\input{../preambules/preexo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Remplir pour chaque nouvelle feuille
\chead{Feuille d'exercice 15}
\rhead{2020-2021}
\lfoot{}
\cfoot{Séries numériques}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Copier/coller ces deux lignes
%\end{multicols}
%\end{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Début des exercices.
\begin{exo}
Dans les trois cas suivants :
$$ a_n = \sum_{k=0}^n \left(\dfrac{1}{2}\right)^k \qquad b_n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} 2^k \left(\dfrac{1}{3}\right)^{n-k}, \qquad c_n = \sum_{k=1}^n \ln \left( \dfrac{k}{k+1} \right)$$
\begin{enumerate}
\item Exprimez $a_n$, $b_n$ et $c_n$ en fonction de $n$ (calculez les sommes)
\item Donnez les limites des suites $a_n$, $b_n$ et $c_n$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
\'Etudier la convergence des séries de terme général $n$ et $e^{-n}$. 
\end{exo}

\begin{exo}
On note $S_n = \displaystyle \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k^2}$ et $v_n = S_n + \dfrac{1}{n}$. Montrer que les suites $(S_n)_{n \in \N}$ et $(v_n)$ sont adjacentes. En déduire que la série de terme générale $\dfrac{1}{n^2}$ est convergente. 
\end{exo}

\begin{exo}
\begin{enumerate}
\item Étudier la convergence de la série réelle de terme général $\left(\dfrac{1}{10}\right)^{n}$.
\item \begin{enumerate}
\item
Montrer que $\forall k \in \N^*, \ln(k+1) - \ln(k) \leq \dfrac{1}{k}$.
\item
En déduire la limite de $S_n=\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{k}$ et la nature de la série harmonique $\sum \frac{1}{n}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
La série de terme général $u_n=\frac{1}{2^n}+\ln\pare{\frac{(n+1)}{n}}$, $(n \geqslant 1)$ converge-t-elle ? Si oui calculer sa somme. 
\end{exo}

\begin{exo}
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\forall k\in\mathbb{N}^{*}$, $\dfrac{1}{k(k+1)}=\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1}.$
\item En déduire alors que la série ${\displaystyle \sum_{n\geqslant1}}\dfrac{1}{n(n+1)}$
converge vers 1.
\item Peut-on dire que ${\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}}\dfrac{1}{n(n+1)}={\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n}-{\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n+1}}}$
? Pourquoi ? Conclure.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[série géométrique]
La série $\sum \frac{1}{3^n}\times(2^{n+1}+1)$ converge-t-elle ? Si oui que vaut sa somme ? 
\end{exo}

\begin{exo}[série géométrique "dérivée"]
Justifier que les séries suivantes convergent et calculer leurs sommes
\begin{qmulti}{2}
\item $\sum\limits_{n\geq 1} n\pare{\frac{1}{3}}^{n-1}$
\item $\sum\limits_{n\geq 1} n(n-1)\pare{\frac{1}{2}}^{n-2}$
\item ${\displaystyle \sum_{n\geq1}\:\frac{n2^{n}}{3^{n+1}}}$
\item ${\displaystyle \sum_{n\geq1}\:\frac{n(n-1)2^{n+1}}{5^{n}}}$
\end{qmulti}
\end{exo}

