\input{../preambules/preexo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Remplir pour chaque nouvelle feuille
\chead{Feuille d'exercice 24}
\rhead{2020-2021}
\lfoot{}
\cfoot{Variables aléatoires à densité}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Copier/coller ces deux lignes
%\end{multicols}
%\end{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Début des exercices.

\begin{exo}[Variable aléatoire]
On tire aléatoirement un nombre {\bf réel} entre $0$ et $1$ et on note $X$ la variable aléatoire correspondant au nombre tiré 
\begin{enumerate}
\item Déterminer le support de $X$. Que remarque-t-on ? 
\item Quelle est la probabilité de tirer un nombre plus grand que $0,5$ ? entre 0,2 et 0,6 ?. 
\item Quelle est la probabilité de tirer le nombre 0,158 ?
\item Déterminer la fonction de répartition de $X$ et tracez la. 
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Fonctions de répartition (2)]
\begin{enumerate}
\item Montrer que la fonction suivante est une fonction de répartition : 
$$
F(x) = \begin{cases}
0 \quad \text{si}  \; x < 0 \\
1 - e^{-2x} \quad \text{sinon}
\end{cases}
$$
\item En déduire une densité de probabilité associée.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Variable à densité]
On considère $X$ la variable aléatoire de densité $
f_X (x) = \begin{cases}
e^{-x}  & \text{si} \; x >0 \\
0 & \text{sinon}
\end{cases}
$. 
\begin{enumerate}
\item Calculer $P(X \leq 2)$ et $P(X > 1)$. 
\item Calculer $P(X = 3)$ et $P(1/2 < X < 1)$. 
\end{enumerate}

\end{exo}

\begin{exo}[Loi de Pareto]
Soit $a > 0$. Montrer que la fonction $$
f_a (t) = \begin{cases}
\dfrac{a}{t^{a+1}} & \text{si} \; t \in [1;+\infty[ \\
0 & \text{sinon}
\end{cases}
$$
est une densité de probabilité. On considère $X$ une variable aléatoire admettant $f_a$ pour densité. Trouver la fonction de répartition de $X$.
\end{exo}

\begin{exo}[Changement de VA]
On reprend la fonction $f_a$ de l'exercice précédent et on considère $Y=3X$. Déterminer la fonction de répartition de $Y$.
\end{exo}

\begin{exo}[Espérance]
Soit $f$ la fonction $$
f (t) = \begin{cases}
|t| & \text{si} \; t \in [-1;1] \\
0 & \text{sinon}
\end{cases}
$$
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est une densité d'une variable aléatoire $X$ et donner la fonction de répartition de $X$.
\item Montrer que $X$ admet une espérance et la calculer
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Espérance]
Soit $f$ la fonction  définie par $$
f (t) = \dfrac{e^t}{(1+e^t)^2}
$$
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est une densité d'une variable aléatoire $X$ et donner la fonction de répartition de $X$.
\item $X$ admet-elle une espérance ?
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Linéarité de l'espérance]
Soit $f$ la fonction  définie par $ f (t) = a e^{-t^2} $
\begin{enumerate}
\item Déterminer $a$ pour que $f$ soit une densité d'une variable aléatoire $X$. Calculer son espérance. 
\item On considère la variable aléatoire $Y = 3X +4$. Montrer que $Y$ admet une espérance et calculer $E(Y)$.  
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Loi uniforme (2)]
Soit la fonction 
\[
f(x) = \begin{cases}
\dfrac{1}{b-a} & \text{si} \; x \in [a;b] \\
0 & \text{sinon}
\end{cases}
.\]
Démontrer que la fonction $f$ est une densité de probabilité. 
\end{exo}

\begin{exo}[Loi uniforme et fonction de répartition]
Déterminer la fonction de répartition d'une variable aléatoire $X$ suivant une loi uniforme sur $[a;b]$. 
\end{exo}

