\input{../Preambules/preexo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Remplir pour chaque nouvelle feuille
\chead{Feuille d'exercice 4}
\lfoot{}
\cfoot{Espaces de probabilité fini}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Début des exercices.

%\vspace{-15pt}
%\begin{exo}[\'Evènements]
%On lance 2 dés successivement et on note les numéros obtenus. Déterminer l'univers de cette expérience aléatoire puis donner les évènements suivants.
%\begin{enumerate}
%\item "$E_1$ : Obtenir les mêmes numéros sur chaque dé."
%\item "$E_2$ : La somme des numéros vaut 10."
%\item "$E_3$ : La somme des numéros vaut 12."
%\item "$E_4$ : La somme des numéros vaut 13."
%\end{enumerate}
%\end{exo}

\vspace{-10pt}
\begin{exo}[Opération sur les évènements]
On lance deux fois, \textbf{successivement} ,une
pièce de monnaie et on note les résultats obtenus.
L'univers est 
$$\Omega=\left\{ (P;P);(P;F);(F;P);(F;F)\right\} $$
Soit \emph{A }l\textquoteright{}évènement \emph{''la première pièce
donne pile''} et \emph{B} l\textquoteright{}évènement \emph{''la
deuxième pièce donne pile''}.
Exprimer les évènements suivants en fonction de $A$ et $B$ puis à l'aide de l'univers $\Omega$.
\begin{qmulti}{2}
\item $C$ : "Au moins une des pièce donne pile"
\item $D$ : "Les 2 pièces donnent pile"
\item $E$ : "La première pièce donne Face"
\item $F$ : "La seconde pièce donne Face"
\item $G$ : "Les deux pièces donnent Face"
\item $H$ : "Au moins une des pièce donne Face"
\end{qmulti}
\end{exo}

%\vspace{-15pt}
%\begin{exo}[\'Evènements incompatibles]
%On tire une carte dans un jeu de 52 cartes. Dites lesquels de ces évènements sont incompatibles entre eux. \\
%A = "On tire un trèfle".  \quad B = "On tire une figure ".  \quad C = "On tire un carreau". 
%\end{exo}

\begin{exo}[Crible de Poincaré]
Des élèves d'une classe ont la possibilité de pratiquer
3 activités sportives, du tennis, du basket ou du kin ball. 
Ils peuvent en pratiquer une, deux, ou trois, mais ils doivent en
pratiquer au moins une. 
On sait que 12 pratiquent du tennis, 7 du basket, 9 du kin ball, aucun élève ne pratique du tennis et du basket, 2 pratique du basket et du kin ball. Enfin 6 font du tennis et du kin ball. Il y a 20 élèves dans la classe. On croise un élève au hasard,
\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité de pratiquer du Basket ou du Kin Ball ?
\item Quelle est la probabilité de pratiquer du Tennis ou du Basket ?
\item Quelle est la probabilité qu'il pratique les 3 activités?
\end{enumerate} 
\end{exo}

\begin{exo}
On lance 4 fois une pièce et on note les évènements : \\
$A_k$ : "On obtient pour la première fois pile au $k^{\`eme}$ lancer" pour $k \in \entier{1;4}$ et $A_0$ : "On n'obtient pas de pile".\\
On admet que $P(A_k) = \dfrac{1}{2^k}$ pour $k \in \entier{1;4}$. Calculer $P(A_0)$.
\end{exo}

\begin{exo}[Arbre pondéré]
On compte dans la population française $24\%$ de moins de 20 ans et $17\%$ de plus de 65 ans. $30\%$ des moins de 20 ans ont un smartphone, $80\%$ des 20-65 ans en ont un et $20\%$ des plus de 65 ans. Construisez un arbre pondéré qui représente cette situation et déterminer toutes les probabilités que vous pouvez déduire de cet énoncé.  
\end{exo}

\begin{exo}[Probabilité conditionnelle]
Dans une entreprise deux ateliers fabriquent les mêmes pièces. L'atelier 1 fabrique en une journée deux fois plus de pièces que l'atelier 2. Le pourcentage de pièces défectueuses est 3\% pour l'atelier 1 et 4\% pour l'atelier 2. On prélève une pièce au hasard dans l'ensemble de la production d'une journée. Déterminer
\begin{enumerate}
\item la probabilité que cette pièce provienne de l'atelier 1;
\item la probabilité que cette pièce soit défectueuse sachant qu'elle provient de l'atelier 1.
\item la probabilité que cette pièce provienne de l'atelier 1 et soit défectueuse;
\end{enumerate}
     
