\input{../preambules/preexo.tex}
\chead{Feuille d'exercice n°2}

\begin{exo}[Fonctions composées]
Dans chaque cas, donner l'ensemble de définition et décrire à l'aide d'une formule les fonctions $u \circ v$ et $v \circ u$.
\begin{qmulti}{2}
\item $u : x \to x - 2 $ et $v : x \to \displaystyle \sqrt{x}$.
\item $u : x \to x^3 - 2x$ et $v : x \to \displaystyle \frac{1}{x}$. 
\end{qmulti} 
\end{exo}

\begin{exo}[Fonctions paires et impaires]
Déterminer la parité des fonctions suivantes.
\begin{qmulti}{3}
	\item $f : x \to \dfrac{1}{x^3 - 2x}$ 
	\item $g : x \to \sqrt{x-2}$ 
	\item $h : x \to \ln(x^2 -4) $.
\end{qmulti}
\end{exo}

\begin{exo}[Majorants et minorants]
Trouver si possible, un minorant et un majorant des fonctions suivantes sur $D$:
\begin{qmulti}{2}
\item $f: x \to x^2 + 1$, $D = [0,2]$.
\item $ g : x \to e^x$, $D = ]- \infty ; 0]$.
\end{qmulti}
\end{exo}

\begin{exo}
Résoudre dans $\R$ les inéquations suivante (démonstration directe)
\begin{qmulti}{2}
\item $\sqrt{e^{2x}} >4 $
\item $\dfrac{2}{e^x + 3} < 5$
\end{qmulti}
\end{exo}

\begin{exo}[Fonctions croissantes et décroissantes]
Déterminer la monotonie des fonctions suivantes.
\begin{qmulti}{2}
	\item $f : x \to \dfrac{1}{3} x^3 - 25x +3$ 
	\item $g : x \to x^2 + x - \ln(x+3)$ 
\end{qmulti}
\end{exo}

\begin{exo}[Équation de la tangente]
Dans chaque cas, déterminer l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse $a$.
\begin{qmulti}{2}
\item $f: x \to \ln(1 +x)$,\; $a=0$. 
\item $g: x \to e^{x^2 + 1}$, \; $a = 1$. 
\end{qmulti}
\end{exo}

\begin{exo}[Maximum et Minimum]
Déterminer les minimums et maximums des fonctions suivantes sur l'ensemble $D$. 
\begin{qmulti}{2}
\item $f: x \to \ln(1 +x^2)$,\; $D=[-2;4]$. 
\item $g: x \to x^3 +x^2 - x$, \; $D = [-2;1]$. 
\end{qmulti}
\end{exo}


\begin{exo}[Somme de limites]
Déterminer les limites suivantes.
\begin{qmulti}{3}
\item $\li_{x \to -\infty} x^2 - 3 $
\item $\li_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x} - 5 $	
\item $\li_{x \to +\infty} 3x^3 + x + 1 $
\end{qmulti}
\end{exo}

\begin{exo}[Produit de limites]
Déterminer les limites suivantes.
\begin{qmulti}{3}
\item $\li_{x \to - \infty} (x+3)(x-2) $
\item $\li_{x \tos 0} \dfrac{1+\ln(x)}{x^2}$
\item $\li_{x \to + \infty} 5(x+1)e^x$ 
\item $\li_{x \to + \infty} x\left(-2 + \dfrac{1}{x}\right) $ 
\item $\li_{x to -\infty} (x+2)e^{-x}$
\item $\li_{x \to + \infty} e^{2x}\left( 1 + e^{-x} \right)$
\end{qmulti}
\end{exo}

\begin{exo}[Quotient de limites]
Déterminer les limites suivantes.
\begin{qmulti}{3}
\item $ \li_{x \to 3} \dfrac{x-3}{2x}$ 
\item $ \li_{x \tos 1} \; \dfrac{-3x}{x-1}$ 
\item $ \li_{x \toi 1} \; \dfrac{-3x}{x-1}$ 
\item $ \li_{x \toi -2} \; \dfrac{-3x+4}{2+x}$ 
\item $ \li_{x \toi 3} \; \dfrac{1}{3-x}  $  
\item $ \li_{x \to 0} \dfrac{e^x}{\ln(x)}$ 
\end{qmulti}
\end{exo}

\begin{exo}[Composée de limites]
Déterminer les limites suivantes.
\begin{qmulti}{3}
\item $\li_{x \to - \infty} (x^2 - 1)^3 $ 
\item $\li_{x \tos 5} \dfrac{1}{(5-x)^2}$ 
\item $\li_{x \to - \infty} \sqrt{3-x}$ 
\item $\li_{x \toi 5} \dfrac{1}{(5-x)^2}$ 
\item $ \li_{x \toi -1} \ln(x^2 -1) $ 
\item $\li_{x \tos 2} \sqrt{\dfrac{-3}{(2-x)^5}}$ 
\end{qmulti}
\end{exo}


