\input{../preambules/preexo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Remplir pour chaque nouvelle feuille
\chead{Feuille d'exercice 12}
\rhead{2019-2020}
\lfoot{}
\cfoot{Polynômes}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Début des exercices

\begin{exo}[Sommes et produits de polynômes]
\begin{itemize}
\item Pour $P(x)=2x^2+1$ et $Q(x)=x^3-x+1$ deux polynômes, calculer $P +Q$ et $PQ$. Donner les degrés des polynômes $P$, $Q$, $P+Q$ et $PQ$. 
\item Même question pour $R(X) = X^4 + 2X + 1$ et  $S(X) = -X^4 + 3X^3.$ 
\end{itemize}
\end{exo}


\begin{exo}[Dérivée de polynômes]
Soit $P$ un polynôme de $\R_n[X]$. Montrer que $Q(X) = XP'(X) - P(X)$ est un polynôme de $\R_n[X]$. 
\end{exo}

\begin{exo}[Identification]
Déterminer les polynômes $P$ de $\R_2[X]$ égaux à leur dérivée (On cherche $P = P'$).  
\end{exo}

\begin{exo}[Factorisation]
Soit $P(X) = X^3 - X^2 -4X +4$. Déterminer trois réels $a,b,c$ tels que 
\[
\forall x \in \R, \quad P(x) = (x-2)(ax^2 + bx +c)
\]
\end{exo}

\begin{exo}[Fractions rationnelles]
Trouvez deux réels $a$ et $b$ tels que $$\forall x\in\R \setminus\{-1,1\},\frac{1}{x^2-1}=\frac{a}{x-1}+\frac{b}{x+1}$$
\end{exo}

\begin{exo}[Racine d'un polynôme]
 Vérifier que $P(x)=x^3-2x+1$ se factorise par $(x-1)$. 
\end{exo}

\begin{exo}[Division euclidienne]
Effectuer la division euclidienne de 
\begin{qmulti}{2}
\item $X^3 - X^2 - 4X +4$ par $(X-2)$.
\item $X^2 -4X - 3$ par $(X-5)$. 
\end{qmulti}
\end{exo}

\begin{exo}[Racine d'un polynôme de degré 3]
Déterminer les racines de $P(x) = X^3 - X^2 -4X +4$.
\end{exo}

\begin{exo}[Recherche de racine par changement de variable]
Déterminer les solutions des équations suivantes :
\begin{qmulti}{3}
\item $e^x - 3e^{-x} = 2$.
\item $x^4 +  x^2 - 2 = 0$. 
\end{qmulti} 
\begin{enumerate}
\item[(c)] $(\ln(x))^3 - (\ln(x))^2 - 4 \ln(x) + 4 = 0$.
\end{enumerate}
\end{exo}

 \begin{exo}
Déterminer les limites en $+\infty$ et $-\infty$ de 
$P(x)=-x^3-x+1$ et $Q(x)=x^4-x^2+1$.
 \end{exo}

 \begin{exo}
Déterminer les limites en $+\infty$ et $-\infty$ de
$P(x)=\dfrac{x^2+1}{3x^2+x}$,
$Q(x)=\dfrac{x}{x+2}$ et $R(x)=\dfrac{x^3+1}{x^2-4}$
 
 \end{exo}
 
 \begin{exo}
 Déterminer les limites suivantes :
 \begin{qmulti}{2}
 \item $\li_{x \to 1} \dfrac{x^2 -3x +2}{x^3 + x^2 - x - 1}$
 \item $\li_{x \to 0} \dfrac{e^{2x} - 3e^x +2}{e^{3x} + e^{2x} - e^x - 1}$
 \end{qmulti}
 \end{exo}


\begin{exo}[Bilan]
\begin{enumerate}
\item Montrer que -2 et 0 sont des racines du polynôme $P(X) = X^4 +2x^3 + X^2 + 2X$. Trouver une racine évidente du polynôme $Q(X) = X^3 + X - 2$. 
\item Déterminer $a$, $b$ et $c$ tels que $P(X) = X(X+2)(aX^2 + bX + c)$. En déduire une factorisation de $P$. 
\item Diviser le polynôme $Q$ par $(X-\alpha)$ où $\alpha$ est la racine évidente trouvée à la question $(a)$. En déduire une factorisation de $Q$. 
\item Calculer les limites en $+\infty$ et $- \infty$ de $P(x)$ et $Q(x)$. 
\end{enumerate}
\end{exo}


