\input{../preambules/preexo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Remplir pour chaque nouvelle feuille
\chead{Feuille d'exercice 11}
\rhead{2020-2021}
\lfoot{}
\cfoot{Continuité de fonctions}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Copier/coller ces deux lignes
%\end{multicols}
%\end{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Début des exercices.

\begin{exo}[Continuité en 0]
Montrer que les fonctions suivantes sont continues en $0$. 
\begin{qmulti}{2}
\item $f: x \to x^2 +3x - 1$
\item  $f(x)= \begin{cases}
1 & si\: x = 0\\
\dfrac{e^x - 1}{x} & si\: x \neq 0
\end{cases}$
\end{qmulti}
\end{exo}

\begin{exo}[Continuité en 0]
\'Etudier la continuité en 0 des fonctions suivantes:
\begin{qmulti}{2}
\item $f(x) = \begin{cases}
0 & si\: x\geq0\\
e^{1/x} & si\: x<0
\end{cases}$
\item $g(x) = \begin{cases}
e^{x} & si\: x<0\\
x^{2} & si\: x\geq0
\end{cases}$
\end{qmulti}
\end{exo}

%\begin{exo}[Continuité et limite de suites]
%Soit $u_n=\frac{1}{n}$ pour $n\geq 1$, $f(x)=e^x$ et $g(x)=\ln(x)$. 
%Déterminer (si elles existent) les limites des suites $\pare{f(u_n)}_{n\geq 1}$ et $\pare{g(u_n)}_{n\geq 1}$.
%\end{exo}

\begin{exo}[Continuité par morceaux]
Montrer que les fonctions suivantes sont continues par morceaux
\begin{qmulti}{2}
\item $f(x) = \begin{cases}
e^x & si\: x < 0\\
0 & sinon
\end{cases}$
\item $f(x) = \begin{cases}
x^2 & si\: x \in [-1;1]\\
0 & sinon
\end{cases}$
\end{qmulti}
\end{exo}

\begin{exo}[Continuité sur un intervalle]
Déterminer sur quels intervalles les  fonctions $f(x)=\exp x+\ln x$,
$g(x)=\sqrt{x^2+1}$, $h(x)=\frac{\ln(x+2)}{x-2}$ sont continues. 
\end{exo}



\begin{exo}[Continuité sur $\R$]
Montrer que les fonctions $f$ et $g$ sont continues sur $\R$.
\begin{qmulti}{2}
\item $f(x)= \begin{cases}
0 & si\: x\geq0\\
e^{1/x} & si\: x<0
\end{cases}$
\item $g(x)=\begin{cases}
\dfrac{e^{x}-1}{x} & si\: x>0\\
1+x & si\: x\leqslant0
\end{cases}$
\end{qmulti}
\end{exo}

\begin{exo}[Prolongement par continuité]
Soit la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x) = \ln \left( \dfrac{e^{2x} - 1}{e^{x}- 1} \right)$. Montrer que la fonction $f$ est prolongeable par continuité en $0$.  
\end{exo}

\begin{exo}[Théorème des valeurs intermédiaires]
On considère la fonction $f(x)=\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}$. Montrer qu'il existe $x \in [-2;2]$ tel que $f(x) = \dfrac{1}{2}$. 
\end{exo}

\begin{exo}[TVI (2)]
Déterminer $\exp([0,1])$, $\ln(]0,1])$ et $f([0,4])$ avec $f(x)=x^2-2x-3$
\end{exo}

\begin{exo}[Corollaire du TVI]
\begin{enumerate}
\item Soit $f(x)=e^x-x-2$. Montrer que l'équation $f(x)=0$ a au moins deux solutions sur $\R$.
\item Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^{3}-3x^{2}+1$
. Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet au moins trois solutions dans l'intervalle$[-1;\:3]$
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
\begin{enumerate}
\item Quelle est l'image de $[-1,3]$ par $f: x\to x^2$ ? Son max ? Son min ?
\item Quelle est l'image du segment $[0;2]$ par la fonction partie entière
? $E([0;2])$ est-il un segment ? Pourquoi ?
\item Quelle est l'image de l'intervalle $[1;+\infty[$ par la fonction
inverse ? Max ? Min ? $f([1;+\infty[)$ est-il un segment ? Pourquoi ?
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Montrer que l'équation $e^{x}+x=0$ admet une unique solution dans
$\mathbb{R}$
\end{exo}

\begin{exo}
On considère la fonction $f$ définie par : $\forall x \in \R_+, f(x) = \ln(2+x^2)$. 
\begin{enumerate}
\item Justifier que $f$ réalise une bijection de $\R_+$ sur un intervalle $J$ à préciser. 
\item Déterminer le tableau de variation et les limites de la fonction réciproque de $f$. 
\item Expliciter la fonction réciproque de $f$. 
\end{enumerate}
\end{exo}

