\input{../preambules/preexo.tex}
\chead{Feuille d'exercice n°3}


\begin{exo}[Démonstration par récurrence]
Montrer par récurrence les propositions suivantes. 
\begin{enumerate}
\item Pour tout $n$ entier, $2^n \geq n+1$.

\item Soit $(u_n)_{n \in \N^*}$ la suite réelle telle que $u_1 = \dfrac{5}{3}$ et : $\forall n \in \N^*, u_{n+1} = 2u_n - \dfrac{1}{n}$. Démontrer que : $\forall n  \in \N^*, \; u_n \leq 2^n$.  
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Majoration, minoration]
Démontrer que la suite $u$ définie par $u_0=1$ et $u_{n+1} = \dfrac{u_n}{2^n}$ est positive.
\end{exo}

\begin{exo}[Monotonie des suites définies explicitement]
Déterminer la monotonie de la suite $u$ définie pour tout entier $n \geq 2$ par : 
$$
u_n = n^2 - 4n +1.
$$
\end{exo}

\begin{exo}[Méthode des soustractions]
Déterminer la monotonie des suites $u$ définie pour tout entier $n$ par
\begin{qmulti}{1}
\item $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = u_n - (n+1)$.
\item $u_0= 1$ et $u_{n+1} = u_n + \dfrac{1}{n^2 +1}$.
\end{qmulti}
\end{exo}

\begin{exo}[Méthode des divisions]
Déterminer la monotonie des suites $u$ définie pour tout entier $n$ par :
\begin{qmulti}{1}
\item $u_n = \dfrac{5^n}{2^{n+1}}$
\item $u_0= 1$ et $u_{n+1} = \dfrac{u_n}{2^n}$.
\end{qmulti}
\end{exo}

\begin{exo}[Monotonie démontrée par récurrence]
Déterminer la monotonie de la suite $u$ définie pour tout entier $n$ par :
$$
u_0= 1 \quad \text{et} \quad u_{n+1} = \sqrt{u_n +1}
$$
\end{exo}


\begin{exo}[suite géométrique]
Montrer par récurrence que pour tout $n \in \N$,
$$
1 + q + q^2 + \ldots + q^n =\frac{1-q^{n+1}}{1-q}
$$
\end{exo}

\begin{exo}[Suites arithmético-géométrique]

Déterminer la formule explicite de la suite $(u_n)_{n \in \N}$ définie par  
$\left\{
\begin{array}{l}
u_{0}=2 \\
\forall n\in\mathbb{N}, \quad  u_{n+1}=2u_{n}+3
\end{array} \right.
$.
\end{exo}

\begin{exo}[Suites récurrentes linéaires d'ordre 2]
Déterminer le terme général des suites suivantes en fonction de $n$ :
\begin{enumerate}
\item $u_0 = -1$, $u_1 = 2$, $\quad \forall n \in \N,  
u_{n+2} = 2 u_{n+1} -u_n$. 
\item $u_1 = 3$, $u_2 = 17$, $\quad \forall n \in \N^*,  
u_{n+2} = 3 u_{n+1} +4u_n$.  
\end{enumerate}
\end{exo}

\label{Démontrer par récurrence}
\savoir{Démontrer par récurrence}

\begin{exo}
Soit $(u_n)_{n \in \N^*}$ la suite définie par $u_0 = 0$ et $\forall n \in \N, \; u_{n+1} = 3 u_n + 2$. Démontrer que $\forall n \in \N, u_n = 3^n - 1$. 
\end{exo}

\begin{exo}[*]
La suite $v$ définie par $v_0 = 0$ et $v_{n+1} = 4 v_n +1$ est définie explicitement par: $\forall n \in \N, \quad v_n = \dfrac{1}{3}(4^n-1)$.
\end{exo}

\begin{exo}[**]
Calculer les premiers termes de la suite $(u_n)_{n \in \N}$ définie par  
$$
\left\lbrace \begin{array}{ccc}
u_0 &=& 3 \\
u_{n+1} & = & \sqrt{1 + u_n^2}
\end{array}
\right. $$
puis conjecturer une formule explicite et la démontrer par récurrence. 
\end{exo}

