\input{../preambules/preexo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Remplir pour chaque nouvelle feuille
\chead{Feuille d'exercice 13}
\rhead{2019-2020}
\lfoot{}
\cfoot{Convergence de suite}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Copier/coller ces deux lignes
%\end{multicols}
%\end{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Début des exercices.

\begin{exo}[Limites de suites]
\'Etudier les limites des suites définies par 
\begin{qmulti}{3}
\item
$\forall n\geq1, u_n=\frac{1}{n}$
\item
$\forall n\geq0,v_n=\frac{n+1}{n+2}$
 \item
$w_n=n\ln\pare{1+\frac{1}{n}}$
   \end{qmulti}
\end{exo}

\begin{exo}[Nature des suites]
\'Etudier la nature des suites définies par :
\begin{qmulti}{2}
\item
$\forall n\in\mathbb{N}$, $u_n=(-1)^n$ 
\item
$\begin{cases}
v_0=-5\\
v_{n+1}=\dfrac{1}{2}v_{n}, \forall n\in\mathbb{N}
\end{cases}$
\item
 $\forall n\in\mathbb{N}$ ,
 $w_{n}=-2n+3$
 \item
  $\forall n\geq 2$ 
, $t_n=\frac{n}{\ln n}$
\end{qmulti}

\end{exo}

\begin{exo}[Limite et inégalités]
On considère la suite définie par $u_1 = 1$ et $u_{n+1}=u_n + e^{u_n}$. 
\begin{enumerate}
\item Montrer par récurrence que $\forall n \in \N^*$, $u_n \geq n$. 
\item En déduire la nature de la suite $(u_n)_n$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Théorème des gendarmes]
On considère une suite $(u_n)_{n \in \N}$ vérifiant $u_0 = 2$ et la propriété 
$$
\forall n \in \N, \quad |u_{n+1} - 1 | \leq \dfrac{1}{2} |u_n - 1 |
$$
\begin{enumerate}
\item Montrer par récurrence que $\forall n \in \N$, $|u_n - 1| \leqslant \left( \dfrac{1}{2} \right)^n  $
\item En déduire que la suite $(u_n)_{n \in \N}$ est convergente et déterminer sa limite. 
\end{enumerate}
\end{exo}


\begin{exo}[Suite monotone]
Soit $u$ la suite définie par $u_{n+1}=\frac{u_n}{1+u_n}$ et $u_0=1$.
\begin{enumerate}
\item
 Montrer que la suite $(u_n)_n$ est bien définie et strictement positive.
\item
Montrer alors que la suite $(u_n)_n$ est décroissante.
\item
 En déduire que la suite est convergente.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Autres suites usuelles]
\'Etudier la nature des suites  définies
par :
\[
\begin{cases}
w_0=3\\
w_{n+1}=2w_n
\end{cases},
\begin{cases}
u_0=0\\
u_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_n+1
\end{cases}
,
\begin{cases}
v_{0}=3\\
v_{1}=-1\\
v_{n+2}=v_{n+1}- \dfrac{1}{4}v_{n}
\end{cases}
\]
\end{exo}

\begin{exo}[Suites adjacentes]
Montrer que les suites
$u_n=1-\frac{1}{n}$, $v_n=1+\frac{1}{n^2}$
 sont adjacentes.
\end{exo}

\begin{exo}[Suites récurrentes]
Soit $f(x)= 0,75 x^2+ 0,25$ une fonction définie sur $[0,1]$ et soit $(u_n)_n$ la suite définie par $ u_0=0$ et $u_{n+1}=f(u_n)$.
\begin{enumerate}
\item
Tracer le tableau de variations complet de $f$.
\item
En déduire par récurrence que $\forall n\in\N, u_n\in [ 0, 1/3 ]$.
\item
Montrer par récurrence que la suite $(u_n)_n$ est croissante.
\item
En déduire que $(u_n)_n$ converge. Déterminer sa limite $\ell$. 
\end{enumerate}
\end{exo}

\newpage
\label{Calculer la limite d'une suite explicite}
\savoir{Calculer la limite d'une suite explicite}

\begin{exo}
Déterminer les limites des suites suivantes. 
\begin{qmulti}{2}
\item $a_n = \sqrt{n^2 +1} - n$.
\item $b_n =  \dfrac{n^3 - n^2 + 2n}{n^2 +1}$.
\end{qmulti}
\end{exo}

\begin{exo}[*]
Déterminer la limite des suites suivantes :
\begin{qmulti}{2}
\item $ \begin{cases}
u_0=2\\
u_{n+1}= \dfrac{1}{4} u_n
\end{cases}$
\item $ \begin{cases}
v_0=2\\
v_{n+1}= \dfrac{1}{3}v_n + \dfrac{2}{3}
\end{cases}$
\end{qmulti}
\end{exo}

\begin{exo}[**]
On joue à pile ou face avec une pièce truquée dont la probabilité d'obtenir Pile vaut $p$ et celle de Face vaut $1-p$. On note $P_k$ resp($F_k$) l'évènement : "on obtient pile (resp. Face) au $k$\`eme lancer". On lance indéfiniment la pièce et on note $X$ le rang où apparait pour la première fois deux résultats pile consécutifs. Par exemple, si les premiers lancers donnent FPFFPFPP alors $X = 8$. \\