\end{exo}

\begin{exo}
On considère une urne contenant 4 boules blanches et 3 boules noires. On tire une à une et sans remise 3 boules de l'urne. Quelle est la probabilité pour que la première boule tirée soit blanche, la seconde blanche et la troisième noire?
\end{exo}

\begin{exo}[Formule des probabilités totale]
Dans la population française on compte 52\% de femmes et 48\% d'hommes. Chez les femmes il y a 20\% de fumeuses et chez les hommes il y en a 30\%.
On choisit au hasard un individu. Quelle est la probabilité que
\begin{enumerate}
\item l'individu choisi soit un fumeur, sachant
que c'est un homme  ? 
\item que ce soit un fumeur et un homme ? 
\item que ce soit un fumeur ?
\item Que ce soit un homme sachant que c'est un fumeur ?
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Indépendance]
\begin{enumerate}
\item Une urne contient 12 boules numérotées de 1 à 12. On en tire une hasard, et on considère les événements
   $$ A=\textrm{"tirage d'un nombre pair''},$$
   $$ B=\textrm{"tirage d'un multiple de 3''}.$$
Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants?
\item Reprendre la question avec une urne contenant 13 boules. 
\end{enumerate}
   
\end{exo}

\newpage

\savoir{Exprimer des évènements en fonction d'intersection, d'union et du complémentaire}
\label{Exprimer des évènements en fonction d'intersection, d'union et du complémentaire}

\begin{exo}
On lance 3 dés à 6 faces et on note les résultats obtenus.
L'univers est 
$$\Omega= \entier{1,6}^3 $$
Soit $A_i$ l\textquoteright{}évènement \emph{''On obtient un 6 au $i^{\`eme}$ tirage''} pour $i \in \entier{1,3}$. 
Exprimer les évènements suivants en fonction des $A_i$
\begin{qmulti}{2}
\item $B_1$ : "On obtient le premier 6 au premier tirage"
\item $B_2$ : "On obtient le premier 6 au second tirage"
\item $B_3$ : "On obtient le premier 6 au troisième tirage"
\item $C_3$ : "On obtient un triple 6"
\item $C_1$ : "On obtient un seul 6"
\item $C_0$ : "On n'obtient pas de 6"
\end{qmulti}
\end{exo}

\begin{exo}[*]
On considère une urne $U$ contenant deux boules blanches et une boule noire indiscernable au toucher ainsi qu'une urne $V$ contenant une boule blanche et trois boules noires, elles aussi indiscernable au toucher. On note les évènements $U$ : "On tire une boule dans l'urne $U$" et $N$ : "On tire une boule noire". Exprimez les évènements suivants :
\begin{enumerate}
\item $A$ : "On tire une boule dans l'urne $V$ "
\item $B$ : "On tire une boule noire dans l'urne $U$ ou une boule noire dans l'urne $V$ "
\item Comment peut-on exprimer l'évènement $B$ plus simplement ?
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[**]
On effectue $n$ tirages dans une urne qui contient des boules rouges et vertes. On note $R_i$ l'évènement "On tire une boule rouge au $i^{\`eme}$ tirage." Déterminer en fonction des évènements $R_i$, les évènements
\begin{qmulti}{2}
\item $A$ : "On obtient au moins une boule rouge "
\item $B$ : "On n'obtient que des boules rouges "
\end{qmulti}
\end{exo}