\begin{exo}[Loi uniforme et espérance]
Déterminer l'espérance d'une variable aléatoire $X$ suivant une loi uniforme sur $[a;b]$. 
\end{exo}

\begin{exo}[Loi exponentielle (1)]
Soit la fonction 
\[
f(x) = \begin{cases}
\lambda e^{-\lambda x} & \text{si} \; x \geq 0 \\
0 & \text{sinon}
\end{cases}
.\]
Démontrer que la fonction $f$ est une densité de probabilité.  
\end{exo}

\begin{exo}[Loi exponentielle et fonction de répartition]
Déterminer la fonction de répartition d'une variable aléatoire $X$ suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda$. 
\end{exo}

\begin{exo}[Loi exponentielle et espérance]
Déterminer l'espérance d'une variable aléatoire $X$ suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda$. 
\end{exo}


\begin{exo}[Loi normale centrée réduite]
Montrer que la fonction $f$ définit par 
\[
\forall x \in \R, \quad f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{- \frac{x^2}{2}}
\]
est une densité de probabilité. 
\end{exo}

\begin{exo}[Utilisation de la table]
Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi normale $\mathscr{N}(0,1)$. 
\begin{enumerate}
\item Calculer $P(X < 0,54)$, $P(X \geq 2,53)$, $P(0 < X < 2,35)$.
\item Déterminer $t >0$ tel que $P(-t < X < t) \approx 0.95$.
\end{enumerate}

\end{exo}

\begin{exo}[Loi normale]
Montrer que la fonction $f$ définit par $\forall x \in \R, \quad f(x) = \dfrac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{- \frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2}}$
est une densité de probabilité. 
\end{exo}

\begin{exo}[Espérance]
Soit $X$ suivant une loi normale de paramètre $(\mu, \sigma^2)$. Calculer l'espérance de $X$. 
\end{exo}

