\input{../preambules/preexo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Remplir pour chaque nouvelle feuille
\chead{Feuille d'exercice 21}
\rhead{2020-2021}
\lfoot{}
\cfoot{Convexité - \'Etude de fonctions}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Copier/coller ces deux lignes
%\end{multicols}
%\end{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Début des exercices.

\begin{exo}[Dérivées secondes]
Montrer que les fonctions suivantes admettent une dérivées seconde sur $\R_+^*$ et calculer :
\begin{qmulti}{3}
\item $x \to x^2 +1$
\item $x \to e^x$
\item $x \to \ln(x)$
\end{qmulti}
\end{exo}
%
\begin{exo}[Fonctions $\mathcal{C}^{\infty}$]
Montrer que les fonctions $x \to e^x $ et $x \to x^3 + 3x$ sont de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur $\R$. 
\end{exo}

\begin{exo}[Fonctions de classe $\mathcal{C}^1$]
Soit $g\::\: x\longmapsto\frac{1}{2}x\left|x\right|$. Montrer que $g$ est de classe $C^{1}$ sur $\mathbb{R}$ mais pas de classe $C^{2}$ sur $\mathbb{R}$. 
\end{exo}

\begin{exo}[Convexité]
\begin{enumerate}
\item Montrer que la fonction exponentielle est convexe.
\item Déterminer l'équation de la tangente à la courbe représentative de
la fonction exponentielle au point d'abscisse 0
\item En déduire que, $\forall x\in$ $\mathbb{R}$ , $e^{x}  \geqslant 1+x$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Concavité]
Procéder de la même manière pour prouver que $\forall x>-1, \ln(1+x)\leq x$.
\end{exo}

\begin{exo}[Point d'inflexion]
Montrer que la courbe du polynôme $P$ défini par
$P(x)=x^{4}-8x^{3}+18x^{2}+7x-5$ admet deux 
points d'inflexions dont on précisera l'abscisse.
\end{exo}

%
\label{\'Etudier la régularité d'une fonction}
\savoir{\'Etudier la régularité d'une fonction}

%%% Exercices d'approfondissement

\begin{exo}[*]
On considère la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = \ln \left( \dfrac{e^x - 1}{x} \right)$ si $x \neq 0$ et $f(0) = 0$. 
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est continue sur $\R$. 
\item Justifier que $f$ est $\mathcal{C}^1$ sur $\R^*$ et calculer $f'(x)$ lorsque $x \neq 0$. 
\item Démontrer que $\li_{x \to 0} f'(x) = \dfrac{1}{2}$. En déduire que $f$ est $\mathcal{C}^1$ sur $\R$ et la valeur de $f'(0)$. 
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[**]
Soit $f$ la fonction définie sur $\R \setminus \{ -1 \}$ par $f(x) = \dfrac{1}{1+x}$. 
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout $n \in \N$, $f$ est de classe $\mathcal{C}^n$ sur $\R \setminus \{ -1 \}$ et 
$$
\forall x \in \R \setminus \{ -1 \} \; f^{(n)} (x) \frac{(-1)^n n!}{(x+1)^{n+1}}
$$
\item Calculer la dérivée $n$-ème de la fonction $f$ définie sur $]-1; + \infty[$ par $f(x) = \ln(1+x)$. 
\end{enumerate}
\end{exo}

\label{\'Etudier la convexité des fonctions}
\savoir{\'Etudier la convexité des fonctions}

\begin{exo}
\'Etudier la convexité des fonctions :
\begin{qmulti}{2}
\item $f : x \to e^{\frac{1}{x}}$
\item $g : x \to (x+1)^{x+1}$. 
\end{qmulti}
\end{exo}

\begin{exo}[*]
Soit $f$ définie sur $\R \setminus \{ 1 \}$ par $f(x) = \dfrac{x^2 (x-3)}{(x-1)^3}$.
Montrer que $\mathscr{C}_f$ admet un point d'inflexion. 
\end{exo}

\begin{exo}[*]
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = \dfrac{e^x - 1}{e^x +1}$. 
\begin{enumerate}
\item Justifier que $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\R$ et expliciter $f'$. 
\item Dresser le tableau de variation de $f$ avec ses limites.
\item Sur quels intervalles la fonction $f$ est-elle convexe ? concave ? Déterminer les points d'inflexion de $f$. 
\item Tracer dans un repère orthonormé $\mathscr{C}_f$, ainsi que la tangente au point d'inflexion.
\end{enumerate}
\end{exo}





\newpage
%%% Sujets de concours
\renewcommand\bcStyleTitre[1]{\hspace{10pt}\itshape \Large \color{black} #1}
\setlength{\logowidth}{13pt}
\begin{bclogo}[couleur=white,couleurBord=white,arrondi=0.2, logo = \bcplume]{ Sujets de concours}
\end{bclogo} 
\vspace{-13pt}

\begin{exo}[EML 2012]

On considère l'application $f:\left[  0;+\infty\right[  \rightarrow\mathbb{R}%
$  définie, pour tout $t\in\left[  0;+\infty\right[  $ par :
\[
f\left(  t\right)  =\left\{
\begin{array}
[c]{cc}%
t\ln\left(  t\right)  & \text{si }t\neq0\\
0 & \text{si }t=0
\end{array}
\right.
\]


\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est continue sur $\left[  0;+\infty\right[  $.

\item Montrer que $f$ est de classe $C^{1}$ sur $\left]  0;+\infty\right[  $
et calculer $f^{\prime}\left(  t\right)  $ pour tout $t\in\left]
0;+\infty\right[  $.