\savoir{Pratiquer la division euclidienne}
\label{Pratiquer la division euclidienne}

\begin{exo}
Diviser le polynôme $X^4 + 3X^3 - 4X^2 + 2X - 5$ par le polynôme $X^2 - 2X + 1$.  
\end{exo}

\begin{exo}[*]
Soit le polynôme $P$ défini sur $\mathbb{R}$ par $P(x)=x^{3}-2x^{2}-x+2.$
\begin{enumerate}
\item Montrer que 1 est racine de P. En déduire alors une factorisation
de P
\item Etudier le signe de P sur $\mathbb{R}$.\\

\end{enumerate}
\end{exo}

\savoir{Factoriser un polynôme}
\label{Factoriser un polynôme}


\begin{exo}
On souhaite résoudre l'équation $(E)$ d'inconnue $x \in \R$, $(E): e^{2x} +4e^x +1-6e^{-x} =0$.
\begin{enumerate}
\item
Trouver une fonction polynomiale de degré 3 $P$ telle que : $\forall x\in\R$, $x$ est solution de $(E) \Leftrightarrow P(e^x)=0$.
\item
 Montrer que 1 est racine de $P$. 
 \item
  En déduire une factorisation de $P$. 
  \item 
  Déduire de ce qui précède la résolution de l'équation $(E).$
  \end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[*]
\begin{enumerate}
\item Factoriser le polynôme $P(x) = x^3 - 2x^2 -5x+6$.
\item Donner les domaines de définition des fonctions $\dfrac{1}{P}$ et $\ln(P)$.
\item \'Etudier les variations de la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = \dfrac{1}{4}x^4 - \dfrac{2}{3}x^3 - \dfrac{5}{2}x^2 + 6x -1$. 
\item R\'esoudre l'équation $(\ln x)^3 - 2 (\ln x)^2  - 5 \ln x + 6 = 0$. 
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[**]
Soit $P(x) = ax^2 +bx + c$ un polynôme de degré 2 possédant 2 racines réelles $\alpha_1$ et $\alpha_2$. 
\begin{enumerate}
\item En utilisant la forme factorisée du polynôme $P$, puis en développant l'expression obtenue, exprimer $\alpha_1 + \alpha_2$ et $\alpha_1 \alpha_2$ en fonction de a,b et c. 
\item Réciproquement, soient $\alpha_1$ et $\alpha_2$ deux nombres réels. Montrer que $\alpha_1$ et $\alpha_2$ sont les racines du polynôme $P(x) = x^2 -sx + p$ où $s =\alpha_1 + \alpha_2$ et $p =\alpha_1 \alpha_2$. 
\end{enumerate}
On considère alors l'équation $2x^2 - 5x +3 = 0$
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{2}
\item Trouver une solution évidente. 
\item Combien vaut la somme et le produit des solutions ?
\item En déduire l'autre solution.
\end{enumerate}
\end{exo}

\savoir{Utiliser l'identification.}
\label{Utiliser l'identification.}

\begin{exo}
Déterminer les réels $a,b,c$ tels que
\begin{qmulti}{2}
\item
 $\forall x\in \mathbb{R}\backslash \{-2,-1,0\},\quad \dfrac{a}{x}+%
\dfrac{b}{x+1}=\dfrac{1}{x(x+1)}.$
\item
$\forall x\in\R\setminus\acc{0,1}, \dfrac{a}{x^2}+\dfrac{b}{x}+\dfrac{c}{x-1}=\dfrac{x+1}{x^2(x-1)}$
\end{qmulti}
\end{exo}

\begin{exo}[*]
On se propose de calculer la somme $S_n = \sum\limits_{k=2}^n \dfrac{1}{k^2 - 1}$
\begin{enumerate}
\item Trouver a et $b$ tel que $\forall k \geq 2$, $\dfrac{1}{k^2 -  1} = \dfrac{a}{k-1} + \dfrac{b}{k+1}$.
\item En déduire la valeur de $S_n$ en fonction de $n$.  
\end{enumerate}
\end{exo}