%\begin{exo}[Applications injectives]
%\begin{enumerate}
%\item
% Montrer que l'exp est injective sur $\R$.
%\item
% Soit l'application $f\::\begin{array}{ccc}
%\R[X] & \rightarrow &\R[X]\\
%P & \rightarrow & 2P+1
%\end{array}$. Montrer que \emph{f }est injective sur $\R[X]$.
%\item
% Soit l'application $f\::\begin{array}{ccc}
%\R[X] & \rightarrow &\R[X]\\
%P & \rightarrow & P'
%\end{array}$. Montrer que \emph{f } n'est pas injective sur $\R[X]$.
%\end{enumerate}
%\end{exo}
%
%\begin{exo}[Applications surjectives]
%\begin{enumerate}
%\item
%Montrer que l'application $f$ définie par $f\::\begin{array}{ccc}
%\mathbb{N} & \rightarrow & \mathbb{N}\\
%n & \rightarrow & 3n
%\end{array}$ n'est pas surjective
%\item 
% Soit l'application $f\::\begin{array}{ccc}
%\R[X] & \rightarrow &\R[X]\\
%P & \rightarrow & P'
%\end{array}$. Montrer que \emph{f } est surjective de $\R[X]$ dans $\R[X]$.
%\end{enumerate}
%\end{exo}
%
%\begin{exo}[\'Etude de suites]
%Soit $u$ la suite définie par $u_{n+1}=\dfrac{u_{n}}{u_{n}+1}$
%et $u_{0}>0.$
%\begin{enumerate}
%\item Montrer que : $\forall n\geq 0, u_n\text{ existe et } u_{n}>0.$ 
%\item Montrer que la suite $u$ est décroissante.
%\item La suite est-elle convergente ? Si tel est le cas, calculer sa limite.\end{enumerate}
%\end{exo}

\savoir{Montrer qu'une fonction est continue en un point}
\label{Montrer qu'une fonction est continue en un point}

\begin{exo}
\'Etudier la continuité en $0$ des fonctions :
\begin{qmulti}{2}
\item $f_1(x) = \begin{cases}
\dfrac{\ln(1+x^3)}{x^3} & si\: x>0 \\
1 &  si\: x = 0
\end{cases}$
\item $f_2(x) = \begin{cases}
\dfrac{\exp(2x^2) - 1}{x} & si\: x \neq 0 \\
0 &  si\: x = 0
\end{cases}$
\end{qmulti}
\end{exo}

\begin{exo}[*]
\'Etudier la continuité en $-1$ des fonctions :
\begin{qmulti}{2}
\item $f_3(x) = \begin{cases}
\dfrac{\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}}{x} & si\: x \in ]-1,0[ \\
1 &  sinon
\end{cases}$
\item $f_4(x) = \begin{cases}
\exp \left( - \dfrac{1}{x+1} \right) & si\: x \neq -1 \\
0 &  si\: x = -1
\end{cases}$
\end{qmulti}
\end{exo}

\begin{exo}[*]
 $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=\begin{cases}
e^{x} & si\: x<0\\
x^{2}+1 & si\: x>0
\end{cases}.$ \\

\noindent Montrer que $g$ est continue sur $\R^*$ et prolongeable par continuité sur $\R$. 
\end{exo}

\begin{exo}[**]
Rappeler le domaine de définition de $x \to x^x$. Cette fonction admet-elle un prolongement par continuité en 0 ?
\end{exo}