\savoir{Déterminer la probabilité d'une union finie.}
\label{Déterminer la probabilité d'une union finie.}

\begin{exo}
On lance 3 fois un dé à 4 face et on note les évènements $A_i$ : " On obtient 4 sur le dé au $i^{\`eme}$ lancer". On définit enfin les évènements $B_i$ : "On obtient au moins un 4 lors des $i$ premiers lancers". Calculez $P(B_1)$, $P(B_2)$ et $P(B_3)$. 
\end{exo}

\begin{exo}[*]
On considère l'expérience aléatoire consistant à effectuer $n$ tirages avec remise (avec $n \geq 4$) dans une urne contenant 1 boule noire et 2 boules rouges. 
\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité de l'évènement $C$ : "On obtient la même couleur au premier et au dernier tirage"
\item On considère les évènements $D$: "Les tirages $1$ et $2$ amènent chacun une boule noire", $E$: "Les tirages $2$ et $3$ amènent chacun une boule noire" et $F$: "Les tirages $3$ et $4$ amènent chacun une boule rouge". Calculer la probabilité qu'au moins un de ces évènements soient réalisés. 
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[**]
On considère des évènements $(A_i)_{i\in\entier{0;n}}$ formant un système complet d'évènement et tel que 
$$
\forall i \in \entier{1;n},\quad P(A_i) = \dfrac{i}{n(n+1)}.
$$
Déterminer $P(A_0)$.
\end{exo}

\newpage
\savoir{Déterminer la probabilité d'une intersection finie. }
\label{Déterminer la probabilité d'une intersection finie. }

\begin{exo}
Dans une urne, il y a 8 boules vertes et 12 boules rouge. On tire 2 boules l'une après l'autre. 
\begin{enumerate}
\item On remet la boule tirée dans l'urne. Calculez la probabilité que les 2 boules tirées soient vertes. 
\item On ne remet pas la boule tirée dans l'urne. Calculez la probabilité que les 2 boules tirées soient vertes.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[*]
On considère l'expérience aléatoire consistant à effectuer $3$ tirages dans une urne contenant 3 boules noires et 5 boules rouges. On suppose que les tirages se font sans remise. Quelle succession de couleurs a-t-on le plus de chance d'obtenir ; R-N-R ou N-R-N ?
\end{exo}

\begin{exo}[**]
On dispose de deux urnes. L'urne U contient une boule blanche et 
quatre boules noires; l'urne V contient trois boules blanches et 
deux boules noires.   
Dans l'une des urnes choisie au hasard, on effectue une s\'erie de 
tirages d'une boule avec remise (tous les tirages ont lieu dans la 
m\^eme urne). Soit $A_i$ l'\'ev\`enement ``la $i$-\`eme boule
tir\'ee est blanche''.
\begin{enumerate}
\item Calculer $P(A_1)$, $P(A_2)$. $A_1$ et $A_2$ sont-ils ind\'ependants?
\item Calculer $P(A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n)$, $n \in \N^*$.
\item Sachant que les $(n-1)$ premiers tirages donnent chacun 
une boule blanche, quelle 
est la probabilit\'e d'obtenir une boule blanche au $n$-i\`eme tirage?
\item Sachant que les $n$ premi\`eres boules tir\'ees sont blanches,
quelle 
est la probabilit\'e d'avoir tir\'e dans U?
\end{enumerate} 
\end{exo}

\savoir{Déterminer une probabilité conditionnelle, Utiliser la formule des probabilités totales. }
\label{Déterminer une probabilité conditionnelle, Utiliser la formule des probabilités totales. }

