\input{../preambules/preexo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Remplir pour chaque nouvelle feuille
\chead{Feuille d'exercice 22}
\rhead{2020-2021}
\lfoot{}
\cfoot{Intégrales impropres}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Copier/coller ces deux lignes
%\end{multicols}
%\end{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Début des exercices.

\begin{exo}[Fonctions définies par une intégrale. ]
On considère la fonction définie pour tout $x \in [1; + \infty[$ par 
\[ 
F: x \to \int_1^x \dfrac{1}{t^2}dt
\]
\begin{enumerate}
\item Déterminer $F(x)$ pour tout $x \in [1; + \infty[$. 
\item Calculer $\li_{x \to + \infty} F(x)$. 
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Intégrales impropres (1)]
Déterminer si les intégrales suivantes sont convergentes et calculer leur valeur quand c'est possible. 
\begin{qmulti}{3}
\item $\displaystyle \int_0^{+\infty} e^{-t} dt.$
\item $ \displaystyle \int_0^{+ \infty} t^2 dt.$
\item $\displaystyle \int_1^{+\infty} \ln(t) dt. $
\end{qmulti}
\end{exo}

\begin{exo}[Intégrales impropres (2)]
Déterminer si les intégrales suivantes sont convergentes et calculer leur valeur quand c'est possible. 
\begin{qmulti}{3}
\item $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} te^{-\frac{t^2}{2}} dt.$
\item $ \displaystyle \int_0^{+ \infty} \dfrac{1}{t^2} dt.$
\item $\displaystyle \int_0^{+\infty} \dfrac{1}{t} dt. $
\end{qmulti}
\end{exo}


\begin{exo}[Intégrale de Riemann (1)]
Démontrer que la fonction $f : t \to \dfrac{1}{t^{\alpha}}$ est intégrable sur $[1;+\infty[$ si et seulement si $\alpha >1$. Dans ce cas
\[ \int_1^{+\infty} \dfrac{1}{t^{\alpha}} = \dfrac{1}{\alpha - 1} \]
\end{exo}

\begin{exo}[Intégrale de Riemann (2)]
Démontrer que la fonction $f : t \to \dfrac{1}{t^{\alpha}}$ est intégrable sur $]0;1]$ si et seulement si $\alpha <1$. Dans ce cas
\[ \int_0^{1} \dfrac{1}{t^{\alpha}} dt = \dfrac{1}{1 - \alpha} \]
\end{exo}

\begin{exo}[Intégrale exponentielle]
Démontrer que la fonction $f : t \to e^{-\alpha t}$ est intégrable sur $[0;+\infty]$ si et seulement si $\alpha > 0$. Dans ce cas
\[ \int_0^{+\infty} e^{- \alpha t} dt = \dfrac{1}{\alpha} \]
\end{exo}

\begin{exo}[Intégrale ln]
Démontrer que la fonction $f : t \to \ln(t)$ est intégrable sur $]0;1]$ et on a 
\[ \int_0^{1} \ln(t) dt = -1 \]
\end{exo}

\begin{exo}[Gaussienne]
Soit $\sigma \neq 0$, à l'aide d'un changement de variable, montrer que l'intégrale 
$$ \int_{- \infty}^{+\infty} e^{-\frac{x^2}{\sigma^2}} dx$$ est convergente et calculer sa somme. 
\end{exo}

\begin{exo}[Linéarité]
\begin{enumerate}
\item Démontrer que 
$$\int_1^{+ \infty} \dfrac{1}{t^2} + \dfrac{4}{t^3} dt$$ est convergente et donner sa valeur. 
\item \begin{enumerate}
\item Montrer que \[\forall t>0, \;\frac{1}{t(t+1)}=\frac{1}{t}-\frac{1}{t+1}  \]
\item Montrer la convergence de l'int\'egrale
\[ \int_1^{+\infty}\frac{dt}{t(t+1)} . \]
\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\end{exo}