\label{Composer une fonction}
\savoir{Composer une fonction}

\begin{exo}
Dans chaque cas, donner l'ensemble de définition et décrire à l'aide d'une formule les fonctions $u \circ v$ et $v \circ u$.
\begin{qmulti}{2}
\item $u : x \to e^x $ et $v : x \to \displaystyle x^2 + 2x + 1$.
\item $u : x \to \ln(x)$ et $v : x \to \displaystyle \frac{1}{x}$. 
\end{qmulti} 
\end{exo}

\begin{exo}[*]
Déterminer $f$ et $u$ tel que la fonction s'écrive $f(u)$ et déterminer sa dérivée :
\begin{qmulti}{2}
\item $g_1 (x) = e^{x^2 + 3x +1}$ 
\item $g_2 (x) = \ln(x^2 +1 )$
\end{qmulti}
\end{exo}

\begin{exo}[**]
Soit une fonction $\Phi$ (Phi) telle que $\Phi'(x) = e^{-x^2/2}$. déterminer la dérivée de
\begin{qmulti}{2}
\item $g_1 (x) = \Phi (3x + 5)$ 
\item $g_2 (x) = \Phi(\sqrt{x})$
\end{qmulti}  
\end{exo}

\label{Déterminer la parité d'une fonction}
\savoir{Déterminer la parité d'une fonction}

\begin{exo}
Déterminer la parité des fonctions suivantes.
\begin{qmulti}{3}
	\item $f : x \to x \ln(x^2 +1)$ 
	\item $g : x \to \sqrt{x^2 +1}$ 
	\item $h : x \to e^{2x+5} $.
\end{qmulti}
\end{exo}

\begin{exo}[*]
Déterminer la parité des fonctions suivantes.
\begin{qmulti}{2}
\item $f : x \to |x| $ 
\item $g : x \to \left( \dfrac{1}{x^2 +1} \right)^2 \times \dfrac{x^3}{\sqrt{3x^2 +5}}$ 
\end{qmulti}
\end{exo}

\begin{exo}[**]
Montrer que la fonction $f(x) = \ln \left| \dfrac{x+1}{x-1} \right|$ est impaire. 
\end{exo}

\label{Déterminer un majorant ou un minorant}
\savoir{Déterminer un majorant ou un minorant}

\begin{exo}
Trouver si possible, un minimum et un maximum des fonctions suivantes sur $D$:
\begin{qmulti}{2}
\item $f: x \to \ln(x)$, $D = [1,5]$.
\item $ g : x \to x^2 -1 $, $D = [-3 ; 4]$.
\end{qmulti}
\end{exo}

\begin{exo}[*]
Dans chaque cas, montrer que $\forall x \in I$, $|f'(x)| \leq M$ avec :
\begin{enumerate}
\item $f: x \to x^2, \quad I = [-2;3] \quad \text{et} \quad M = 6$ ;
\item $f: x \to e^{2x} - 6x, \quad I = [0;\ln(2)] \quad \text{et} \quad M = 4$ ;
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[**]
Soit $k \in \N^*$. On considère $f: x \to \ln(x)$. En déterminant l'intervalle $I$, montrer que $\forall x \in I$, $\dfrac{1}{k+1}\leq f'(x) \leq \dfrac{1}{k}$. 
\end{exo}

\newpage
\label{Résoudre des inéquations}
\savoir{Résoudre des inéquations}

\begin{exo}
Résoudre les inégalités suivantes:
\begin{qmulti}{3}
\item $ e^{2x+1} > e^{x}$.
\item $x^2 > 5x - \dfrac{9}{4}$.
\item $e^{x} \geq  x$. 
\end{qmulti}
\end{exo}

\begin{exo}[*]
Résoudre les inégalités suivantes:
\begin{qmulti}{3}
\item $ \dfrac{1}{\ln(e^{-2x} + e^5)} \leq \dfrac{1}{5}$.
\item $\dfrac{x+5}{x-1} > \dfrac{x+2}{x+1}$.
\item $\ln(x) < \dfrac{x}{e} $. 
\end{qmulti}
\end{exo}

\begin{exo}[**]
Montrer que :
\begin{qmulti}{2}
\item  $\forall x \geq 0, \quad \sqrt{\dfrac{1}{x+3}} \leq \sqrt{\dfrac{1}{x+1}}$. 
 \item $ \forall x \in \R, \quad e^{2x+1} \leq e^{(x+1)^2}$.
\end{qmulti}
\end{exo}