\begin{exo}[Série exponentielle]
Étudier la nature et déterminer la somme éventuelle des séries ${\displaystyle \sum_{n\geqslant 0}\dfrac{\ln(3)^n}{n!}}$, ${\displaystyle \sum_{n\geqslant 0}\dfrac{3^{n-2}}{n!}}$
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $u$ la suite définie par $u_0 \in ]0;1[$ et pour tout $n$, $u_{n+1} = u_n - u_n^2$. 
\begin{enumerate}
\item Démontrer que pour tout $n$, $0 < u_n< 1$. Montrer alors que la suite $u$ converge, et déterminer sa limite. 
\item Montrer que la série $\sum\limits_{n \geqslant 0} u_n^2 $ converge et calculer sa somme. 
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Somme partielle majorée]
Soit une suite $(u_n)_{n \in \N}$ à termes positifs vérifiant $\forall n \in \N$, $u_{n+1} \leq \dfrac{u_n}{3}$. 
\begin{enumerate}
\item Vérifier par récurrence que $\forall n \geq 0, u_n \leq u_0 \left( \dfrac{1}{3} \right)^n$.
\item En déduire que la série de terme général $(u_n)$ est convergente. 
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Théorème de comparaison]
\begin{enumerate}
\item Montrer que la série de terme général $u_n = \dfrac{1}{n^2(n^2+1)}$ est convergente. 
\item Montrer que : $\forall x \geq 1$, $\ln(x) \leq x$. En déduire que la série de terme général $v_n = \dfrac{1}{\ln(n)}$ est divergente. 
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Convergence absolue]
Montrer que la série de terme général $w_n =\dfrac{(-1)^n}{n^2}$ est convergente. 
\end{exo}



%%% Exercices d'approfondissement
\renewcommand\bcStyleTitre[1]{\hspace{10pt}\itshape \Large \color{black} #1}
\setlength{\logowidth}{13pt}
\begin{bclogo}[couleur=white,couleurBord=white,arrondi=0.2, logo = \bcplume]{ \'Etude de convergence en passant par les sommes partielles}
\end{bclogo} 
\vspace{-13pt}



\begin{exo}[*]
Justifier la convergence des séries suivantes et calculer leur somme (pour $k \in \N$ fixé et $x \in \R$):
\begin{qmulti}{3}
\item $\displaystyle a = \sum\limits_{n \geqslant 1} \dfrac{1}{n!}.$
\item $\displaystyle b = \sum\limits_{n \geqslant 1} \dfrac{2^n}{n!}.$
\item $\displaystyle c = \sum\limits_{n \geqslant 0} \dfrac{3^n}{(n+1)!}.$
\item $\displaystyle d = \sum\limits_{n \geqslant 1} \dfrac{3^n}{2^{2n+1}}.$
\item $\displaystyle e = \sum\limits_{n \geqslant 0} \dfrac{1+2^n}{4^{n+1}}.$
\item $\displaystyle f = \sum\limits_{n \geqslant k} \dfrac{\binom{n}{k}}{n!}.$
\end{qmulti}
\end{exo}

\begin{exo}[*]
Considérons la suite :
$$ u_n = \ln \left( 1 - \dfrac{1}{n^2} \right). $$
\begin{enumerate}
\item \'Ecrire $(u_n)$ sous la forme $a_{n+1} - a_n$ pour tout $n \geqslant \N$. En déduire que la série de terme général $u_n$ converge et donner sa valeur.
\item Reprendre la question précédente avec
$$ v_n = \ln \left( \dfrac{(n+1)(n+3)}{n(n+2)} \right) .$$
\end{enumerate}
\end{exo}

\renewcommand\bcStyleTitre[1]{\hspace{10pt}\itshape \Large \color{black} #1}
\setlength{\logowidth}{13pt}
\begin{bclogo}[couleur=white,couleurBord=white,arrondi=0.2, logo = \bcplume]{ Séries géométriques ou exponentielles}
\end{bclogo} 
\vspace{-13pt}

\begin{exo}[Convergences de séries]
Justifier la convergence des séries suivantes et calculer leur somme (pour $k \in \N$ fixé et $x \in \R$):
\begin{qmulti}{3}
\item $\displaystyle a = \sum\limits_{n \geqslant 1} \dfrac{n(n-1)}{6^n}.$
\item $\displaystyle b = \sum\limits_{n \geqslant 1} \dfrac{(-1)^n}{2^n}.$
\item $\displaystyle c = \sum\limits_{n \geqslant 2} n(-1)^n x^{n-2}.$
\end{qmulti}
\end{exo}

