\input{../preambules/preexo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Remplir pour chaque nouvelle feuille
\chead{Feuille d'exercice 23}
\rhead{2020-2021}
\lfoot{}
\cfoot{Applications linéaires}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Copier/coller ces deux lignes
%\end{multicols}
%\end{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Début des exercices.

\begin{exo}[Montrer qu'une application est linéaire]
Montrer que les applications suivantes sont linéaires
\begin{qmulti}{2}
\item $f_1 : \begin{array}{ccc}
\mathcal{M}_{2,1}(\R) & \longrightarrow & \mathcal{M}_{3,1}(\R) \\
\vect{x}{y}{} & \longmapsto & \vect{-x+2y}{2y - x}{x+3y}
\end{array}$
\item $f_2 : \begin{array}{ccc}
\mathcal{M}_{3,1}(\R) & \longrightarrow & \R \\
\vect{x}{y}{z} & \longmapsto & -x + y + z
\end{array}$
\end{qmulti}
\end{exo}

\begin{exo}[Montrer qu'on a un endomorphisme]
Montrer que les applications suivantes sont des endomorphismes d'un espace vectoriel que l'on précisera.
\begin{qmulti}{2}
\item $g_1 : \begin{array}{ccc}
\mathcal{M}_{2,1}(\R) & \longrightarrow & \mathcal{M}_{2,1}(\R) \\
\vect{x}{y}{} & \longmapsto & \vect{-x}{y - x}{}
\end{array}$
\item $g_2 : \begin{array}{ccc}
\mathcal{M}_{3,1}(\R) & \longrightarrow & \M_{3,1}(\R) \\
\vect{x}{y}{z} & \longmapsto & \vect{x-y}{y-z}{z-x}
\end{array}$
\end{qmulti}
\end{exo}

\begin{exo}[Déterminer la matrice associée]
Déterminer les matrices associées aux applications $f_1$, $f_2$, $g_1$ et $g_2$ des exercices précédents. 
\end{exo}

\begin{exo}[Déterminer le noyau d'une application linéaire]
Soit $f$ l'application de $\M_{2,1}(\R)$ dans $\M_{2,1}(\R)$ définie par :
$$
f : \begin{array}{ccc}
\vect{x_1}{x_2}{} & \longmapsto & \vect{x_1 + x_2}{2x_1 + 2x_2}{}
\end{array}
$$
Déterminer $Ker(f)$.
\end{exo}

\begin{exo}[Déterminer que l'on a un EV]
Montrer que l'application suivante est linéaire.
$$
f : \begin{array}{ccc}
\mathcal{M}_{3,1}(\R) & \longrightarrow & \R \\
\vect{x_1}{x_2}{x_3} & \longmapsto & x_1 - 2x_2 + x_3
\end{array}
$$
En déduire que l'espace $E = \{ x_1 - 2x_2 + x_3 = 0, \forall (x_1, x_2 ,x_3) \in \R^3 \}$ est un espace vectoriel
\end{exo}

\begin{exo}[Déterminer l'image d'une application linéaire]
Soit $f$ l'application de $\M_{2,1}(\R)$ dans $\M_{2,1}(\R)$ définie par :
$$
f : \begin{array}{ccc}
\vect{x_1}{x_2}{} & \longmapsto & \vect{x_1 + x_2}{2x_1 + 2x_2}{}
\end{array}
$$
Déterminer $Im(f)$.
\end{exo}


%\vspace{200pt}
%%% Exercices d'approfondissement
\renewcommand\bcStyleTitre[1]{\hspace{10pt}\itshape \Large \color{black} #1}
\setlength{\logowidth}{13pt}
\begin{bclogo}[couleur=white,couleurBord=white,arrondi=0.2, logo = \bcplume]{Montrer qu'une application est linéaire}
\end{bclogo} 
\vspace{-13pt}

\begin{exo}
Les applications suivantes sont-elles linéaires ? Déterminer $Ker(f)$ puis $Im(f)$ lorsqu'elles le sont. 
\begin{qmulti}{2}
\item $f_1 : \begin{array}{ccc}
\mathcal{M}_{2,1}(\R) & \longrightarrow & \mathcal{M}_{2,1}(\R) \\
\vect{x}{y}{} & \longmapsto & \vect{4x-6y}{2x - 3y}{}
\end{array}$
\item $f_2 : \begin{array}{ccc}
\mathcal{M}_{4,1}(\R) & \longrightarrow & \mathcal{M}_{3,1}(\R) \\
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3 \\
x_4 
\end{pmatrix} & \longmapsto & \vect{x_1 - x_2 + x_3 + x_4}{x_1 + 2 x_2 - x_4}{x_1 + x_2 + 3 x_3 - 3 x_4}
\end{array}$
\end{qmulti}
\end{exo}

\newpage
\begin{exo}[*]
Les applications suivantes sont-elles linéaires ? Déterminer $Ker(f)$ puis $Im(f)$ lorsqu'elles le sont. 
\begin{qmulti}{2}
\item $f_3 : \begin{array}{ccc}
\mathcal{M}_{3,1}(\R) & \longrightarrow & \mathcal{M}_{3,1}(\R) \\
\vect{x}{y}{z} & \longmapsto & \vect{x + y + z}{x + y + z}{x+y+ z}
\end{array}$
\item $f_4 : \begin{array}{ccc}
\mathcal{M}_{3,1}(\R) & \longrightarrow & \mathcal{M}_{3,1}(\R) \\
\vect{x}{y}{z} & \longmapsto & \vect{x+y - z}{2x + y - 3z}{3x + 2y - 4z} 
\end{array}$
\end{qmulti}
\end{exo}

\begin{exo}[**]
Soit $A$ une matrice de $\M_3(\R)$. On considère l'application $\Phi$ définie par 
$$
\Phi : \begin{array}{ccc}
\mathcal{M}_{3,1}(\R) & \longrightarrow & \mathcal{M}_{3,1}(\R) \\
X & \longmapsto & AX
\end{array}
$$
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\Phi$ est une application linéaire
\item Montrer que : $Ker (\Phi) = \{ 0 \} \Longleftrightarrow A$ est inversible.
\end{enumerate}
\end{exo}


\end{document}
