\input{../preambules/preexo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Remplir pour chaque nouvelle feuille
\chead{Feuille d'exercice 20}
\rhead{2020-2021}
\lfoot{}
\cfoot{Variable aléatoire}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Copier/coller ces deux lignes
%\end{multicols}
%\end{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Début des exercices.
\begin{exo}[Introduction aux variables aléatoires ]
On lance une pièce de monnaie (probabilité d'obtenir pile $p$) jusqu'à obtenir pile. On note $X$ le numéro du premier lancer qui donne pile. 

\begin{enumerate}
\item
Déterminer $\Omega$ l'univers de l'expérience aléatoire. 

Pour $k \in \N$, on introduit les évènements $A_k$ "le premier pile est obtenu au $k-$ième lancer" et $P_k$ "on a obtenu pile au $k$-ième lancer".
\item
Déterminer, $P(A_1),P(A_2),P(A_k)$.
\item On note l'évènement $A$ : "On obtient au moins un pile". Décrire l'évènement $A$ en fonction des $A_k$ et calculer $P(A)$. 
\item
Quel est l'ensemble de départ et d'arrivée de $X$ ? 
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Expressions de variables aléatoires]
On reprend l'énnoncé de l'exercice 1. Exprimer les événements $(X=1),(X=2),(X=k),(X<3),(X\leq n),(X>n)$ en Français puis en fonction des événements $(A_i,i\geq 1)$.Calculer leurs probabilités.  
\end{exo}

\begin{exo}[Lancer de dé]
On lance deux dés. On note $X$ la VA qui note la valeur du premier dé et 
$Y$ la VA qui note la valeur du deuxième dé. Soit $Z=\max(X,Y)$. 
Que vaut $Z(\Omega)?$. Déterminer $P(Z=i)$.
\end{exo}

\begin{exo}[Expression de la FPT]
On reprend l'énoncé de l'exercice 1. 
\begin{enumerate}
\item \'Ecrire le système complet d'évènement associé à $X$. 
\item On note $Y$ la variable aléatoire associée au rang d'apparition du deuxième pile. 
\begin{enumerate}
\item Déterminer $P_{X = k}(Y=n)$ si $k \geq n$. 
\item Si $k<n$, montrer que $P_{X=k}(Y=n) = (1-p)^{n-k-1}p$. 
\item Calculer $P(Y = n)$ pour tout $n \in \N$.
\end{enumerate}
\item Vérifier que $\sum\limits_{n =1}^{+ \infty} P(Y = n) = 1$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[VA $X^2$]
On tire un dé à 6 faces on note $X$ le résultat. On considère $Y=X^2$.
\begin{enumerate}
\item
Que vaut $g$ telle que $Y=g(X)$ ?
\item
Que vaut $Y(\Omega)$ ?
\item
Que vaut $P(Y=k)$ pour $k\in Y(\Omega)$ ?
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Lois de VA]
\begin{enumerate}
\item Dans le premier exercice, déterminer la loi de $X$ du premier pile obtenu. 
\item On lance une pièce équilibrée une fois. On note $X$ le nombre de
piles. Donner la loi de $X$. 
\item On tire un dé et on note $X$ sa valeur. Donner la loi de $X$ et de $X^2$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Fonction de répartition]
\label{exo esp}
soit $X$ une variable aléatoire dont voici la loi
de probabilité 