\savoir{Montrer qu'une fonction est continue sur un intervalle}
\label{Montrer qu'une fonction est continue sur un intervalle}

\begin{exo}
A l'aide de théorèmes généraux, déterminer sur quel intervalle les fonctions suivantes sont continues.
\begin{qmulti}{3}
\item $f_1 (x) = \ln(1+x^2)$
\item $f_2 (x) = \dfrac{\sqrt{x}}{x^2 +1}$ 
\item $f_3(x) = exp \left( x + \dfrac{1}{x} \right)$
\end{qmulti}
\end{exo}

\begin{exo}[*]
A l'aide de théorèmes généraux, déterminer sur quel intervalle les fonctions suivantes sont continues.
\begin{qmulti}{3}
\item $f_4(x) = \sqrt{1 - 4x^2}$
\item $f_5(x) = \ln(2x^2 - x - 1)$
\item $f_6(x) = \dfrac{e^{2x}}{x^2 - 1}$
\end{qmulti}
\end{exo}

\begin{exo}[*]
Montrer que les fonctions suivantes sont continues sur $\R$. 
\begin{qmulti}{2}
\item $f_1(x) = \begin{cases}
\dfrac{\ln(1+x^2)}{x^2} & si\: x \neq 0 \\
1 &  si\: x = 0
\end{cases}$
\item $f_2(x) = \begin{cases}
\dfrac{\exp(2x^2) - 1}{x} & si\: x \neq 0 \\
0 &  si\: x = 0
\end{cases}$
\end{qmulti}
\end{exo}

\begin{exo}[**]
Déterminer si les fonctions suivantes sont prolongeables par continuité en $x_0$ le cas échéant, préciser la valeur en $x_0$ qui rend la fonction continue.
\begin{qmulti}{2}
\item $f_1(x) = \dfrac{2-x}{\sqrt{x-2}}$ en $x_0 = 2$.
\item $f_2(x) = \dfrac{3}{x^3 - 1} - \dfrac{2}{x^2 - 1}$ en $x_0 = 1$. 
\end{qmulti}
{\it Indication : Pour $f_2$, démontrer que $x^3 -1 = (x-1)(x^2 +x + 1)$}
\end{exo}

\newpage
\savoir{Théorème de la bijection}
\label{Théorème de la bijection}

\begin{exo}
Montrer que la fonction définie sur $\mathbb{R}_+^*$ par $f(x)=\ln(x)+x$ est bijective (on précisera $f(\mathbb{R}_+^*)$ )
\end{exo}

\begin{exo}[*]
Montrer que l'équation $3-2x = e^x$ possède une unique solution $\alpha$ dans $\R$. Vérifier que $0 \leq \alpha \leq 1$. Est ce que $\dfrac{1}{2} \leq \alpha \leq 1$ ? (Valeurs numériques : $e = 2.718, \; e^{1/2} \approx 1.648$.)
\end{exo}

\begin{exo}[**]
Soit la fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[0;+\infty[$ par $f(x) = 5 \ln(x+3) - x$. 
\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$ et étudier son signe sur $[0;+\infty[$.
\item Montrer que, pour tout $x >0$, on a $f(x) = x \left( 5 \dfrac{\ln(x)}{x} - 1 \right) + 5 \ln \left( 1 + \dfrac{3}{x} \right)$. En déduire la limite de $f$ en $+ \infty$.
\item Dresser le tableau de variation de $f$ sur l'intervalle $[0; +\infty[.$
\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $[0; +\infty[$. 
\end{enumerate}
\end{exo}

\savoir{Manipuler les fonctions réciproques}
\label{Manipuler les fonctions réciproques}

\begin{exo}
Montrer que $g(x)=e^{-x}$ est bijective sur $\R$ (on précisera $g(\R)$). Déterminer $g^{-1}$. Tracer le tableau de variations complet de la fonction réciproque $g^{-1}$.
\end{exo}

\begin{exo}[*]
La fonction $sh : \R \to \R$ est définie par $sh (x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2} \cdot$
\begin{enumerate}
 \item Montrer que $sh$ est bijective.
 \item Déterminer sa bijection réciproque (résoudre $f(x) = y$ en posant $X = e^x$ et se ramener à une équation du second degré).
\end{enumerate}
\end{exo}