{\bf Attention : les questions (a) à (c) ne sont pas à faire dans le cadre du TD}
\begin{enumerate}
\item Calculer en fonction de $p$ : $P(X = 1)$, $P(X = 2)$, $P(X = 3)$, $P(X = 4)$. 
\item Justifier que $\{ F_1 , P_1 \cap F_2, P_1 \cap P_2 \}$ forme un système complet d'évènements.
\item En déduire que $\forall n \geq 1$, $P(X = n+2) = (1-p) P(X = n+1) + p(1-p) P(X = n)$.
\item On suppose à présent que $p=2/3$. Montrer que $\forall n \geq 0$
\[ P(X = n) = \dfrac{4}{9} \left[ \left( \dfrac{2}{3} \right)^{n-1} - \left(- \dfrac{1}{3} \right)^{n-1} \right]
\]
\item Déterminer $\li_{n \to + \infty} P(X = n)$. Ce résultat est-il cohérent ?
\end{enumerate}
\end{exo}


\begin{exo}[**]
On considère la suite $u$ définie par : $\forall n\geqslant2,\quad u_{n+1}=u_{n}\left(1-\dfrac{1}{n^{2}}\right)$
et $u_{2}=1$
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\forall n\in\mathbb{N},\quad0 < u_{n}\leqslant1$
puis donner la monotonie de la suite $u.$
\item En déduire que la suite $u$ est convergente.
\item Montrer que $\forall n\geqslant2,\quad u_{n}=\dfrac{n}{2(n-1)}$ et
en déduire $\lim\limits _{n\rightarrow+\infty}u_{n}.$\end{enumerate}
\end{exo}

\label{Calculer la limite par encadrement ou comparaison}
\savoir{Calculer la limite par encadrement ou comparaison}

\begin{exo}[]
On considère une suite $(u_n)_{n \in \N}$ vérifiant $u_0 = 4$ et la propriété 
$$
\forall n \in \N, \quad |u_{n+1} - 2 | \leq \dfrac{1}{3} |u_n - 2 |
$$
\begin{enumerate}
\item Montrer par récurrence que $\forall n \in \N$, $|u_n - 2| \leq  2 \times \left( \dfrac{1}{3} \right)^n  $
\item En déduire que la suite $(u_n)_{n \in \N}$ est convergente et déterminer sa limite. 
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[*]
On considère la suite $u_n=\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{k}$. On cherche à montrer que celle-ci diverge à l'infini. On suppose que l'on a démontré précédemment le résultat suivant :
$$\forall x\geq 1, \quad  \frac{1}{x}\geq \ln\pare{1+\frac{1}{x}}.$$
\begin{enumerate}
\item
Montrer alors que 
$\forall n\geq 1, u_n\geq \ln( n+1)$.
\item
En déduire la nature de la suite $(u_n)_n$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[EDHEC 2008 - **]

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on d\'{e}finit la fonction $f_n$ par: 
\[
\forall x\in \mathbb{R},\ f_{n}\left( x\right) =\dfrac{1}{1+e^{x}}+n~x . \]


\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item D\'{e}terminer, pour tout r\'{e}el $x$, $f_{n}^{\prime }\left(
x\right) $ et $f_n^{\prime \prime }\left( x\right) $.

\item En d\'{e}duire que la fonction $f_{n}$ est strictement croissante sur $%
\mathbb{R}$
\end{enumerate}

\item  Calculer $\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }f_{n}\left( x\right) $ ainsi que 
$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f_{n}\left( x\right) $.

\item 
\begin{enumerate}
\item Montrer que l'\'{e}quation $f_{n}\left( x\right) =0$ poss\`{e}de une
seule solution sur $\mathbb{R}$, not\'{e}e $u_{n}$.

\item Montrer que l'on a : $\forall n\in \mathbb{N}^{\ast },\quad \dfrac{-1}{%
n}<u_{n}<0$.

\item En d\'{e}duire la limite de la suite $\left( u_{n}\right) $

\item En revenant \`{a} la d\'{e}finition de $u_{n}$, montrer que $\lim\limits_{n \to ++\infty} -2n \times u_{n} = 1$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exo}