\begin{exo}[Comparaison]
Montrer que les intégrales suivantes sont convergentes par comparaison
\begin{qmulti}{3}
\item $\displaystyle \int_1^{+\infty} \dfrac{1}{t+t^2} dt . $
\item $\displaystyle \int_0^{+\infty} \dfrac{x}{(1+x^3)} dx . $
\item $\displaystyle \int_0^{1} ln(t)^4 dt . $
\end{qmulti} 
\end{exo}

\begin{exo}[Intégrabilité]
Montrer que l'intégrale
\[
\int_{-\infty}^{+\infty} xe^{-x^2} dx
\]
est absolument convergente. 
\end{exo}

\savoir{\'Etudier la nature et calculer la valeur d'une intégrale généralisée.}
\label{\'Etudier la nature et calculer la valeur d'une intégrale généralisée.}

\begin{exo}%%% Nouvel exercice pour la rédaction. 
Étudier la nature des intégrales suivantes et donner leurs valeurs le cas échéant : 

\begin{qmulti}{3}
\item $\ds \int_{1}^{+ \infty} \frac{dt}{\sqrt{t}} \cdot$
\item $\ds \int_{e}^{+\infty} \frac{\ln(t)}{t} \, dt.$
\item $\ds \int_{0}^{+ \infty} t^2 e^{-t} \, dt$.
\end{qmulti}
\end{exo}

\begin{exo}[*]
Soit $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x) = \ln \left( \dfrac{e^x-1}{e^x+1} \right)$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$ sur $]0;+\infty[$.
\item En déduire la convergence et la valeur de $\displaystyle \int_1^{+ \infty} \dfrac{1}{e^t - e^{-t}}dt$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[**]
Montrer que grâce à une intégration par parties, l'intégrale
$$ \int_0^{+\infty} t^3 e^{-t^2} dt $$ converge et donner sa
valeur.
\end{exo}

\savoir{\'Etudier la nature et calculer la valeur d'une double intégrale généralisée.}
\label{\'Etudier la nature et calculer la valeur d'une double intégrale généralisée.}

\begin{exo}
Étudier la nature des intégrales suivantes et donner leurs valeurs le cas échéant : 

\begin{qmulti}{2}
\item $I= \dis \int_{-\infty}^{+ \infty} \frac{t}{1+t^2} \, dt$
\item $J= \dis \int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{e^{2t}}{(e^{2t}+1)^2} \, dt$
\end{qmulti}
\end{exo}

\begin{exo}[*]
\begin{enumerate}
\item Montrer que l'intégrale $\dis \int_{0}^{+ \infty} \frac{te^t}{(1+e^t)^2} \, dt$ converge et vaut $\ln(2)$.
\item En déduire la convergence et la valeur de $\dis \int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{te^t}{(1+e^t)^2} \, dt$

\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[**]

Soit $f$ une fonction continue sur $\mathbb{R}$. 

\begin{enumerate}
\item On suppose que $f$ est paire. Montrer que si $\dis \int_{0}^{+ \infty} f(t) \,dt$ converge alors $\dis \int_{- \infty}^{ + \infty} f(t) \,dt$ aussi et que l'on a 
\[ \int_{- \infty}^{ + \infty} f(t) \,dt = 2 \int_{0}^{ + \infty} f(t) \,dt \]
\item On suppose que $f$ est impaire. Montrer que si $\dis \int_{0}^{+ \infty} f(t) \,dt$ converge alors $\dis \int_{- \infty}^{ + \infty} f(t) \,dt$ aussi et que l'on a 
\[ \int_{- \infty}^{ + \infty} f(t) \,dt = 0 \]
\end{enumerate}
\end{exo}