\begin{exo}
Dans une classe d'ECE, On a 1/3 de garçons pour 2/3 de filles. Au dernier SIGMA, 2 garçons sur 5 ont au dessus de la moyenne alors que 7 filles sur 10 ont obtenus moins que la moyenne. On choisit un élève au hasard. 
\begin{enumerate}
\item Sachant que c'est une fille, quelle est la probabilité que cette élève ait la moyenne ?
\item Quelle est la probabilité que ce soit une fille qui ait la moyenne ?
\item Quelle est la probabilité qu'un élève ait obtenu la moyenne ?
\item On tire maintenant au hasard un élève parmi ceux qui ont obtenus la moyenne. Quelle est la probabilité que ce soit une fille ? 
\item Les évènement "être un garçon" et "obtenir la moyenne" sont-ils indépendants ? 
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[*]
Une compagnie d'assurance répartit ses clients en trois classes $R_1$, $R_2$ et $R_3$: les bons risques, les risques moyens, et les mauvais risques. Les effectifs de ces trois classes représentent 20\% de la population totale pour la classe $R_1$, 50\% pour la classe $R_2$, et 30\% pour la classe $R_3$. Les statistiques indiquent que les probabilités d'avoir un accident au cours de l'année pour une personne de l'une de ces trois classes sont respectivement de 0.05, 0.15 et 0.30.
\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité qu'une personne choisie au hasard dans la population ait un accident dans l'année?
\item Si M.Martin n'a pas eu d'accident cette année, quelle est la probabilité qu'il soit un bon risque?
    \end{enumerate} 
\end{exo}

\begin{exo}[**]
Un joueur débute un jeu vidéo et effectue plusieurs parties successives. On note $G_n$ l'évènement "Le joueur gagne la $n-$ième partie et $p_n$ la probabilité de l'évènement $G_n$. On admet que $p_1 = 0,1$, que s'il gagne une partie, la probabilité de gagner la suivante est égale à 0,8. S'il perd une partie, la probabilité de gagner la suivante est égale à $0,6$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $p_2 = 0,62$.
\item Le joueur a gagné la deuxième partie. Calculer la probabilité qu'il ait perdu la première. 
\item Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, $p_{n+1} = \dfrac{1}{5} p_n + \dfrac{3}{5}$.
\item Déterminer l'expression de $p_n$.
\end{enumerate}
\end{exo}


%
%\begin{exo}[*]
%On considère une urne $U$ contenant deux boules blanches et une boule noire indiscernable au toucher ainsi qu'une urne $V$ contenant une boule blanche et trois boules noires, elles aussi indiscernable au toucher. On effectue une suite de tirages d'une boule dans ces urnes en procédant comme suit :
%\begin{itemize}
%\item Le premier tirage a lieu dans l'urne $U$.
%\item {\small Tous les tirages s'effectuent avec remise de la boule piochée dans l'urne dont elle provient.}
%\item {\small Si l'on pioche une boule blanche lors d'un tirage, le tirage suivant a lieu dans l'autre urne. }
%\item {\small Si l'on pioche une boule noire lors d'un tirage, le tirage suivant a lieu dans la même urne. }
%\end{itemize}
%On note $U_n$ l'évènement " le n-ième tirage s'effectue dans l'urne U"
%\begin{enumerate}
%\item Interpréter l'évènement $U_1$ et calculer $P(U_1)$. 
%\item Calculer à l'aide des évènements $U_n$ :
%\begin{enumerate}
%\item La probabilité que le 3ème tirage a lieu dans l'urne $U$ sachant qu'on a tiré une boule blanche au 2ème tirage.
%\item La probabilité que le 3ème tirage a lieu dans l'urne $U$ sachant qu'on a tiré une boule noire au 2ème tirage.
%\item La probabilité que le 2ème et le 3ème tirage ont eu lieu dans l'urne $U$
%\item La probabilité que le 2ème ou le 3ème tirage ont eu lieu dans l'urne $V$. 
%\end{enumerate}
%\end{enumerate}
%\end{exo}
%
%\begin{exo}[** Menteur!]
%Vous jouez à pile ou face avec un autre joueur. Il parie sur pile, lance la pièce, et obtient pile. Quelle est la probabilité pour qu'il soit un tricheur?
%\end{exo}

\begin{exo}[*** Le jeu des portes]
On d\'epose au hasard un cadeau derri\`ere l'une d'entre trois portes.
Un jeu consiste \`a trouver ce cadeau en deux \'etapes.
D'abord vous choississez une porte; puis l'organisateur vous
montre parmi les deux portes restantes, une porte derri\`ere laquelle
le cadeau ne se trouve pas.
Vous avez alors la possibilit\'e entre changer de choix o\`u le garder:
que faites-vous?
\end{exo}



\end{document}