\begin{exo}[Utilisation de la table(2)]
\begin{enumerate}
\item Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi normale $\mathscr{N}(8,4)$. Donner les valeurs approchées pour $P(X < 7,5)$, $P(X > 8,5)$, $P(6,5 < X < 10)$, $P_{(X>5)}(X>6)$.
\item Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi normale. Déterminer l'espérance et la variance de $X$ sachant que $P(X < -1) \approx 0,0495$ et $P(X > 3) \approx 0,1202$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\newpage
%%% Sujets de concours
\renewcommand\bcStyleTitre[1]{\hspace{10pt}\itshape \Large \color{black} #1}
\setlength{\logowidth}{13pt}
\begin{bclogo}[couleur=white,couleurBord=white,arrondi=0.2, logo = \bcbook]{ Table loi normale $\mathscr{N}(0,1)$}
\end{bclogo} 
\vspace{-50pt}
\hspace{-15pt}
{\small
\begin{center}
\begin{tabular}{r|c@{\ }|c@{\ }|c@{\ }|c@{\ }|c@{\ }|c@{\ }|c@{\ }c@{\ }|c@{\ }|c}
%\multicolumn{11}{c}{Table loi normale $\mathscr{N}(0,1)$}\\
\ \\
$x$&0.00&0.01&0.02&0.03&0.04&0.05&0.06&0.07&0.08&0.09\\
\hline
0.0&0.5000&0.5040&0.5080&0.5120&0.5160&0.5199&0.5239&0.5279&0.5319&0.5359\\
0.1&0.5398&0.5438&0.5478&0.5517&0.5557&0.5596&0.5636&0.5675&0.5714&0.5753\\
0.2&0.5793&0.5832&0.5871&0.5910&0.5948&0.5987&0.6026&0.6064&0.6103&0.6141\\
0.3&0.6179&0.6217&0.6255&0.6293&0.6331&0.6368&0.6406&0.6443&0.6480&0.6517\\
0.4&0.6554&0.6591&0.6628&0.6664&0.6700&0.6736&0.6772&0.6808&0.6844&0.6879\\
0.5&0.6915&0.6950&0.6985&0.7019&0.7054&0.7088&0.7123&0.7157&0.7190&0.7224\\
0.6&0.7257&0.7291&0.7324&0.7357&0.7389&0.7422&0.7454&0.7486&0.7517&0.7549\\
0.7&0.7580&0.7611&0.7642&0.7673&0.7703&0.7734&0.7764&0.7794&0.7823&0.7852\\
0.8&0.7881&0.7910&0.7939&0.7967&0.7995&0.8023&0.8051&0.8078&0.8106&0.8133\\
0.9&0.8159&0.8186&0.8212&0.8238&0.8264&0.8289&0.8315&0.8340&0.8365&0.8389\\
1.0&0.8413&0.8438&0.8461&0.8485&0.8508&0.8531&0.8554&0.8577&0.8599&0.8621\\
1.1&0.8643&0.8665&0.8686&0.8708&0.8729&0.8749&0.8770&0.8790&0.8810&0.8830\\
1.2&0.8849&0.8869&0.8888&0.8907&0.8925&0.8944&0.8962&0.8980&0.8997&0.9015\\
1.3&0.9032&0.9049&0.9066&0.9082&0.9099&0.9115&0.9131&0.9147&0.9162&0.9177\\
1.4&0.9192&0.9207&0.9222&0.9236&0.9251&0.9265&0.9279&0.9292&0.9306&0.9319\\
1.5&0.9332&0.9345&0.9357&0.9370&0.9382&0.9394&0.9406&0.9418&0.9429&0.9441\\
1.6&0.9452&0.9463&0.9474&0.9484&0.9495&0.9505&0.9515&0.9525&0.9535&0.9545\\
1.7&0.9554&0.9564&0.9573&0.9582&0.9591&0.9599&0.9608&0.9616&0.9625&0.9633\\
1.8&0.9641&0.9649&0.9656&0.9664&0.9671&0.9678&0.9686&0.9693&0.9699&0.9706\\
1.9&0.9713&0.9719&0.9726&0.9732&0.9738&0.9744&0.9750&0.9756&0.9761&0.9767\\
2.0&0.9772&0.9778&0.9783&0.9788&0.9793&0.9798&0.9803&0.9808&0.9812&0.9817\\
2.1&0.9821&0.9826&0.9830&0.9834&0.9838&0.9842&0.9846&0.9850&0.9854&0.9857\\
2.2&0.9861&0.9864&0.9868&0.9871&0.9875&0.9878&0.9881&0.9884&0.9887&0.9890\\
2.3&0.9893&0.9896&0.9898&0.9901&0.9904&0.9906&0.9909&0.9911&0.9913&0.9916\\
2.4&0.9918&0.9920&0.9922&0.9925&0.9927&0.9929&0.9931&0.9932&0.9934&0.9936\\
2.5&0.9938&0.9940&0.9941&0.9943&0.9945&0.9946&0.9948&0.9949&0.9951&0.9952\\
2.6&0.9953&0.9955&0.9956&0.9957&0.9959&0.9960&0.9961&0.9962&0.9963&0.9964\\
2.7&0.9965&0.9966&0.9967&0.9968&0.9969&0.9970&0.9971&0.9972&0.9973&0.9974\\
2.8&0.9974&0.9975&0.9976&0.9977&0.9977&0.9978&0.9979&0.9979&0.9980&0.9981\\
2.9&0.9981&0.9982&0.9982&0.9983&0.9984&0.9984&0.9985&0.9985&0.9986&0.9986\\
3.0&0.9987&0.9987&0.9987&0.9988&0.9988&0.9989&0.9989&0.9989&0.9990&0.9990\\
3.1&0.9990&0.9991&0.9991&0.9991&0.9992&0.9992&0.9992&0.9992&0.9993&0.9993\\
3.2&0.9993&0.9993&0.9994&0.9994&0.9994&0.9994&0.9994&0.9995&0.9995&0.9995\\
3.3&0.9995&0.9995&0.9995&0.9996&0.9996&0.9996&0.9996&0.9996&0.9996&0.9997\\
3.4&0.9997&0.9997&0.9997&0.9997&0.9997&0.9997&0.9997&0.9997&0.9997&0.9998\\
3.5&0.9998&0.9998&0.9998&0.9998&0.9998&0.9998&0.9998&0.9998&0.9998&0.9998\\
3.6&0.9998&0.9998&0.9999&0.9999&0.9999&0.9999&0.9999&0.9999&0.9999&0.9999\\
3.7&0.9999&0.9999&0.9999&0.9999&0.9999&0.9999&0.9999&0.9999&0.9999&0.9999\\
3.8&0.9999&0.9999&0.9999&0.9999&0.9999&0.9999&0.9999&0.9999&0.9999&0.9999\\
3.9&1.0000&1.0000&1.0000&1.0000&1.0000&1.0000&1.0000&1.0000&1.0000&1.0000\\
\end{tabular}
\end{center} }

