur=white,couleurBord=white,arrondi=0.2, logo = \bcbook]{ Exercices d'applications}
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%\vspace{-13pt}





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\end{document}