\savoir{\'Etudier la nature d'une intégrale généralisée par comparaison.}
\label{\'Etudier la nature d'une intégrale généralisée par comparaison.}

\begin{exo}
\begin{enumerate}
\item Montrer que 
$$ \forall t \in \R, \quad \dfrac{1}{1+t^2}  \leq \dfrac{1}{t^2} .$$
\item Quelle est la nature de $\displaystyle \int_1^{+ \infty} \dfrac{1}{1+t^2}dt$.
\item En déduire la nature de $\displaystyle \int_{-\infty}^{-1} \dfrac{1}{1+t^2}dt$.
\item Quelle est la nature de $\displaystyle \int_{-\infty}^{+ \infty} \dfrac{1}{1+t^2}dt$ ?
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[*]
Pour tout $a > 0$, et pour tout entier $n$, on note
$$
I_n(a)= \int_0^a t^n e^{-t}dt \quad \text{et} \quad I_n = \int_0^{+\infty} t^n e^{-t}dt
$$
L'objectif du problème est de montrer que les intégrales $I_n$ existent et calculer leur valeur.
\begin{enumerate}
\item Calculer $I_0(a)$, puis déterminer la valeur de $I_0$. 
\item Trouver une relation de récurrence entre $I_{n+1}(a)$ et $I_n(a)$. 
\item Démontrer que l'intégrale $I_n$ converge.
\item \'Ecrire la relation liant $I_n$ et $I_{n+1}$. Déterminer alors la valeur de $I_n$ en fonction de $n$. 
\end{enumerate}
\end{exo}

%%% Sujets de concours
\renewcommand\bcStyleTitre[1]{\hspace{10pt}\itshape \Large \color{black} #1}
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\begin{bclogo}[couleur=white,couleurBord=white,arrondi=0.2, logo = \bcplume]{ Sujets de concours}
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\vspace{-13pt}

\begin{exo}[Edhec 2004]
Le but de cet exercice est de calculer $\displaystyle
\lim_{n\rightarrow +\infty }\int_{0}^{+\infty }\frac{1}{1+t+t^{n}}dt$.

Pour tout $n$ de $\Bbb{N}$, on pose $\displaystyle
u_{n}=\int_{0}^{1}\frac{1}{1+t+t^{n}}dt$ et on a, en particulier, $%
\displaystyle
u_{0}=\int_{0}^{1}\frac{1}{2+t}dt$

\begin{enumerate}
\item  Pour tout $n$ de $\Bbb{N}$, justifier lexistence de $u_{n}$.

\item  Calculer $u_{0}$ et $u_{1}$.

\item 
\begin{enumerate}
\item  Montrer que la suite $\left( u_{n}\right) $ est croissante.

\item  Montrer que : $\forall n\in \Bbb{N},\;u_{n}\le \ln \left( 2\right) $

\item  En d\'{e}duire que la suite $\left( u_{n}\right) $ est convergente.
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item  Pour tout $n$ de $\Bbb{N}$, \'{e}crire $\ln \left( 2\right) -u_{n}$
sous la forme dune int\'{e}grale.

\item  En d\'{e}duire que : $\forall n\in \Bbb{N}$,\ $\displaystyle
\ln \left( 2\right) -u_{n}\le \frac{1}{n+1}$

\item  Donner la limite de la suite $\left( u_{n}\right) $
\end{enumerate}

\item  Pour tout entier naturel $n$ sup\'{e}rieur ou \'{e}gal \`{a} 2, on
pose $v_{n}=\displaystyle\int_{1}^{+\infty }\frac{1}{1+t+t^{n}}dt$.

\begin{enumerate}
\item  Justifier la convergence de l'int\'{e}grale d\'{e}finissant $v_{n}$.

\item  Montrer que : $\displaystyle
\forall n\ge 2,\;0\le v_{n}\le \frac{1}{n-1}$

\item  En d\'{e}duire $\displaystyle
\lim_{n\rightarrow +\infty }v_{n},$ puis donner la valeur de $\displaystyle
\lim_{n\rightarrow +\infty }\int_{0}^{+\infty }\frac{1}{1+t+t^{n}}dt$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exo}

\end{document}
