\input{../preambules/preexo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Remplir pour chaque nouvelle feuille
\chead{Feuille d'exercice 5}
\lfoot{}
\cfoot{Matrices}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Copier/coller ces deux lignes
%\end{multicols}
%\end{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Début des exercices.

\begin{exo}[Définitions de matrices]
\begin{enumerate}
\item Quel est le nombre de lignes et de colonne de la matrice $A=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 7 & 2\\
\sqrt{3} & 0 & -3,55
\end{array}\right)$. Préciser ses coefficients $a_{i,j}.$

\item Expliciter les matrices $A=\left(a_{i,j}\right)_{\scriptsize \begin{array}{c}
1\leqslant i\leqslant4\\
1\leqslant j\leqslant4
\end{array}}$ et $B=\left(b{}_{i,j}\right)_{\scriptsize \begin{array}{c}
1\leqslant i\leqslant4\\
1\leqslant j\leqslant4
\end{array}}$ définies par:

$a_{i,j}=\begin{cases}
2 & si\: i=j\\
1 & si\: i=j+1\\
-1 & si\: i=j-1\\
0 & dans\: les\: autres\: cas,
\end{cases}$ et $b_{i,j}=2i-j$ pour tout $(i,\, j)$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Transposée de matrice]
Donner les transposées de \emph{A}, \emph{B} et \emph{C} avec
Soient $A=\left(\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 3 & 5\\
1 & 6 & 2 & -3
\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{cc}
1 & 2\\
3 & 4
\end{array}\right)$ et $C=\left(\begin{array}{cccc}
-1 & 7 & 4 & 2
\end{array}\right)$.
Que vaut $^{t}(^{t}A)$ ?
\end{exo}

\begin{exo}[Opérations matricielles]
Calculer $A+B$, $3A$, $2A-B$, $(4+5)(A+B)$ avec $A=\left(\begin{array}{cc}
2 & 0\\
1 & 5\\
1 & 6\\
2 & -3
\end{array}\right)$ et $B=\left(\begin{array}{cc}
1 & 1\\
3 & -2\\
4 & 6\\
2 & -3
\end{array}\right)$
\end{exo}


\begin{exo}[Produit]
\begin{enumerate}
\item Calculer $AB$ avec $A=\pare{
\begin{array}{cc}
2&-3\\
1& 2
\end{array}}$
et 
$B=\pare{
\begin{array}{c}
3\\
-1
\end{array}}$. 
\item Soient $A=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 7\\
3 & 5 & -2
\end{array}\right)$et $B=\left(\begin{array}{ccc}
e & -1 & 4\\
2 & -\pi & 2
\end{array}\right)$. 

\begin{enumerate}
\item Peut-on calculer $AB$ ? Pourquoi ?
\item Calculer $A\times^{t}B$
\end{enumerate}
\item Soient $A=\left(\begin{array}{cc}
-2 & 3\\
-1 & -1
\end{array}\right)$ et $B=\left(\begin{array}{cc}
1 & 3\\
-2 & 5
\end{array}\right)$ deux matrices de $\mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})$. Calculer les produits
$AB$ et $BA$. Quelle conclusion peut-on tirer?
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Puissance de matrice (1)]
Calculer les matrices $(AB)^2$ et $A^2B^2$ avec $A=\left(\begin{array}{cc}
-2 & 3\\
-1 & -1
\end{array}\right)$ et $B=\left(\begin{array}{cc}
1 & 3\\
-2 & 5
\end{array}\right)$ 
\end{exo}

\begin{exo}[Puissance de matrice diagonale]
Soit $A$ une matrice diagonale carré d'ordre 3. C'est à dire que $A = \begin{pmatrix}
a_1 & 0 & 0 \\
0 & a_2 & 0 \\
0 & 0 & a_3 \\
\end{pmatrix}
$. Montrer par récurrence que $
\forall n \in \N, \quad A^n = \begin{pmatrix}
a_1^n & 0 & 0 \\
0 & a_2^n & 0 \\
0 & 0 & a_3^n \\
\end{pmatrix}
$
\end{exo}

\begin{exo}[Puissance de matrice (2)]
On considère la matrice : \\
$A =\left(\begin{array}{cc}  
1 & 1\\
0 & 1
\end{array}\right)$.
Montrer par récurrence que 
$$\forall n \in \N, A^n = \begin{pmatrix}
1 & n \\
0 & 1
\end{pmatrix} .$$
\end{exo}

\begin{exo}[Matrice inversible (1)]
Montrer que : \\
la matrice $\begin{pmatrix}
1& 1\\
2 & 3
\end{pmatrix}$ est inversible et son inverse est $\begin{pmatrix}
3& -1\\
-2 & 1
\end{pmatrix}$
\end{exo}