%\vspace{200pt}
%%% Exercices d'approfondissement
\renewcommand\bcStyleTitre[1]{\hspace{10pt}\itshape \Large \color{black} #1}
\setlength{\logowidth}{13pt}
\begin{bclogo}[couleur=white,couleurBord=white,arrondi=0.2, logo = \bcplume]{Montrer qu'on a une fonction de répartition}
\end{bclogo} 
\vspace{-13pt}

\begin{exo}
Les fonctions suivantes sont elle des fonctions de répartition d'une variable aléatoire à densité. Le cas échéant, déterminer une densité associée.
$$
F_1(x) = \begin{cases}
e^x & \text{si} \; x <0 \\
1 & \text{sinon}
\end{cases}
\quad 
F_2(x) = \begin{cases}
\dfrac{x-1}{x+1} & \text{si} \; x >1 \\
0 & \text{sinon}
\end{cases}
$$
\end{exo}

\renewcommand\bcStyleTitre[1]{\hspace{10pt}\itshape \Large \color{black} #1}
\setlength{\logowidth}{13pt}
\begin{bclogo}[couleur=white,couleurBord=white,arrondi=0.2, logo = \bcplume]{Montrer qu'on a une densité de probabilité}
\end{bclogo} 
\vspace{-13pt}

\begin{exo}
Montrer que la fonction $f$ suivante est une densité de probabilité. :
$$ \forall x \in \R, \quad f(x) = \begin{cases}
\frac{3}{8}x^2  & \text{si} \; x \in [0,2] \\
0 & \text{sinon} 
\end{cases}
$$
\end{exo}


\begin{exo}
La fonction $f$ définie par $f(x) = \dfrac{1}{1+ |x|}
$ est-elle une densité de probabilité ?
\end{exo}

\begin{exo}
La fonction $f$ définie par $
f(x) = \begin{cases}
1+x & \text{si} \; x \in [-1;0] \\
1-x & \text{si} \; x \in ]0;1] \\
0 & \text{sinon}
\end{cases}
$
est-elle une densité de probabilité ? 
\end{exo}

\renewcommand\bcStyleTitre[1]{\hspace{10pt}\itshape \Large \color{black} #1}
\setlength{\logowidth}{13pt}
\begin{bclogo}[couleur=white,couleurBord=white,arrondi=0.2, logo = \bcplume]{Calculer, si elle existe une espérance}
\end{bclogo} 
\vspace{-13pt}

\begin{exo}
Soit $X$ une variable aléatoire admettant pour densité la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
$$ \forall x \in \R, \quad f(x) = \begin{cases}
\frac{3}{8}x^2  & \text{si} \; x \in [0,2] \\
0 & \text{sinon} 
\end{cases}
$$
\end{exo}

\begin{exo}
Même question avec la densité définie par $\forall x \in \R, \;f(x) = \begin{cases}
\frac{\ln(x)}{x^2}  & \text{si} \; x \geq 1 \\
0 & \text{si} x < 1. 
\end{cases}
$
\end{exo}

\begin{exo}
Même question avec la densité définie par $\forall x \in \R, \;f(x) = e^{-2|x|}$.
\end{exo}