\newpage

\begin{exo}[**]
Montrer par récurrence la propriété suivante : \\
{\it 
Soit $u$ une suite arithmétique de raison $r$ et de premier terme $u_0$, alors $\forall n \in \N$,
$$\: u_{0}+u_{1}+...+u_{n}=\dfrac{(n+1)(u_{0}+u_{n})}{2}$$
}
\end{exo}

\begin{exo}[***]
Démontrer, en raisonnant par récurrence: \\
 Pour tout entier $n$, $10^n - (-1)^n$ est un multiple de 11.
\end{exo}

\label{Déterminer la monotonie}
\savoir{Déterminer la monotonie}

\begin{exo}
Dans chacun des cas suivants, étudier la monotonie de la suite ($u_{n}$) définie par :
\begin{qmulti}{2}
\item $\forall n\in\mathbb{N}^{\star},$ $u_{n}=\dfrac{1}{n}$. 
\item $\forall n\in\mathbb{N}^{\star},$ $u_{n}=\ln(n)$.
\item $\forall n\in\mathbb{N}^{\star},$ $u_{n}=\dfrac{3^{n}}{4^{n-1}}$.
\item $u_{0}=1\;,et\;\forall n\in\mathbb{N},$ $u_{n+1}=u_{n}-u_{n}^{2}$ 
\item $u_{0}=1,\forall n\in\mathbb{N},$ $u_{n+1}=u_{n}+e^{u_{n}}$.
\end{qmulti}
\end{exo}

\begin{exo}[*]
On considère la suite définie par $u_{0}>0$ et $u_{n+1}=u_{n}+\dfrac{1}{u_{n}}.$
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\forall$ $n\geqslant0,$ $u_n$ existe et $u_{n}>0.$
\item En déduire la monotonie de $u$ 
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[**]
On considère la suite $u$ définie par $u_0 \in \R$ et pour tout entier $n$, $u_{n+1} =\exp(u_n) -1$ et la fonction $f$ définie par $\forall x \in \R, f(x) = e^x - 1$. 
\begin{enumerate}
\item Montrer que l'équation $f(x) = x$ a une unique solution qui est $0$. Déterminer le signe de $f(x) -x$. Préciser le sens de variations de $f$. 
\\ {\bf On suppose ici que $u_0 = 1$. }
\item Montrer que $\forall n \in \N, \, 1 \leq u_n \leq u_{n+1}$. 
\item Montrer que si $x \geq 1$ alors $f(x) \geq (e-1)x$.
\item En déduire que $\forall n \in \N, u_n \geq (e-1)^n$. 
\end{enumerate}
\end{exo}

\label{Déterminer si la suite est majorée ou minorée}
\savoir{Déterminer si la suite est majorée ou minorée}

\begin{exo}
Soit $u$ la suite telle que $u_0 = 3$ et : $\forall n \in \N, u_{n+1} \geq 2u_n$. Montrer par récurrence que : $ \forall n \in \N, \; u_n \geq 3 \times 2^n$. 
\end{exo}

\begin{exo}[*]
Soit $(u_n)_{n \in \N}$ la suite réelle telle que $u_0 = 1$ et $\forall n \in \N, u_{n+1} = \dfrac{u_n}{1 + u_n}$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout $n \in \N$, $u_n$ existe et $u_n > 0$.
\item Calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u_4$, puis conjecturer une formule générale donnant $u_n$ en fonction de $n$. 
\item Prouver la conjecture de la question précédente. 
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[**]
Dans cet exercice on considère des suites monotones $(u_n)_{n \in \N}$ de premier terme $u_0$.
\begin{enumerate}
\item Si la suite $(u_n)$ est croissante alors elle est minorée par $u_0$.
\item Si la suite $(u_n)$ est décroissante alors elle est majorée par $u_0$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\newpage
\label{Déterminer la formulation explicite des suites classiques.}
\savoir{Déterminer la formulation explicite des suites classiques.}

