\input{../preambules/preexo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Remplir pour chaque nouvelle feuille
\chead{Feuille d'exercice 18}
\rhead{2020-2021}
\lfoot{}
\cfoot{Espaces vectoriels}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Copier/coller ces deux lignes
%\end{multicols}
%\end{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Début des exercices.

\begin{exo}[Combinaison linéaire]
Dans chaque cas dire si $x$ est combinaison linéaire
des vecteurs $u_{i}$ 
\begin{qmulti}{2}
\item $x=\left(\begin{array}{c}
3\\
4
\end{array}\right)$ , $u_{1}=\left(\begin{array}{c}
1\\
0
\end{array}\right)$ et $u_{2}=\left(\begin{array}{c}
0\\
1
\end{array}\right)$
\item $x=\left(\begin{array}{c}
-1\\
1\\
-1
\end{array}\right)$ , $u_{1}=\left(\begin{array}{c}
1\\
0\\
0
\end{array}\right)$ et $u_{2}=\left(\begin{array}{c}
1\\
2\\
0
\end{array}\right)$ 
\end{qmulti}
\begin{enumerate}
\item[(c)] $x=\left(\begin{array}{c}
1\\
0
\end{array}\right)$ , $u_{1}=\left(\begin{array}{c}
1\\
1
\end{array}\right)$, $u_{2}=\left(\begin{array}{c}
-1\\
1
\end{array}\right)$
 et $u_3 = \left(\begin{array}{c}
1\\
3
\end{array}\right)$
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Famille libre]
Déterminer si les familles de vecteurs $u_i$ suivantes sont libres
\begin{qmulti}{2}
\item  $u_{1}=\left(\begin{array}{c}
1\\
0
\end{array}\right)$ et $u_{2}=\left(\begin{array}{c}
0\\
1
\end{array}\right)$
\item  $u_{1}=\left(\begin{array}{c}
1\\
0\\
0
\end{array}\right)$ , $u_{2}=\left(\begin{array}{c}
1\\
2\\
0
\end{array}\right)$ et $u_{3}=\left(\begin{array}{c}
1\\
1\\
1
\end{array}\right)$
\end{qmulti}
\begin{enumerate}
\item[(c)] $u_{1}=\left(\begin{array}{c}
1\\
1
\end{array}\right)$, $u_{2}=\left(\begin{array}{c}
-1\\
1
\end{array}\right)$ et $u_3 = \left(\begin{array}{c}
1\\
3
\end{array}\right)$
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Famille génératrice]
Déterminer si les familles de vecteurs $u_i$ suivantes sont génératrices de $\mathcal{M}_{n,1}(\R)$.
\begin{qmulti}{2}
\item  $u_{1}=\left(\begin{array}{c}
1\\
0
\end{array}\right)$ et $u_{2}=\left(\begin{array}{c}
0\\
1
\end{array}\right)$
\item $u_{1}=\left(\begin{array}{c}
1\\
0\\
0
\end{array}\right)$ et $u_{2}=\left(\begin{array}{c}
1\\
2\\
0
\end{array}\right)$
\end{qmulti}
\begin{enumerate}
\item[(c)] $u_{1}=\left(\begin{array}{c}
1\\
1
\end{array}\right)$, $u_{2}=\left(\begin{array}{c}
-1\\
1
\end{array}\right)$ et $u_3 = \left(\begin{array}{c}
1\\
3
\end{array}\right)$
\end{enumerate}

\end{exo}

\begin{exo}[Base]
Parmi les familles de l'exercice $2$ et $3$. Lesquelles sont des bases ?
\end{exo}

\begin{exo}[Base canonique]
\begin{enumerate}
\item 
Donner les coordonnées du vecteur $v=-2e_{2}+4e_{1}-e_{3}$, où $(e_{1},e_{2},e_{3})$
est la base canonique de $\mathcal{M}_{3,1}(\mathbb{R})$