\label{\'Etudier des fonctions}
\savoir{\'Etudier des fonctions}

\begin{exo}[\'Etude complète d'une fonction]
\'Etudier la fonction définie par 
$$
f(x) = \ln(x+1) + \dfrac{1}{x - 1}. 
$$
\begin{enumerate}
\item Déterminer le domaine de définition $D$ de $f$. 
\item La fonction $f$ admet-elle une parité ? Si oui laquelle ?
\item Déterminer les limites de $f$ au bord de son domaine de définition.
\item Déterminer la dérivée de $f$ et son tableau de variation.
\item Déterminer l'allure de la courbe. 
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[*]
Soit  $f$  définie sur ${\Rr}$  par $f(x) = \dfrac{x}{x^2 +x +1}.$ On désigne par $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative.
\begin{enumerate}
\item Justifier que $f$ est bien définie et sur $\R$.
\item \'Etudier les variations de $f$ sur $\R$.
\item Représenter l'allure de $\mathscr{C}_f$ en tenant compte des résultats des questions précédentes. La fonction est-elle paire ? Impaire ?
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[**]
\'Etudier les variations de la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
$$
\forall x \in \R, \; f(x) = \dfrac{1}{2}x^2 - e^{-x}.
$$
\end{exo}

%
%
%\begin{exo}
%Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \dfrac{e^{2x} + 1}{e^{2x} - 1}$. 
%
%{\bf A. \'Etude sur $]0,+\infty[$}
%\begin{enumerate} 
%\item \begin{enumerate}
%	\item  Déterminer l'ensemble de définition et de dérivabilité de $f$.
%	\item  Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$. Montrer que $f'(x) 	= \dfrac{-4e^{2x}}{(e^{2x} -1)^2}$ et déterminer son signe.
%	\end{enumerate}
%\item
%	\begin{enumerate}
%	\item  Montrer que pour tout $x$ de $\R^*$, $f(x) = 1 + \dfrac{2}{e^{2x} -1}$.
%	\item En déduire la limite de $f$ en $+\infty$.
%	\item Déterminer la limite de $f$ en $0$ par valeur strictement supérieure.
%	\end{enumerate}
%\item En utilisant les résultats précédents, dresser le tableau de variations de $f$ sur $]0,+\infty[$. Déterminer le signe de $f$ sur $]0,+\infty[$.
%\item Primitives de $f$ sur $]0,+\infty[$.
%	\begin{enumerate}
%	\item Déterminer l'ensemble de définition et la dérivée de la fonction $g$ définie par: 
%	\[g(x) = \ln(e^{2x} - 1) - x.\]
%	\item En déduire une primitive de $f$ sur $]0,+\infty[$.
%	\item Déterminer le sens de variation de $g$ et sa limite en $0$ par valeur supérieure.
%	\item En écrivant $e^{2x} - 1 = e^{2x}(1 - e^{-2x})$, déterminer la limite de $g$ en $+\infty$.
%	\item Montrer que l'équation $g(x) = 0$ a une unique solution sur $]0,+\infty[$.
%	\end{enumerate}
%\end{enumerate}
%
%{\bf B. Construction de $\mathscr{C}$, la courbe représentative de $f$.}
%	\begin{enumerate}
%	\item Montrer que pour tout $x$ non nul, $f(x) + f(-x) = 0$. En déduire les symétries de $\mathscr{C}$.
%	\item Calculer $f(\ln(3))$ et $f'(\ln(3))$(on donnera leur valeur exacte). Donner l'équation de la droite $\Delta$ tangente à la courbe en $x = \ln(3)$. Construire la droite $\Delta$ et $\mathscr{C}$. On donne les valeurs approchées:
%\begin{center}
%\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
%\hline
%ln(3) & 5/4 & 9/16 & 9/32 \\
%\hline
%1,1 & 1,2 & 0,6 & 0,3 \\
%\hline
%\end{tabular}
%\end{center}
%	\end{enumerate}
%\end{exo}

%TCIMACRO{\TeXButton{TeX field}{\end{multicols}}}%
%BeginExpansion
%EndExpansion

\end{document}