%\begin{exo}[Commutation]
%Déterminer toutes les matrices \emph{X }qui commutent avec $A=\left(\begin{array}{cc}
%1 & -2\\
%2 & 1
%\end{array}\right)$.
%\end{exo}
%
%
%
%\begin{exo}[Puissance de matrice (3)]
%Calculer $A^n$ pour tout entier $n$ avec: \hspace{10pt} $A =\left(\begin{array}{ccc}
%1 & 0 & 1\\
%0 & 1 & 0\\
%0 & 0 & 1 
%\end{array}\right)$.
%\end{exo}

\begin{exo}[Matrice inversible (2)]
On considère les matrices: \hspace{20pt} $A = \left(\begin{array}{cc}
1 & 1\\
0 & 1
\end{array}\right)$ et $B = \left(\begin{array}{cc}
0 & -1\\
0 & 0
\end{array}\right)$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $A(I_2 + B)$.
\item En déduire que $A$ est inversible et calculer $A^{-1}$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Matrice inversible (3)]
{\color{white} .}
\vspace{-10pt}
\begin{enumerate}
\item Soit $A=\left(\begin{array}{cc}
1 & 2\\
-1 & 2
\end{array}\right)$ Montrer que $A$ est inversible et déterminer $A^{-1}$
\item Soit $M=\left(\begin{array}{ccc}
-3 & 4 & 2\\
-2 & 3 & 1\\
2 & -2 & 0
\end{array}\right)$ 

\begin{enumerate}
\item Montrer que $M^{2}=2I-M$ 
\item En déduire que \emph{M }est inversible et donner son inverse
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exo}


\begin{exo}[Puissance (3)]
On montre une troisième façon de calculer la puissance d'une matrice.
\begin{enumerate}
\item Soit $M = \begin{pmatrix}
0 & 1\\
2 & -1
\end{pmatrix}$ et $P = \begin{pmatrix}
1 & -1\\
1 & 2
\end{pmatrix}$. Déterminer $P^{-1}$ et calculer $D = P^{-1} M P$.
\item Calculer $M^k$ pour tout entier naturel $k$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\newpage
\savoir{Additionner ou multiplier des matrices}
\label{Additionner ou multiplier des matrices}

\begin{exo}[Calculs]
On considère les matrices $A = \begin{pmatrix}
1 & 3 \\
2 & 5 
\end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix}
2 & 2 \\
0 & 4 
\end{pmatrix}$
et 
$C = \begin{pmatrix}
2 & 0 \\
7 & -4
\end{pmatrix}$. 
\begin{enumerate}
\item Calculer $A + B$, $2A-B$, $AB$, $BA$, puis $3(A-2B) + 2(3B+C) - (2A+C)$. 
\item Résoudre l'équation $A - 3X = 2B$ d'inconnue $X \in \mathcal{M}_2(\R)$. 
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[*]
Calculer les produits $LC$ et $CL$, où $L = \begin{pmatrix}
-1 & 2 & 3 
\end{pmatrix}
$ et $C = \begin{pmatrix}
3 \\
0 \\
1
\end{pmatrix}$.
\end{exo}

\begin{exo}[**]
Soient $A,B \in \mathcal{M}_n(\R)$. Développer et simplifier : 
$$
S = (2A) \times (3B) - (A+2B)^2 + (A-B)(A+B).
$$
$$
T =(A+B) (2A^2 - 2B) - 2A^2 (A+B) + (-A +B)^2.
$$
\end{exo}

