\input{../preambules/preexo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Remplir pour chaque nouvelle feuille
\chead{Feuille d'exercice 19}
\rhead{2020-2021}
\lfoot{}
\cfoot{Techniques d'intégrations}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Copier/coller ces deux lignes
%\end{multicols}
%\end{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Début des exercices.

\begin{exo}[Comparaison d'intégrales]
Montrer que pour tout $n\in \N$, 
$$0 \leq \ds \int_0^1\frac{x^n}{x^2+1}dx\leq \frac{1}{2(n+1)}.$$
\end{exo}

\begin{exo}[Inégalité de la moyenne]
On admet que la fonction $f : x \to \dfrac{1}{e^x + e^{-x}}$ est décroissante sur $[0; +\infty[$. Pour tout entier naturel $n$, on pose $
I_n = \int_n^{n+1} f(x) dx .$
Prouver que pour tout entier naturel $n$, $f(n+1) \leqslant I_n \leqslant f(n)$, puis en déduire que la suite $(I_n)$ est convergente.
\end{exo}

\begin{exo}[Inégalité]
On considère la suite $u_n = \ds \int_1^n \dfrac{e^{-nx}}{x+1} dx$
\begin{enumerate}
\item
Tracer le tableau de variations de $f_n(x)=\frac{e^{-nx}}{x+1}$ sur $[1,2]$.
\item
En déduire que $u_n \leq \frac{e^{-n}}{2}$.
\item Montrer que la suite $(u_n)_{n \in \N}$ est convergente et déterminer sa limite. 
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Intégration par partie]
Calculer les intégrales suivantes :
\begin{qmulti}{2}
\item $ \ds \int_0^1 t e^t dt$
\item $ \ds\int_1^e t \ln(t) dt$
\end{qmulti} 
\end{exo}

\begin{exo}[Changement de variable]
. \vspace{-10pt}\\
Calculer l'intégrale $\ds \int_e^{e^2} \frac{1}{u} (\ln(u))^2 du$ par le changement de variable $x = \ln(u)$.
\end{exo}

\begin{exo}[Changement de variable]
Calculer les intégrales suivantes par changement de variables
\begin{qmulti}{2}
\item $\displaystyle \int_0^1 t \sqrt{1 - t^2} dt$ en posant $u = 1-t^2$.
\item $\displaystyle \int_0^1  \dfrac{\ln(1+e^t)}{1 + e^{-t}} dt$ en posant $x = 1 +e^t$.
\end{qmulti}
\end{exo}

\begin{exo}[Somme de Riemann]
. \vspace{-10pt} \\
\vspace{-20pt} Calculer la limite de $ S_n=\frac{1}{n}\sum\limits_{k=0}^{n-1}\exp\pare{\frac{k}{n}}$
\end{exo}


%%% Exercices d'approfondissement
\savoir{\'Etudier une suite définie par une intégrale}

\begin{exo}
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout entier naturel non nul $k$, $
\dfrac{1}{k+1} \leqslant \ds \int_k^{k+1} \dfrac{1}{t}dt \leqslant \dfrac{1}{k} .
$
\item Calculer l'intégrale. Comment avait-on déjà obtenu cette inégalité ?
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
On considère la suite $u$ définie pour tout $n\in\N$ par $
u_n= \ds \int_0^1\frac{x^{n}}{1+x}dx
$
\begin{enumerate}
\item
Prouver que $\forall x\in [0,1], 0\leq \frac{x^n}{1+x}\leq x^n$.
\item
En déduire que $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=0.$
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[*]
\'Etudier la monotonie des suites de terme général suivant :
\vspace{-10pt}
\begin{qmulti}{2}
\item $a_n = \displaystyle \int_0^1 x^2 e^{nx^3}dx .$
\item $b_n = \displaystyle \int_0^n e^{-t^2} dt .$
\end{qmulti}
\end{exo}

\newpage
\begin{exo}[**]
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0 ; +\infty[$ par $f(x) = \ln(1 +  xe^{-x})$. On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0 ; +\infty[$. On note $\mathscr{C}$ la courbe représentative de la fonction
$f$ dans un repère orthogonal. 

\begin{enumerate}
\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0 ; +\infty[$.
\item Soit $\lambda$ un nombre réel strictement positif. On pose $A(\lambda) = \int_0^\lambda f(x) dx$. On se propose de majorer $A(\lambda)$ à l'aide de deux méthodes différentes.
\begin{enumerate}
\item  Justifier que, pour tout nombre réel $\lambda$ strictement positif, $A(\lambda) \leq \lambda f(1)$. 
\item Calculer à l'aide d'une intégration par parties $\ds \int_0^{\lambda} x e^{-x} dx$ en fonction de $\lambda$. 
\item  On admet que pour tout nombre réel positif $u$; $\ln(1 + u) \leq  u$. Démontrer alors que, pour tout nombre réel $\lambda$ strictement positif, on a $A(\lambda) \leq - \lambda e^{- \lambda} - e^{-\lambda} +1$. 
\end{enumerate}
\end{enumerate} 