\item
 Soit $u=\left(\begin{array}{c}
-3\\
0\\
2\\
5
\end{array}\right)\in\mathcal{M}_{4,\:1}(\mathbb{R}).$ Décomposer $u$ dans la base canonique de $\mathcal{M}_{4,\:1}(\mathbb{R})$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[SEV]
Montrer que les ensembles suivants sont des sous espaces vectoriels de $\M_{3,1}(\R)$.
\begin{qmulti}{3}
\item 
$F=\acc{
\lambda\begin{pmatrix}
1\\
0\\
1
\end{pmatrix},\lambda\in\R}$ 
\item
$G=\acc{
\begin{pmatrix}
\lambda\\
\mu\\
0
\end{pmatrix}
,\lambda,\mu\in\R}$.
\item 
$H=\acc{
\begin{pmatrix}
x\\
y\\
z
\end{pmatrix}
,x+y - z = 0}$.
\end{qmulti}
\end{exo}

\begin{exo}
Montrer que $F=\left\{ \left(\begin{array}{c}
x\\
y
\end{array}\right),\:\mathrm{avec\;}x+y=1\right\} $ n'est pas un sous espace vectoriel de $\mathcal{M}_{2,1}(\mathbb{R})$ \\
Montrer que $G=\left\{ \left(\begin{array}{c}
x\\
y
\end{array}\right),\:\mathrm{avec\;}x^2+y=0 \right\} $ n'est pas un sous espace vectoriel de $\mathcal{M}_{2,1}(\mathbb{R})$ 
\end{exo}

\begin{exo}
Montrer que $F=\left\{ \left(\begin{array}{c}
2a-b\\
a+b\\
a-c
\end{array}\right),\;\mathrm{avec\:}a,b,c\:\mathrm{des\: r\acute{e}els}\right\} $ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_{3,1}(\mathbb{R})$

\end{exo}

\begin{exo}[Sous espace vectoriel engendré]
On rappelle que les solutions des systèmes linéaire homogènes sont des sous espaces vectoriel. Résoudre le système \\
 $\left\{ \begin{array}{rcl}
(2 - \lambda)x + y + z & = & 0 \\
x + (2- \lambda)y + z  & = & 0 \\
x + y + (2 - \lambda)z & = & 0
\end{array} \right. $ en fonction de $\lambda$ et donner les ensembles solutions à l'aide de la notation $vect$. 
\end{exo}

\label{Montrer qu'un vecteur s'écrit comme combinaison linéaire d'autres vecteurs}
\savoir{Montrer qu'un vecteur s'écrit comme combinaison linéaire d'autres vecteurs}

\begin{exo}[Combinaison linéaire]
Dans chaque cas dire si $x$ est combinaison linéaire
des vecteurs $u_{i}$ 
\begin{qmulti}{2}
\item $x=\left(\begin{array}{c}
3\\
4
\end{array}\right)$ , $u_{1}=\left(\begin{array}{c}
1\\
1
\end{array}\right)$ et $u_{2}=\left(\begin{array}{c}
-1\\
1
\end{array}\right)$
\item $x=\left(\begin{array}{c}
1\\
2\\
3
\end{array}\right)$ , $u_{1}=\left(\begin{array}{c}
1\\
1\\
2
\end{array}\right)$ , $u_{2}=\left(\begin{array}{c}
1\\
1\\
-1
\end{array}\right)$
\end{qmulti}
\end{exo}