\savoir{Calculer la puissance d'une matrice carrée}
\label{Calculer la puissance d'une matrice carrée}

\begin{exo}
Soit la matrice $A=\begin{pmatrix}1 & 1\\
0 & 2
\end{pmatrix}$. Démontrer par récurrence que~: $\forall n\in\mathbf{\mathbb{N}^{*}},\; A^{n}=\begin{pmatrix}1 & 2^{n}-1\\
0 & 2^{n}
\end{pmatrix}
$
\end{exo}

\begin{exo}[*]
{\color{white} .}
\vspace{-15pt}
\begin{enumerate}
\item On considère les matrices $M = \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
2 & -1 
\end{pmatrix} $ et $P = \begin{pmatrix}
1 & -1 \\
1 & 2 
\end{pmatrix}$. Déterminer $P^{-1}$ et calculer $D = P^{-1} M P$. 
\item Calculer $M^n$ pour tout entier naturel $n$. 
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[**]
Soit la matrice $B=\begin{pmatrix}1 & 2\\
-3 & 6
\end{pmatrix}$ 
\begin{enumerate}
\item Montrer que $(B-3I_{2})(B-4I_{2})=0$. 
\item Exprimer $B^{2}$ en fonction de $I$ et $B$. 
\item Définir par récurrence deux suites de réels $(a_{n})_{n\in\mathbf{N}}$
et $(b_{n})_{n\in\mathbf{N}}$ telles que : 
\[
\forall n\in\mathbf{\mathbb{N}^{*}},\quad B^{n}=a_{n}B+b_{n}I_{2}
\]
 
\item Calculer $a_{n}$ et $b_{n}$ en fonction de $n$ puis expliciter
$B^{n}$. 
\end{enumerate}
\end{exo}

\savoir{Inverser une matrice}
\label{Inverser une matrice}

\begin{exo}
\begin{enumerate}
\item Montrer que la matrice $A = \begin{pmatrix}
1 & 2 \\
1 & -2 
\end{pmatrix} $ est inversible et déterminer $A^{-1}$.
\item Montrer que la matrice $B = \begin{pmatrix}
1 & 2 \\
-1 & -2 
\end{pmatrix} $ n'est pas inversible.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[*]
On considère la matrice $A=\begin{pmatrix}0 & -1 & 1\\
-1 & 0 & -1\\
1 & -1 & 0
\end{pmatrix}$. 
Montrer que $A^{2}-A-2I=0$. En déduire que la matrice $A$ est inversible et calculer $A^{-1}$.
\end{exo}

\begin{exo}[**]
On considère la matrice $B=\begin{pmatrix}
1 & 0 & -1\\
0 & 1 & 0\\
-1 & 1 & 1
\end{pmatrix}$. Calculer $B^3 - 3B^2 + 2B$. En déduire que $B$ n'est pas inversible. 
\end{exo}

\savoir{Manipuler la transposée d'une matrice}
\label{Manipuler la transposée d'une matrice}
%%Transposée
\begin{exo}[Calculs]
On considère les matrices $A = \begin{pmatrix}
1 & 2 \\
2 & -1 
\end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix}
2 & 0 \\
1 & 3 
\end{pmatrix}$
Calculer $AB$, $ {}^t A$, $ {}^t B$ et $ {}^t B {}^t A$. Vérifier que $ {}^t (AB) =  {}^t B {}^t A$
\end{exo}

\begin{exo}[*]

\begin{enumerate}
\item
Montrer que si $A$ et $B$ sont deux matrices carrées d'ordre $n$ alors $^t(A+B)=\ ^tA+ \ ^tB$
\item
En déduire que si $(A,B)\in S_n(\R)^2, A+B\in S_n(\R)$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[**]
On dit que $A$ carrée d'ordre $n$ est antisymétrique si $^tA=-A$. Montrer qu'une matrice carrée $A$ peut toujours s'écrire comme somme d'une matrice symétrique et d'une matrice antisymétrique. 

\end{exo}


%
%\begin{exo}[puissance]
%\begin{enumerate}
%{\color{white} .}
%\vspace{-15pt}
%\item 
%\item Soit $A=\left(\begin{array}{ccc}
%1 & 1 & 1\\
%1 & 1 & 1\\
%1 & 1 & 1
%\end{array}\right)$. Calculer $A^{2}$, $A^{3}$, $A^{4}$ puis conjecturer une forme
%générale pour $A^{n}$ . \\
%Démontrer ce résultat par récurrence
%\end{enumerate}
%\end{exo}








%\end{multicols}
\end{document}