\begin{exo}
Déterminer les formules explicites des suites suivantes :
\begin{enumerate}
\item $(u_n)_{n \in \N}$ la suite définie par $u_0 = 2$ et $\forall n \in \N, \; u_{n+1} = 5 u_n + 4$.
\item $(v_n)_{n \in \N}$ la suite définie par $v_0 = 1$, $v_1 = 2$ et $\forall n \in \N, \; v_{n+2} = 2 v_{n+1} - v_n$.
\item $(w_n)_{n \in \N}$ la suite définie par $w_0 = 1$, $w_1 = 0$ et $\forall n \in \N, \; w_{n+2} + 5 w_{n+1} + 4w_n = 0$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[*]
La suite $(u_n)$ est définie par 
$$
\left\lbrace \begin{array}{ccl}
u_0 &=& \dfrac{1}{4} \\
u_{n+1} & = & \dfrac{3u_n}{2u_n - 1}, \quad \forall n \in \N
\end{array}
\right. $$
Pour tout $n \in \N$, on pose $v_n = \dfrac{1}{u_n} - \dfrac{1}{2}$. On admet que les termes $u_n$ et $v_n$ sont définis pour tout $n \in \N$. 
\begin{enumerate}
\item Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique.
\item Pour tout $n \in \N$, exprimer $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$.
\end{enumerate} 
\end{exo}

\begin{exo}[*]
Soit $(u_n)_{n \in \N}$ la suite définie par 
$$
\left\lbrace \begin{array}{ccl}
u_0 &=& 0 \\
u_{n+1} & = & 2u_n + 3^n, \quad \forall n \in \N
\end{array}
\right. $$ 
 Pour étudier cette suite, on introduit la suite auxiliaire $v_n = \dfrac{u_n}{3^n}$ pour tout $n \geq 0$.
Montrer que $(v_n)_{n \in \N}$ est une suite arithmético-géométrique. En déduire la valeur de $u_n$ en fonction de $n$.
\end{exo}

\begin{exo}[**]
%Déterminer le terme général des suites suivantes en fonction de $n$ :
%\item $u_0 = 1$, $u_1 = -2$, $\quad \forall n \in \N,  
%\dfrac{1}{2} u_{n+2} - 4 u_{n+1} - 4 u_n = 0$. 
On considère les deux suites $(x_n)$ et $(y_n)$ définies par : $x_0 = 2$; $y_0 = -1$ et les relations suivantes :
$$
\left\lbrace \begin{array}{ccl}
\forall n \in \N, x_{n+1} &=& -2x_n + y_n  \\
\forall n \in \N, y_{n+1} &=& 2x_n - 3y_n  \\
\end{array}
\right. $$ 
\begin{enumerate}
\item Déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que :
$$
\forall n \in \N, \quad x_{n+2} = a x_{n+1} + b x_n
$$
\item  En déduire une expression de $x_n$ et $y_n$ en fonction de $n$.
\end{enumerate}
\end{exo}


\begin{exo}[**]
On définit $(a_n)_{n \in \N}$ et $(b_n)_{n \in \N}$ par $a_0=0$ et $b_0 = 12$, puis pour $n \in \N$: 
$$
a_{n+1} = \dfrac{2a_n + b_n}{3} \quad \text{et} \quad b_{n+1} = \dfrac{a_n + 3b_n}{4}.
$$
\begin{enumerate}
\item On considère la suite $(u_n)$ définie pour $n \in \N$, par $u_n = b_n - a_n$. 
\begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{5}{12}$ et de premier terme à préciser. 
\item En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de l'entier naturel $n$.
\end{enumerate}
\item On considère la suite $(v_n)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = 4b_n + 3a_n$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $(v_n)$ est constante.
\item Préciser quelle est la valeur constante de $v_n$. 
\end{enumerate}
\item A l'aide des questions $1(b)$ et $2(b)$, calculer les expressions de $a_n$ et $b_n$ pour tout entier naturel $n$. 
\item Calculer $S_n = b_0 + b_1 + \ldots + b_n$ en fonction de $n$. 
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[***]
La suite de Fibonacci est une suite très célèbre. Elle est définie par $u_0 = 1$, $u_1 = 1$ et pour tout $n$ entier $u_{n+2} = u_{n+1} + u_{n}$. Déterminez sa formule explicite.
\end{exo}


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%BeginExpansion
%EndExpansion

\end{document}