\savoir{Calculer une limite en utilisant le théorème du point fixe}
\label{Calculer une limite en utilisant le théorème du point fixe}

\begin{exo}
Soit $(u_n)_{n \in \N}$ la suite définie par $u_0 = \frac{1}{2}$ et pour tout $n \in \N$, $u_{n+1} = u_n - u_n^4$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer la monotonie de la suite. 
\item Montrer que $(u_n)$ est minorée par $0$. 
\item \'Etudier la convergence de $(u_n)$. 
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[*]
Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 \geq 1$ et pour tout $n \in \N$, $u_{n+1} = f(u_n)$ avec $f : x \to x + \dfrac{1}{x} - 1$. 
\begin{enumerate}
\item Montrer que $[1 ; + \infty[$ est stable par $f$. C'est-à-dire que pour tout $x \in [1;+\infty[$, on a $f(x) \in [1; +\infty[$, ou de manière équivalente, $f([1; + \infty[) \subset [1;+\infty[$. 
\item Montrer que pour tout $x \in [1;+\infty[$, $f(x) - x \leq 0$. 
\item En déduire la monotonie de $(u_n)$, puis étudier sa convergence. 
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[**]
Soit $f$ définie par : $f (x) = \ln (x) + x$ pour tout $x \in \R_+^*$:
\begin{enumerate}
\item \'Etudier les variations de f et déterminer le signe de $f (x) - x$.
\item Soit $u$ la suite définie par $u_0 > 1$ et pour tout entier $n, u_{n+1} = f (u_n)$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout entier n : $u_n \geq 1$ et montrer que la suite est croissante.
\item Montrer qu'elle n'est pas majorée et déterminer sa limite. \\
On suppose à présent que $u_0 = e$.
\item Montrer que, pour tout entier $n$ : $u_{n+1} \geq u_n +1$. En déduire que $u_n \geq n+e$ et retrouver la limite de la suite.
\end{enumerate}
\item Soit $v$ définie par $v_0 \in ]0; 1[$ et pour tout entier $n$, $v_{n+1} = f (v_n)$. Montrer qu'il existe un entier $n$ pour lequel $v_n < 0$ et en déduire qu'elle n'est plus définie à partir du rang $n + 1$. 
\end{enumerate}
\end{exo}

\savoir{Utiliser le théorème des suites adjacentes}
\label{Utiliser le théorème des suites adjacentes}

\begin{exo}[*]
\begin{enumerate}
\item
 Montrer que les suites \emph{u} et \emph{v} définies
par , $\forall n\geq1$ , $u_{n}={\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k^{3}}}$
et $v_{n}=u_{n}+\dfrac{1}{n^{2}}$ sont adjacentes.
\item
Que pouvez-vous en déduire sur les suites $(u_n)_n$ et $(v_n)_n$?
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[**]
Soient $u_{0}>v_{0}>0$, et~: 
\[
\forall n\in\mathbf{\mathbb{N}},u_{n+1}=\frac{u_{n}+v_{n}}{2}\quad et\quad v_{n+1}=\sqrt{u_{n}v_{n}}
\]
\begin{enumerate}
\item Démontrer en une seule récurrence que $u_{n}$ et $v_{n}$ existent et sont
strictement positifs. 
\item Démontrer que pour tout $n\in\mathbf{\mathbb{N}}$,  $u_{n}\ge v_{n}$. 
\item Montrer que $(u_{n})$ est décroissante et que $(v_{n})$ est croissante. 
\item Déduire des questions précédentes que les suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$
sont bornées, puis qu'elles sont convergentes. On note respectivement ces limites $l$ et $l'$.
\item Montrer que $l=l'$.
\item En déduire que $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes.
\end{enumerate}
\end{exo}

%\begin{exo}[EMLyon 2011]
%
%On consid\`{e}re l'application définie sur $]0; +\infty[$, $
%f:x\longmapsto f\left(
%x\right) =\left( x+\ln x\right) e^{x-1}. $
%
%\begin{enumerate}
%\item Pour tout $x\in \left] 0;+\infty \right[ ,$ calculer $f^{\prime}\left(
%x\right) .$
%
%\item \'{E}tablir : $\forall x\in \left] 0,+\infty \right[ ,\quad \ln x+\frac{1}{x}>0 $
%\item En d\'{e}duire : $
%\forall x\in \left] 0;+\infty \right[ ,\quad x+\ln x+1+\frac{1}{x}>0. 
%$ et le sens de variation de $f$
%
%
%\item Dresser le tableau de variation de $f$. Calculer $f\left( 1\right) $ et $f^{\prime}\left( 1\right) .$
%
%\item Pr\'{e}ciser la nature des branches infinies de la courbe repr\'{e}%
%sentative $C$ de $f$.
%
%\item Tracer l'allure de $C$. On pr\'{e}cisera la tangente au point
%d'abscisse $1.$
%
%On consid\`{e}re la suite r\'{e}elle $\left( u_{n}\right) _{n\in \mathbb{N}}$
%d\'{e}finie par $u_{0}=2$ et, $\forall n\in \mathbb{N},$ $u_{n+1}=f\left(
%u_{n}\right) .$
%
%\item Montrer que, pour tout $n\in \mathbb{N},$ $u_{n}$ existe et $u_{n}\geq2
%$.
%
%\item \'{E}tablir, par r\'{e}currence :\qquad$\forall n\in \mathbb{N},\quad
%u_{n}\geq e^{n}$.
%
%Quelle est la limite de $u_{n}$ lorsque l'entier $n$ tend vers l'infini ?
%
%\item \'{E}crire un programme en Scilab qui calcule et affiche le plus
%petit entier naturel $n$ tel que $u_{n}\geq10^{20}.$
%\end{enumerate}
%\end{exo}



\end{document}