\begin{exo}[*]
On pose les vecteurs de $\M_{3,1}(\R)$  $e_1 = \begin{pmatrix}
1 \\
-1 \\
2
\end{pmatrix}$ et $e_2 = \begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
-1
\end{pmatrix}$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que les vecteurs $A = \begin{pmatrix}
3 \\
1 \\
0
\end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix}
-1 \\
-3 \\
4
\end{pmatrix}$, $C = \begin{pmatrix}
1 \\
-5 \\
8
\end{pmatrix}$ sont des combinaisons linéaires des vecteurs $e_1$ et 
$e_2$. 
\item Qu'en est-il du vecteur $D = \begin{pmatrix}
4 \\
1 \\
0
\end{pmatrix}$ ? La famille $(e_1, e_2)$ est-elle une base de $\M_{3,1}(\R)$ ?
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[**]
Dans $\M_{3,1}(\R)$, on pose pour tout réel $k$ : $e_1 = \begin{pmatrix}
1 \\
k \\
2
\end{pmatrix}$ et $e_2 = \begin{pmatrix}
-1 \\
8 \\
k
\end{pmatrix}$. Déterminer les valeurs du réel $k$ pour que le vecteur $x = \begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
1
\end{pmatrix}$ soit combinaison linéaire des vecteurs $e_1$ et $e_2$. 
\end{exo}

\savoir{Montrer qu'un ensemble est un sous-espace vectoriel}
\label{Montrer qu'un ensemble est un sous-espace vectoriel}

\begin{exo}[Sous espaces vectoriels]
\begin{enumerate}
\item Les ensembles suivants sont ils des sous espaces vectoriels de $\M_{2,1}(\R)$ ? 
\begin{qmulti}{2}
\item $F_1 =\left\{ \left(\begin{array}{c}
x\\
1\\
\end{array}\right),x\in\mathbb{R}\right\} $
\item $F_2 =\left\{ \left(\begin{array}{c}
x\\
y
\end{array}\right), x + 2y = 0 \right\}$
\end{qmulti}
\item Les ensembles suivants sont ils des sous espaces vectoriels de $\M_{3,1}(\R)$ ? 
\begin{qmulti}{2}
\item $F_1 =\left\{ \left(\begin{array}{c}
x\\
2x\\
-x
\end{array}\right),x\in\mathbb{R}\right\} $
\hspace{-5cm}\item $F_2 =\left\{ \left(\begin{array}{c}
x\\
y \\
z
\end{array}\right), x + y +3z = 1 \right\}$
\end{qmulti}
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[*]
\begin{enumerate}
\item
Montrer que l'ensemble $F=\left\{ \left(\begin{array}{c}
a\\
0\\
b\\
0
\end{array}\right),a\in\mathbb{R},b\in\mathbb{R}\right\} $ est un sev de $\mathcal{M}_{4,\:1}(\mathbb{R})$
\item
Soit $A\in\M_n(\R)$, montrer que $F=\acc{X\in\M_{n,1}(\R), AX=0}$
est un Espace vectoriel (sev de $\M_{n,1}(\R)$). 
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[**]
L'ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à $3$, $\R_{3}[X]$ est un espace vectoriel muni de la loi $+$ et $\times$ (les polynômes sont alors des vecteurs). La base canonique de $\R_3[X]$ est alors $(1,X,X^2,X^3)$. 
\begin{enumerate}
\item Montrer que l'ensemble $F = \{ P \in \R_3[X] / P(0) = P'(0) = 0 \}$ est un sous espace vectoriel de $\R_3[X]$.
\item Montrer que la famille $Q_i = (X-1)^i$ pour $i \in \entier{0,3}$ est une famille libre de $\R_3[X]$. C'est donc une base de $\R_3[X]$. 
\item Soit $R = 2X^3 + 3X - 4$ Donnez les coordonnées de $R$ dans la base canonique puis dans la base $(Q_0, Q_1, Q_2, Q_3)$.    
\item Trouver une base pour le SEV F. 
\end{enumerate}
\end{exo}

\newpage
\savoir{Trouver une famille libre, génératrice ou une base d'un sous espace vectoriel}
\label{Trouver une famille libre, génératrice ou une base d'un sous espace vectoriel}

\begin{exo}
Montrer que la famille $(e_1, e_2, e_3)$ où $e_1 = \begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
0
\end{pmatrix}$, $e_2 = \begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
1
\end{pmatrix}$ et $e_3 = \begin{pmatrix}
2 \\
3 \\
2
\end{pmatrix}$. est une base de $\M_{3,1}(\R)$ Puis déterminer les coordonnées du vecteur $X = \begin{pmatrix}
0 \\
1 \\
-2
\end{pmatrix}$ dans cette base. 
\end{exo}