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline 
\rule[-1.5ex]{0pt}{4ex} $x_{i}$ & $-3$ & $2$ & $5$ & $10$\tabularnewline
\hline  
\rule[-2.25ex]{0pt}{6ex} $P(X=x_{i})$ & $\dfrac{1}{2}$ & $\dfrac{3}{10}$ & $\dfrac{1}{10}$ & $\dfrac{1}{10}$\tabularnewline
\hline 
\end{tabular}
\par\end{center}
\begin{enumerate}
\item Déterminer la fonction de répartition $F_{X}$ de la variable \emph{X}
.
\item Représenter graphiquement $F_{X}.$ Que remarque-t-on?
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Fonction de répartition]
Un sac contient 5 boules numérotées de 1 à 5. On tire deux boules avec remise : on note $X_{1}$, le numéro de la première boule , $X_{2}$ celui de la deuxième boule. Soit \emph{Y}
le plus grand des 2 : $Y=\max(X_{1},X_{2})$.On veut déterminer la
loi de \emph{Y}.
\begin{enumerate}
\item Déterminer $Y(\Omega).$
\item Décrire par une phrase les évènements $\left[Y\leq2\right]$ et $\left[Y=2\right]$ 
\item Justifier que la fonction de répartition $F$ de \emph{Y} est telle
que,$\forall k\in\left\{ 1,...,5\right\} $, $F(k)=\left(\dfrac{k}{5}\right)^{2}$
\item En déduire la loi de $Y.$
\item Vérifier que ${\displaystyle \sum_{k=1}^{5}P(Y=k)=1}$
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Calcul d'espérance]
\begin{enumerate}
\item Calculer l'espérance de la variable aléatoire $X$ de l'exercice \ref{exo esp}

\item On considère $X$ la variable aléatoire qui indique le premier succès dans une expérience de pile ou face. Déterminez $X(\Omega)$ puis la loi de $X$. $X$ admet-elle une espérance ? Si oui calculez-là. 
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Variable aléatoire centrée]
montrer que si $X$ est une variable aléatoire
admettant une espérance $E(X)$, alors la variable aléatoire $X-E(X)$
est une variable aléatoire  \textbf{centrée}
\end{exo}

\begin{exo}[Théorème de transfert]
Soit $X$ une variable aléatoire discrète telle
que $X(\Omega)=\mathbb{N}$ et 
\[
\forall k\in\mathbb{N},\; P(X=k)=\dfrac{e^{-1}}{k!}
\]
\begin{enumerate}
\item Montrer que l'on a bien défini une loi de probabilité de $X$. Calculer
$E(X)$.
\item On définit alors la variable aléatoire $Y=\dfrac{1}{1+X}$ .Montrer
que $Y$ admet une espérance et que 
$E(Y)=1-e^{-1}$ 
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Moments d'ordre r]
\label{exo k2}
 Soit $X$ une VA telle que $\forall k \in \N$ $P(X=k)=\frac{a}{3^k}$ pour $a\in\R$.
\begin{enumerate}
\item Pour quelle valeur de $a$ cela définit bien une loi de probabilité pour $X$ ?
\item $X$ admet-elle un moment d'ordre 1, d'ordre 2 ? Si oui calculer-le.  
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Loi centrée réduite]
Soit $X$ une variable aléatoire admettant une \textbf{variance
non nulle. }Montrer que la variable aléatoire $X^{*}=\dfrac{X-E(X)}{\sigma(X)}$
est une variable aléatoire discrète centrée réduite
\end{exo}

\begin{exo}[Loi géométrique]
Une entreprise appelle des clients potentiels afin
de leur vendre des volets roulants. On estime qu'environ 2\% des clients potentiels achèteront effectivement
le produit proposé. On note \emph{X} la variable aléatoire égale au rang d'appel du premier
client potentiel qui achètera effectivement le produit.
\begin{enumerate}
\item Donner la loi de $X$ 
\item Quelle est la probabilité que l'on obtienne le premier acquéreur après
1 appel ? 3 appels ?
\item Quelle est la probabilité que l'on obtienne le premier acquéreur en
moins de 4 appels ?
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Loi de poisson]
Soit $X$ suivant une loi de Poisson de paramètre $\lambda \in \R_+^*$. Vérifiez que 
$$
\sum_{n = 0}^{+ \infty} P(X=n) = 1
$$
\end{exo}
\newpage
\savoir{Déterminer une loi de probabilité discrète}
\label{Déterminer une loi de probabilité discrète}