\end{exo}

\vspace{-10pt}
\savoir{Calculer une intégrale à l'aide d'une intégration par parties}

\begin{exo}
Calculer les intégrales suivantes : $\ds \int_1^e \ln(t) dt$ et $\ds \int_0^{-2} t^2 e^{5t} dt$. 
\end{exo}

\begin{exo}[*]
On pose, $\forall n \in \N$, $I_n = \displaystyle \int_0^1 \dfrac{(1-t)^n}{n!} e^t dt$. 
\begin{enumerate}
\item Calculer $I_0$ et $I_1$.
\item Montrer que : $\forall n \in \N, \; 0 \leqslant I_n \leqslant \dfrac{e}{n!}$. En déduire $\lim\limits_{n \to +\infty} I_n$. 
\item Montrer que : $\forall n \in \N, \; I_{n+1} = I_n - \dfrac{1}{(n+1)!}$ .
\item Montrer que : $\forall n \in \N, \; I_n = \displaystyle e - \sum_{k=0}^n \dfrac{1}{k!}$ . En déduire la valeur de $\li_{n \to + \infty} \displaystyle \sum_{k=0}^{n} \dfrac{1}{k!}$
\end{enumerate}
\end{exo}

\vspace{-10pt}
\savoir{Calculer une intégrale à l'aide d'un changement de variable. }

\begin{exo}
Calculer les intégrales suivantes par changement de variables
\begin{qmulti}{2}
\item $\displaystyle \int_{e}^{e^{2}}\dfrac{1}{t(\ln t)^{3}}dt$ en posant $x=\ln t$
\item $\displaystyle\int_0^1  \dfrac{dt}{2t+1}$
\end{qmulti}
\end{exo}


\begin{exo}[**]
L'objectif est de calculer les intégrales suivantes :
\[ 
I = \int_0^1 \dfrac{1}{\sqrt{t^2+2}} dt \quad J = \int_0^1 \dfrac{t^2}{\sqrt{t^2+2}} dt \quad K = \int_0^1 {\sqrt{t^2+2}} dt\quad L = \int_0^1 \dfrac{t}{\sqrt{t^2+2}} dt
\] 
\begin{enumerate}
\item Justifier l'existence de ces intégrales, et calculer $L$. 
\item Montrer que $J+2I = K$. (En 3 lignes et sans calculs)
\item Montrer par intégration par parties que $K = \sqrt{3} - J$
\item Montrer à l'aide du changement de variable $x = t + \sqrt{t^2 + 2}$ que $I = \ln(1+\sqrt{3}) - \ln(\sqrt{2})$.
\item Déduire des questions précédentes les valeurs de $J$ et $K$. 
\end{enumerate}
\end{exo}

%\begin{exo}
%On considère la fonction définie par $F(x) = \ds \int_0^x \dfrac{dt}{1+t^2}.$ 
%\begin{enumerate}
%\item \begin{enumerate}
%\item Déterminer l'ensemble de définition de $F$, et préciser son signe.
%\item \'Etudier la parité de $F$.
%\item Justifier que $F$ est $C^1$ sur $\R$, puis donner son sens de variation. 
%\end{enumerate}
%\item \begin{enumerate}
%\item En justifiant que $\forall t \in \R^+$, $\dfrac{1}{1+t^2} \leq \dfrac{2}{(1+t)^2}$, montrer que $\forall x \geq 0, \; F(x) \leq 2$. 
%\item En déduire que la fonction $F$ admet une limite $L$ en $+\infty$ et que $L \leq 2$. 
%\end{enumerate}
%\item Montrer que $\forall x \geq 0$, $F(x) \geq \int_0^x \dfrac{dt}{(1+t)^2}$ et en déduire que $L \geq 1$. 
%\item Montrer que l'équation $F(x) = \dfrac{1}{2}$ admet une et une seule solution sur $[0, + \infty[$.
%\item On pose $G(x) = F(x) + F \left(\dfrac{1}{x}\right)$. 
%\begin{enumerate}
%\item Justifier que $G$ est dérivable sur $\R_+^*$ et calculer $G'$. 
%\item En déduire que $\forall x \in \R$, $G(x) = 2 F(1)$. 
%\item En faisant tendre $x$ vers $+\infty$ dans $G$, montrer que $L = 2 F(1)$. 
%\end{enumerate}  
%\end{enumerate}
%\end{exo}

\vspace{-10pt}
\savoir{Reconnaitre une somme de Riemann et calculer sa limite.}

\begin{exo}[* - **]
Montrer que les suites suivantes sont convergentes, et trouver leur limite.
\begin{qmulti}{3}
\item $u_n = \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{\sqrt{k}}{n^{3/2}}$
\item $v_n = \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{1}{k+n}$
\item $w_n = \displaystyle \left( \prod_{k=0}^{n-1} \left( 1 + \dfrac{k}{n} \right) \right)^{\hspace{-4pt}\frac{1}{n}}$.
\end{qmulti}
\end{exo}






%\end{multicols}
\end{document}