\begin{exo}[*]
\begin{enumerate}
\item Soit $p \in ]0,1[$ et $q = 1-p$. Montrer que les séries suivantes convergent et que :
$$
\sum_{n=1}^{+\infty}p q^{n-1} = 1, \quad \sum_{n=1}^{+\infty} n p q^{n-1} = \frac{1}{p}, \quad \sum_{n=1}^{+\infty}n^2p q^{n-1} = \frac{q+1}{p^2}.
$$
\item Soit $\lambda \in \R$. Montrer que les séries suivantes convergent et que :
$$
\sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{\lambda^n e^{-\lambda}}{n!} = 1, \quad \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{n \lambda^n e^{-\lambda}}{n!} = \lambda, \quad 
\sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{n^2 \lambda^n e^{-\lambda}}{n!} = \lambda (\lambda +1).
$$
\end{enumerate}
\end{exo}

\renewcommand\bcStyleTitre[1]{\hspace{10pt}\itshape \Large \color{black} #1}
\setlength{\logowidth}{13pt}
\begin{bclogo}[couleur=white,couleurBord=white,arrondi=0.2, logo = \bcplume]{ Comparaison de séries}
\end{bclogo} 
\vspace{-13pt}

\begin{exo}[Série divergente]
Soit $u$ la suite définie pour tout $n \geq 2$ par
$$ u_n = \dfrac{n}{n^2 -1} .$$
Montrer pour tout pour $n \geq 2$, $u_n \geq  \frac1n$.Montrer alors que $\sum\limits_{n \geqslant 2} u_n$ diverge.
\end{exo}

\begin{exo}
Quelle est la nature de la série de terme général définie pour tout $n \in\N$, $n \geqslant 3$, $u_n = \dfrac{5}{4^n \ln n}$. 
\end{exo}

\begin{exo}[*]
\begin{enumerate}
\item Démontrer les inégalités suivantes 
\begin{qmulti}{2}
\item $\forall x \in  \R, e^x \geq x$,
\item $\forall x \in \R_+^*, \; x  \geq \ln(x)$
\end{qmulti}
\item En déduire la nature des séries suivantes : 
\begin{qmulti}{2}
\item $\ds \sum_{n \geq 0} e^{-n^2} , $
\item $\ds \sum_{n \geq 2} \dfrac{1}{\ln (n)}$. 
\end{qmulti}
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[*]
\begin{enumerate}
\item Calculer pour tout $n \in \N$, $\ds \int_2^n \dfrac{1}{x \ln(x)}dx$. 
\item Montrer que $\forall k \geq 2$, $\ds \int_k^{k+1} \dfrac{dx}{x \ln x} \leq \dfrac{1}{k \ln k}$. 
\item En déduire une minoration de $\ds \sum_{k=2}^n \dfrac{1}{k \ln k}$. Déterminer la nature de cette série. 
\end{enumerate}
\end{exo}



%%% Exercices d'applications
%\renewcommand\bcStyleTitre[1]{\hspace{10pt}\itshape \Large \color{black} #1}
%\setlength{\logowidth}{13pt}
%\begin{bclogo}[couleur=white,couleurBord=white,arrondi=0.2, logo = \bcbook]{ Exercices d'applications}
%\end{bclogo} 
%\vspace{-13pt}

\begin{exo}[**]
Pour tout $n$, on note 
$$ 
S_n = \displaystyle \sum_{k=1}^n \dfrac{(-1)^k}{k} . $$
 Montrer que les suites $(S_{2n})$ et $(S_{2n +1})$ sont adjacentes. En déduire que la série $\sum\limits_n \dfrac{(-1)^n}{n}$ converge.
\end{exo}

\begin{exo}[***]
On suppose que la série de terme général $u_n$ est convergente. On pose pour tout entier naturel $n$: $S_n = \sum\limits_{k=0}^n u_k$, $S = \sum\limits_{k=0}^{+\infty} u_k$, $R_n = \sum\limits_{k=n+1}^{+\infty} u_k$
Montrer que $R_n$ tend vers $0$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$. 
\end{exo}

\end{document}