\begin{exo}
On note $X$ la variable aléatoire dont la loi est donnée par :
$$
\forall n \in \N^*, \quad P(X=n) = \dfrac{1}{n^2} - \dfrac{1}{(n+1)^2}
$$
\begin{enumerate}
\item Montrer que $X$ est bien une variable aléatoire (c'est à dire vérifier que $\ds \sum_{n=1}^{+\infty} P(X= n) = 1$. 
\item Montrer que $X$ possède une espérance et que $E(X) = \ds \sum_{k=1}^{+\infty} \dfrac{1}{k^2}$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[*]
Un sauteur essaye successivement les hauteurs $1$, $2$, $\ldots$, $n$, $\ldots$ jusqu'à ce qu'il échoue. Il a une probabilité $\dfrac{1}{n}$ de réussir son saut à la hauteur $n$. Soit $X$ la hauteur du dernier saut réussi. (Il finit toujours par échouer et les sauts sont indépendants).
\begin{enumerate}
\item Donnez $X(\Omega)$. Trouver la loi de $X$. Vérifier $\ds \sum_{k=1}^{+\infty} P(X=k) = 1$.
\item Calculer si possible, $E(X)$, $V(X)$. 
\end{enumerate} 
\end{exo}


\savoir{Calculer l'espérance et la variance}
\label{Calculer l'espérance et la variance}

\begin{exo}
Soit $X$ une variable aléatoire discrète d'espérance $m$ et de variance $\sigma^2$. Calculer $E(2X)$, $E((X-3)^2)$, $V(5X)$ et $V(3X+1)$. 
\end{exo}



\begin{exo}[*]
Une urne contient 2 boules blanches et $n-2$ boules rouges. On effectue des tirages sans remise de cette urne. On appelle $X$ le rang de sortie de la première boule blanche. $Y$ le nombre de boules rouges restant à ce moment dans l'urne. 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la loi de $X$ et son espérance
\item Exprimer $Y$ en fonction de $X$ et calculer $E(Y)$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\savoir{Loi géométrique et loi de Poisson}
\label{Loi géométrique et loi de Poisson}

\begin{exo}
Une urne contient des boules blanches et noires. On suppose que la probabilité de piocher une
blanche vaut $p \in ]0; 1[$ On effectue des tirages successifs avec remise. Soit $X_1$ la variable aléatoire égale au rang d'apparition de la première boule blanche.
\begin{enumerate}
\item Reconnaître la loi de $X_1$ et donner la valeur de $E(X_1)$ et de $V (X_1)$.
\item Soit $X_2$ la variable aléatoire égale au rang d'apparition de la deuxième boule blanche.
Déterminer la loi de $X_2$ ainsi que son espérance.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[*]
Un péage comporte 10 guichets numérotés de 1 à 10. Le nombre $N$ de voitures arrivant au péage en
une heure suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda > 0$. On suppose que les conducteurs choisissent leur file au hasard, indépendamment les uns des autres. On note $X_1$ le nombre de voitures arrivant au guichet 1 en une heure.
\begin{enumerate}
\item Donner $E(N)$ et interpréter la valeur $\lambda$.
\item Avec quelle probabilité une voiture arrivant au péage va-t-elle au guichet 1 ?
\item Calculer $P_{(N=n)}(X_1 = k)$ pour tout $k  \in \entier{0; n}$ puis pour $k > n$.
\item En utilisant la formule des probabilités totales, déterminer $P(X_1 = k)$.
\item Déduire la loi de $X_1$, son espérance et sa variance.
\end{enumerate}
\end{exo}


\begin{exo}[*]
Une usine produit tous les jours 100 000 bouteilles
plastiques. Environ 1 \% des bouteilles sont défectueuses. 1000 bouteilles
doivent être livrées à un client . On considère que ce prélèvement
dans le stock général est infime et donc que les évènements étudiés
sont indépendants. On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de bouteilles
défectueuses dans le lot livré au client
\begin{enumerate}
\item {} 

\begin{enumerate}
\item Donner la loi de $X$
\item Quelle est la probabilité d'avoir 5 bouteilles défectueuses dans le
lot ?
\item Quelle est la probabilité d'avoir moins de 3 bouteilles défectueuses
dans le lot ?
\end{enumerate}
\item Afin de simplifier les calculs, on décide d'approcher cette loi par
une loi de Poisson

\begin{enumerate}
\item Quel est le paramètre de la loi de Poisson ?
\item Quelle est la probabilité d'avoir 5 bouteilles défectueuses dans le
lot ?
\item Quelle est la probabilité d'avoir moins de 3 bouteilles défectueuses
dans le lot?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exo}