\renewcommand\bcStyleTitre[1]{\hspace{10pt}\itshape \Large \color{black} #1}
\setlength{\logowidth}{13pt}
\begin{bclogo}[couleur=white,couleurBord=white,arrondi=0.2, logo = \bcplume]{Déterminer la loi d'une transformée affine}
\end{bclogo} 
\vspace{-13pt}

\begin{exo}[Transformation affine - A connaitre]
Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur $[0;1]$, soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a < b$. Montrer que la variable aléatoire $Y = a+ (b-a) X$ suit une loi uniforme sur $[a;b]$. 
\end{exo}

\begin{exo}[Transformation affine]
Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre 1 et $\lambda >0$. Montrer que la variable aléatoire $Y = \dfrac{1}{\lambda} X$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$. 
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite et soit $Y = -X$. Prouver que $Y$ est une variable aléatoire à densité et préciser une densité $g$ de $Y$. 
\end{exo}

\begin{exo}[Loi uniforme et binomiale]
Soient $X_0,\dots,X_n$ des variables aléatoires suivant une loi uniforme sur $[0,1]$, indépendantes.
\begin{enumerate}
\item Soit $0\leq k\leq n$ et soit $U_k=\max(X_0,\dots,X_k)$. Démontrer que $U_k$ admet une densité que l'on déterminera.
\item Soit $N$ une variable aléatoire suivant une loi binomiale $\mathcal B(n,1/2)$. Démontrer que $U=\max(X_0,\dots,X_N)$ admet une densité que l'on déterminera. 
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Loi uniforme et loi exponentielle]
Soit $X \loi{U}([0;1])$. Reconnaitre la loi de $T = -\dfrac{1}{\lambda} \ln(1 - X)$. \'Ecrire un programme scilab qui simule une loi exponentielle. 
\end{exo}

\begin{exo}[Loi exponentielle]
Soit $X \loi{E}(1)$. On pose $Y = e^{-X}$ et on admet que $Y$ est une variable aléatoire à densité. Reconnaitre la loi de $Y$. 
\end{exo}

\renewcommand\bcStyleTitre[1]{\hspace{10pt}\itshape \Large \color{black} #1}
\setlength{\logowidth}{13pt}
\begin{bclogo}[couleur=white,couleurBord=white,arrondi=0.2, logo = \bcplume]{Utiliser la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite}
\end{bclogo} 
\vspace{-13pt}

\begin{exo}
Soit $X \loi{N}(0,1)$ et $Y = e^X$. Déterminer $F_Y$ en fonction de $\Phi$, puis déterminer une densité $f_Y$ et calculer enfin $E(Y)$, si elle existe, à l'aide d'un changement de variable. 
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $X \loi{N}(0,1)$ et $Y = X^2$. 
\begin{enumerate}
\item Montrer que la fonction de répartition de $Y$ est donnée par 
$$
\forall x \in \R, \; F_Y(x) = \begin{cases} 
2 \Phi(\sqrt{x}) - 1 & \text{si} \; x \geq 0 \\
0 & \text{sinon}
\end{cases}
$$
\item En déduire que $Y$ est une variable aléatoire à densité et déterminer une densité de $Y$. 
\end{enumerate} 
\end{exo}