\item Dresser le tableau des variations de $f$. On précisera la limite de $f$
en $+\infty$.

\item Montrer que $f$ est convexe sur $\left]  0;+\infty\right[  $.

\item On note $\Gamma$ la courbe représentative de $f$ dans un repère
orthonormal $\left(  O,\vec{i},\vec{j}\right)  $

\begin{enumerate}
\item Montrer que $\Gamma$ admet une demi-tangente en $O$ et préciser celle-ci.

\item Déterminer les points d'intersection de $\Gamma$ et, de l'axe des abscisses.

\item Préciser la nature de la branche infinie de $\Gamma$.

\item Tracer l'allure de $\Gamma$. On admet : $0,36\leq e^{-1}<0,37.$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{exo}

\begin{exo}[EML 2014]
On considère la fonction $\varphi$ définie sur $]0;+\infty[$ par $\varphi(x) = e^x-xe^{\frac{1}{x}}$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\varphi$ est de classe $C^3$ sur $]0;+\infty[$, calculer, pour tout $x$ de $]0;+\infty[$, $ \varphi'(x)$ et $\varphi''(x)$ et montrer : $\forall x\in ]0;+\infty[, \varphi'''(x)=e^x+\dfrac{3x+1}{x^5}e^{\frac{1}{x}}$.
\item Etudier le sens de variation de $\varphi''$ et calculer $\varphi''(1)$.\\
En déduire le sens de variation de $\varphi'$, et montrer : $\forall x\in ]0;+\infty[, \varphi'(x)\geqslant e$.
\item Déterminer les limites de $\varphi$ en 0 et en $+\infty$.
\item On admet : $15<\varphi(3)<16$. Montrer : $\forall x\in[3;+\infty[, \varphi(x)\geqslant ex$.\\
On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $\varphi$.
\item Montrer que  $\mathcal{C}$ admet un unique point d'inflexion, déterminer les coordonnées de celui-ci et l'équation de la tangente en ce point.
    \item Dresser le tableau de variations de $\varphi$, avec les limites en 0, en $+\infty$ et la valeur en 1.
        Tracer l'allure de $\mathcal{C}$ et faire apparaître la tangente au point d'inflexion.\\
        On précisera la nature de la branche infinie au voisinage de 0.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[ECRICOME 2006]

On consid\`{e}re la fonction $f$ d\'{e}finie pour tout r\'{e}el $x$ par : 
\begin{equation*}
f\left( x\right) =x+1+2e^{x}
\end{equation*} 

\subsection*{\'Etude de $f.$}

\begin{enumerate}
\item Etudier les variations de $f$ et donner les limites de $f$ en $+\infty $ et $-\infty $.

\item D\'{e}duire des variations de $f$ l'existence d'un unique r\'{e}el $%
\alpha $, \'{e}l\'{e}ment de l'intervalle $\left[ -2,-1\right] $ tel que $%
f\left( \alpha \right) =0$. ( on rappelle que $e\simeq 2,7$ )
\end{enumerate}

\subsection*{Etude d'une suite r\'{e}elle.}

On s'int\'{e}resse \`{a} la suite $\left( u_{n}\right) _{n\in \mathbb{N}}$ d%
\'{e}finie par son premier terme $u_{0}=-1$ et par la relation 
\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N\quad }u_{n+1}=u_{n}-\frac{f\left( u_{n}\right) }{%
f^{\prime }\left( u_{n}\right) } 
\end{equation*}

\begin{enumerate}
\item Prouver que $f$ est convexe sur $\mathbb{R}$. En d\'{e}duire que que
pour tous r\'{e}els $x$ et $t$ :

\begin{equation*}
f\left( x\right) +\left( t-x\right) f^{\prime }\left( x\right) \le f\left(
t\right) 
\end{equation*}

\item En d\'{e}duire l'in\'{e}galit\'{e} suivante : $\forall n\in \mathbb{N }\quad \alpha \le u_{n+1} $. \\
Puis que pour tout entier naturel $n$. : $\alpha \le u_{n+1}\le u_{n}\le -1 $.\\
En d\'{e}duire que la suite $\left( u_{n}\right) _{n\in \mathbb{N}}$ est
convergente vers un r\'{e}el \`{a} pr\'{e}ciser

\item On admet que pour tout $x$ de l'intervalle$\left[ -2,-1\right] :$%
\begin{equation*}
0\le \left( x-\alpha \right) f^{\prime }\left( x\right) -f\left( x\right)
\le \frac{\left( x-\alpha \right) ^{2}}{e} 
\end{equation*}

\begin{enumerate}
\item Prouver alors que pour tout entier naturel $n$ : 
\begin{equation*}
0\le u_{n+1}-\alpha \le \frac{\left( u_{n}-\alpha \right) ^{2}}{e} 
\end{equation*}

\item Puis d\'{e}montrer par r\'{e}currence que pour tout entier naturel $n$
:

\begin{equation*}
0\le u_{n}-\alpha \le \frac{1}{e^{2^{n}-1}} 
\end{equation*}
\end{enumerate}

\item \'{E}crire un programme en langage Scilab permettant, lorsque l'entier
naturel $p$ est donn\'{e} par l'utilisateur, de calculer une valeur approch%
\'{e}e de $\alpha $, de telle sorte que l'on ait : 
\begin{equation*}
0\leq u_{n}-\alpha \leq 10^{-p}
\end{equation*}
\end{enumerate}
\end{exo}

\end{document}