%\begin{exo}[**]
%Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = \frac{x}{1 + |x|} \cdot$
%\begin{enumerate}
% \item Montrer que $f$ réalise une bijection de $\R$ sur un intervalle à déterminer.
% \item Expliciter $f^{-1}$ et dresser son tableau de variations.
%\end{enumerate}
%\end{exo}

\begin{exo}[**]
Pour tout $n \in \mathbb{N}$ avec $n \ge 3$, on pose $f_n(x)=x^n+1-nx.$
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$ avec $n \ge 3$, la fonction $f_n$ est strictement décroissante sur $[0,1]$.
\item Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$ avec $n \ge 3$, l'équation $x^n+1=nx$ possède une unique solution dans l'intervalle $[0,1]$. On la note $x_n$.
\item Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$ avec $n \ge 3$, $\displaystyle{f_n\left(\frac 2 n\right) < f_n(x_n) < f_n\left(\frac 1 n \right)}$ puis que $\displaystyle{\frac 1 n < x_n < \frac 2 n}\cdot$\\
Que peut-on en déduire sur la convergence de la suite $(x_n)_{n \ge 3}$ ?
\item Déterminer $\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} nx_n}$ (on utilisera le fait que pour tout $n \geq 3$, $f_n(x_n)=0$).
\item Étudier le signe de $f_{n+1}(x) - f_n(x)$ pour tout $n \ge 3$ et $x \in [0,1]$. En déduire la monotonie de la suite $(x_n)_{n \ge 3}$.
\end{enumerate}
\end{exo}

%\begin{exo}[Exercice de type concours]
%
%{\bf Partie A : \'Etude d'une fonction auxiliaire} \\
%
%Soit $g$ la fonction définie et dérivable sur $\R$ vérifiant : $g(x) = 2 e^x - x - 2$. 
%\begin{enumerate}
%\item Calculer les limites de $g$ en $- \infty$ et en $+ \infty$.
%\item Calculer $g'(x)$ et étudier son signe.
%\item Dresser le tableau de variations de $g$.
%\item Justifier que l'équation $g(x) = 0$ possède deux solutions, notée $\alpha$ et $\beta$, avec $\alpha < \beta$.
%\item Vérifier que $-2 < \alpha < -1$ et que $\beta = 0$.
%\item A l'aide des questions précédentes, dresser le tableau de signes de $g(x)$ sur $\R$.
%\end{enumerate}
%
%{\bf Partie B : \'Etude de la fonction principale.} \\
%
%Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = e^{2x} - (x+1)e^x$. 
%\begin{enumerate}
%\item Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$ et interpréter graphiquement le résultat.
%\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$. 
%\item Montrer que $f'(x) = e^x g(x)$. En déduire le tableau de variations de $f$. 
%\item Montrer que $f(\alpha) = - \dfrac{\alpha^2 + 2 \alpha}{4}$ où $\alpha$ est défini dans la partie $A$. Justifier que $0 < f(\alpha) <  \dfrac{1}{4}$ (on pourra étudier les variations de $x \to x^2 +2x$). 
%\item Donner l'allure de la courbe représentative de $f$.  
%\end{enumerate}
%\end{exo}

\vspace{50pt}


%\begin{exo}[D'après HEC]
%Soit la fonction définie sur $]0, +\infty[$ par $f(x) = x + \ln(x)$.
%\begin{enumerate}
%\item Prouver que $f$ est une bijection strictement croissante de $]0;+\infty[$ sur $\R$.
%\item \begin{enumerate}
%\item Pour tout $n \in \N^*$, montrer que l'équation $x + \ln(x) = n$ possède une unique solution, que l'on notera $x_n$. 
%\item Calculer $x_1$. \'Etudier la monotonie et la convergence de la suite $(x_n)$. 
%\end{enumerate}
%\item \begin{enumerate}
%\item Pour tout $n \in \N^*$, comparer $f(n)$ et $n$. En déduire que $x_n \leq n$. 
%\item En déduire que : pour tout $n \in \N^*, n - \ln(n) \leq x_n$. 
%\item Déterminer ;
%$$
%\li_{n \to + \infty} \dfrac{x_n}{n}
%$$
%\end{enumerate}
%\end{enumerate}
%\end{exo}

%\begin{exo}[Méthode de dichotomie]
%On considère les suites $a_n$ et $b_n$ définies par la méthode de dichotomie (cf chapitre 9)
%\begin{enumerate}
%\item Montrer que les suites $(a_{n})$ et $(b_{n})$ sont adjacentes
%(on pourra démontrer par récurrence que, $\forall n\in\mathbb{N}$
%, $b_{n}-a_{n}=\dfrac{b-a}{2^{n}}$).
%\item Montrer que la limite $\alpha$ de ces suites vérifie $f(\alpha) = 0$ 
%\end{enumerate}
%\end{exo}


\end{document}