\begin{exo}[*]
Déterminer si les familles de vecteurs $(u_i)$ suivantes sont  des familles libres, des familles génératrices, des bases de $\M_{3,1}(\R)$. 
\begin{enumerate}
\item $u_{1}=\left(\begin{array}{c}
1\\
1\\
2
\end{array}\right)$ , $u_{2}=\left(\begin{array}{c}
1\\
1\\
-1
\end{array}\right)$
\item $u_{1}=\left(\begin{array}{c}
1\\
1\\
2
\end{array}\right)$ , $u_{2}=\left(\begin{array}{c}
1\\
1\\
-1
\end{array}\right)$, $u_3 = \left(\begin{array}{c}
0\\
1\\
-1
\end{array}\right)$ et $u_4 = \left(\begin{array}{c}
2\\
1\\
1
\end{array}\right)$.
\item $u_{1}=\left(\begin{array}{c}
1\\
1\\
2
\end{array}\right)$ , $u_{2}=\left(\begin{array}{c}
1\\
1\\
-1
\end{array}\right)$, $u_3 = \left(\begin{array}{c}
0\\
1\\
-1
\end{array}\right)$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[**]
On considère l'ensemble $F = \left\{ \vect{x}{y}{z}, 2x + y -3z = 0, \; x - y +2z = 0 \right\} \subset \mathcal{M}_{3,1}(\R)$. 
\begin{enumerate}
\item Montrer que $F$ est un sous espace vectoriel de $\M_{3,1}(\R)$. 
\item Trouver une famille génératrice de $F$.
\item Déterminer une base de $F$. 
\end{enumerate} 
\end{exo}

%\begin{exo}[Intersection de SEV]
%On considère les sous-ensembles $E = \left\{ \left(\begin{array}{c}
%x\\
%2x\\
%\end{array}\right),x\in\mathbb{R}\right\} $ et $F = \left\{ \left(\begin{array}{c}
%x\\
%x\\
%\end{array}\right),x\in\mathbb{R}\right\} $ de $\M_{2,1}(\R)$
%\begin{enumerate}
%\item Montrer que $E$ et $F$ sont des sous espaces vectoriels de $\M_{2,1}(\R)$ et déterminer $E \cap F$. 
%\item Représenter graphiquement $E$ et $F$ dans le plan $\R^2$
%\end{enumerate}
%\end{exo}


\savoir{Exprimer et simplifier un espace vectoriel sous la forme d'un Vect}
\label{Exprimer et simplifier un espace vectoriel sous la forme d'un Vect}

\begin{exo}
On considère le sous espace vectoriel de $\M_{3,1}(\R)$ suivant:
$$
F = Vect( \vect101, \vect000, \vect111, \vect{3}{-2}{3} )
$$
\begin{enumerate}
\item Trouver une famille génératrice de $F$ constitué de deux vecteurs. 
\item En déduire l'expression explicite d'un élément quelconque de $F$ en fonction de deux paramètres réels, puis déterminer un vecteur de $\M_{3,1}(\R)$ qui n'appartient pas à $F$. 
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[*]
On rappelle que les solutions des systèmes linéaire homogènes sont des sous espaces vectoriel. Résoudre le système \\
 $\left\{ \begin{array}{rcl}
(3 - \lambda)x - y  & = & 0 \\
9x + (-3 - \lambda)y  & = & 0 \\
 (4 - \lambda)z & = & 0
\end{array} \right. $ en fonction de $\lambda$ et donner les ensembles solutions à l'aide de la notation $vect$. 
\end{exo}

\begin{exo}[**]
On considère les vecteurs $u = (-4; 4; 3)$, $v = (-3; 2; 1)$, $s = (-1; 2; 2)$ et $t = (-1; 6; 7)$ de $\R^3$.
Montrer que 
$$ Vect(u; v) = Vect(s; t) .$$
\end{exo}






\end{document}