\newpage

%\begin{exo}[*]
%Factoriser les polynômes
%$P(x)=-x^3-3x^2+6x+8$ et $Q(x)=x^3-6x^2+13x-10$
%puis résoudre sur $\R$ les inéquations $P (x) \geq 0$ et $Q(x) \geq 0$.
%\end{exo} 

\savoir{Calculer des limites de polynômes}
\label{Calculer des limites de polynômes}

\begin{exo}
Déterminer la limite en $+ \infty$ et $-\infty$ des fonctions suivantes :
\begin{qmulti}{2}
\item $f_1(x) = x^5 + 3x^3 - x^2 +1$
\item $f_2(x) = -x^4 +2x^3 -x^2 - 5x$
\item $f_3(x) = \dfrac{2x^2 + 5x +1}{x^4 - 4x^3 +2x}$ 
\item $f_4(x) = \dfrac{x^3 +4x^2 - 2x +1}{2x^3 - 1}$ 
\end{qmulti}
\end{exo}

\begin{exo}[*]
Déterminer les limites suivantes en factorisant les polynômes au numérateur et au dénominateur :
\begin{qmulti}{3}
\item $\li_{x \tos 2} \dfrac{x^3 -x^2 + 2x -8 }{x^2 - 4}$
\item $\li_{x \tos 1} \dfrac{x^3 +x^2 - x - 1}{x^2 - 2x + 1}$
\item $\li_{x \to 0} \dfrac{e^{3x} -4 e^{2x} + 3}{e^x - 1} $
\end{qmulti}
\end{exo}

\begin{exo}[**]
Déterminer si la fonction 
$$
f(x) = \dfrac{3}{x^3 - 1} - \dfrac{2}{x^2 - 1}
$$
est prolongeable par continuité en $1$ le cas échéant, préciser la valeur en $1$ qui rend la fonction continue.
\end{exo}

\savoir{Propriétés des polynômes.}
\label{Propriétés des polynômes.}

\begin{exo}[*]
Soit le polynôme $P$ défini pour tout $x \in \R$ par $P(x) = (x-2)^4$. Calculer $P^{(k)}(x)$ pour tout $k >0$. \\
 
{\it Généralisation:} Soit $P$ le polynôme $P(x) = (x-a)^n$ pour $n>0$. Calculer $P^{(k)}(x)$ pour tout $k > 0$.  
\end{exo}

\begin{exo}[**]
Dans cet exercice, on se propose de calculer pour $n \in \N$ et $p \in [0,1]$,   
$$S_n = \displaystyle \sum_{k=0}^n k(k-1) \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} .$$ 
On introduit alors le polynôme. $P(X) = \ds \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} X^k (1-p)^{n-k}$. 
\begin{enumerate}
\item Quelle est la forme factorisée de ce polynôme (indice, utiliser le binôme de Newton)
\item Dérivez deux fois le polynôme $P$ de deux façons différentes. 
\item En déduire $S_n$. 
\item On suppose que $Y$ est une variable aléatoire telle que $Y \loi{B}(n,p)$. En s'aidant des calculs précédents, déterminer $E(Y^2)$. (On suppose dans cette question que l'on sait que $E(Y) = np$).   
\item En déduire $V(Y)$. 
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[**]
Résoudre dans $\R[X]$ l'équation : $x^2 P'' - 3x P' + 3P = 0$ d'inconnue $P$. On commencera par étudier le coefficient dominant. 
\end{exo}

\begin{exo}[***]
Soit $E$ l'ensemble des polynômes $P \in \R[X]$ ayant au moins une racine $\alpha \in \R$ et satisfaisant $P(x+1) = P(x)$. 
\begin{enumerate}
\item Montrer que si $P \in E$, pour tout $n \in \N$, $\alpha +n $ est une racine de P.
\item Déduire l'ensemble des polynômes de $E$. 
\end{enumerate}
\end{exo}



%TCIMACRO{\TeXButton{TeX field}{\end{multicols}}}%
%BeginExpansion
%\end{multicols}%
%EndExpansion

\end{document}