\vspace{-7pt}
%\begin{exo}
%Soit $p$ un réel de $]0,1[$. On suppose que la fonction de répartition $F$ d'une variable aléatoire $X$ à valeurs dans $\N^*$ vérifie : $\forall n \in \N^*$, $F(n) = 1 - (1-p)^n$. Donner la loi de $X$. 
%\end{exo}

\begin{exo}[**]
Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $0 < a < 1$ et $0 < b < 1$:
On effectue une suite d'expérience aléatoires consistant à jeter simultanément deux pièces de monnaie
notées $A$ et $B$: On suppose que ces expériences sont indépendantes et qu'à chaque expérience
les résultats des deux pièces sont indépendants. On suppose que, lors d'une expérience, la probabilité que $A$ donne "pile" est $a$; et que la probabilité que $B$ donne "pile" est $b$:
Soit $X$ le nombre d'expériences qu'il faut réaliser avant que $A$ donne "face" pour la première fois et $Y$ le nombre d'expériences qu'il faut réaliser avant que $B$ donne "face" pour la première fois.
\begin{enumerate}
\item  Quelles sont les lois de probabilités de $X$ et de $Y$ ? Calculer $E(X)$:
\item  Calculer la probabilité de l'évènement $(X = Y )$: Interprétation.
\item Trouver, pour $k \in \N$, la valeur de $P(X > k)$: En déduire les probabilités $P(X > Y )$ et
$P(X < Y )$: Interprétation.
\end{enumerate}
\end{exo}


\vspace{-12pt}


\savoir{Suite de variables aléatoires}
\label{\'Etude des suites de variables aléatoires}

\begin{exo}[*]
Une piste rectiligne infinie est divisée en cases numérotées $0,1,2,3,\ldots$
 de gauche à droite. Une puce se déplace vers la droite de une
ou deux cases au hasard à chaque saut.On suppose qu'elle a la même
probabilité de sauter de une ou de deux cases à chaque saut. Au départ,
elle est sur la case 0. Soit $X_{n}$ le numéro de la case occupée
par la puce après $n$ sauts et $Y_{n}$ le nombre de fois où la puce
a sauté d'une case au cours des $n$ premiers sauts
\begin{enumerate}
\item Donner la loi de $Y_{n},$ $E(Y_{n})$ et $V(Y_{n}).$ 
\item {}

\begin{enumerate}
\item Exprimer $X_{n}$ en fonction de $Y_{n}$ et $n.$ 
\item En déduire $E(X_{n})$ et $V(X_{n})$ puis la loi de $X_{n}$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[*]
Une urne contient initialement une boule blanche et une boule rouge.
On effectue dans cette urne des tirages successifs, au hasard. A chaque
tirage, on note la couleur de la boule tirée et on la remet dans l'urne
en ajoutant en plus une boule de la même couleur que celle qui vient
d'être tirée. Pour tout $n$ de $\mathbb{N}^{*}$ , on note $X_{n}$ la variable
aléatoire égale au nombre de boules blanches obtenues au cours des
$n$ premiers tirages. On note aussi $B_{n}$ (respectivement $R_{n}$) l'évènement: on
tire une boule blanche (respectivement rouge) au $n$-ième tirage{*}
\begin{enumerate}
\item Déterminer la loi de $X_{1}$ et la loi de $X_{2}$ 
\item Montrer par récurrence que, pour tout $n$ de $\mathbb{N}^{*}$, $X_{n}$
suit une loi uniforme sur $[\hspace{-0.15em}[0,n]\hspace{-0.13em}]$ \end{enumerate}
\end{exo}



\end{document}