%%% Sujets de concours
\renewcommand\bcStyleTitre[1]{\hspace{10pt}\itshape \Large \color{black} #1}
\setlength{\logowidth}{13pt}
\begin{bclogo}[couleur=white,couleurBord=white,arrondi=0.2, logo = \bcplume]{ Sujets de concours}
\end{bclogo} 
\vspace{-13pt}

\begin{exo}[D'après EML]
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par  $$
f (t) = \begin{cases}
\dfrac{1}{\alpha 3^t} & \text{si} \; t \geq 2 \\
0 & \text{sinon}
\end{cases}
$$
\begin{enumerate}
\item A quelle condition sur $\alpha$ a-t-on que $f$ est une densité d'une v.a. $X$ ?
\item Montrer que $X$ admet une espérance et la calculer.
\item On note $Y$ la variable aléatoire égale à la partie entière de $X$ :
$$
\forall k \geq 2, \; P(Y = k) = P(k \leq X < k+1).
$$
Donner la loi de $Y$. 
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[EML 1996]

\noindent Soit $f$ la fonction d\'{e}finie sur $\mathbb{R}$ par : 
$
\left\{ 
\begin{array}{ll}
f(x)=e^{-|x|} & \text{si }-\ln 2\leq x\leq \ln 2 \\ 
f(x)=0 & \text{sinon}
\end{array}
\right. 
$

\begin{enumerate}
\item  Etudier les variations de $f$ et tracer sa repr\'{e}sentation graphique.

\item  Montrer que $f$ est une densit\'{e} de probabilit\'{e}.

\item  Soit $X$ une variable al\'{e}atoire r\'{e}elle admettant $f$ comme
densit\'{e}.

\begin{enumerate}
\item  D\'{e}terminer la fonction de r\'{e}partition $F$ de $X$.

\item  Montrer que $X$ admet une esp\'{e}rance et calculer l'esp\'{e}rance
de $X$.

\item  On pose $Y=|X|$.\newline
D\'{e}terminer la fonction de r\'{e}partition $G$ de $Y$. Montrer que $Y$
est une variable \`{a} densit\'{e} et d\'{e}terminer une densit\'{e} $g$ de $%
Y$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[ECRICOME 2008]

On considère un jeu où le participant lance trois fl\'{e}chettes dans une
cible circulaire de centre O et de rayon 1. Pour $1\leq i\leq 3$, on note $%
X_{i}$ la variable al\'{e}atoire \'{e}gale \`{a} la distance du point
d'impact de centre O de la $i^{\grave{e}me}$ fl\'{e}chette. Ces trois
variables al\'{e}atoires $X_{1},X_{2},X_{3}$ de m\^{e}me loi, ind\'{e}%
pendantes, sont des variables \`{a} densit\'{e} dont une densit\'{e} $f$ est
d\'{e}finie par: 
\begin{equation*}
f(x)=\left \{ 
\begin{array}{ll}
2x\quad \text{si}\quad x\in \lbrack 0;1] &  \\ 
0\quad \text{sinon} & 
\end{array}%
\right.
\end{equation*}%
Le joueur gagne si la distance la plus proche du centre O se trouve \`{a}
une distance inf\'{e}rieure \`{a} $\dfrac{1}{5}$ de ce centre. Enfin, on
note $M$ la variable al\'{e}atoire repr\'{e}sentant la plus petite des trois
distances $X_{1},X_{2},X_{3}$.

\begin{enumerate}
\item V\'{e}rifier que $f$ est une densit\'{e} de probabilit\'{e} et d\'{e}%
terminer la fonction de r\'{e}partition $F$ de $X_i$.

\item D\'{e}terminer l'esp\'{e}rance de $X_i$.

\item Exprimer l'\'{e}v\'{e}nement $[M>t]$ \`{a} l'aide des \'{e}v\'{e}%
nements $[X_1>t], [X_2>t], [X_3>t]$ pour tout r\'{e}el $t$.

\item D\'{e}terminer la fonction de r\'{e}partition $F_M$ de $M$ et montrer
que $M$ est une variable \`{a} densit\'{e} et en donner une densit\'{e} not%
\'{e}e $f_M$.

\item Quelle est la probabilit\'{e} de l'\'{e}v\'{e}nement $G=$"le joueur
gagne la partie"?\newline
\end{enumerate}
\end{exo}

\end{document}
