\input{../preambules/preexo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Remplir pour chaque nouvelle feuille
\chead{Feuille d'exercice 10}
\rhead{2020-2021}
\lfoot{}
\cfoot{Systèmes linéaires}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Copier/coller ces deux lignes
%\end{multicols}
%\end{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Début des exercices.
\begin{exo} Résoudre les systèmes suivants:
\begin{itemize}
\item Système à deux équations et deux inconnues - $(S_{1})\::\:\begin{cases}
2x+y=4\\
x-y=2
\end{cases}$
\item Système homogène à deux équations et trois inconnues - $
(S_{2})\::\:\begin{cases}
2x+y-2z=0\\
x+y+z=0
\end{cases} $
\item Système à trois équations et deux inconnues - $
(S_{3})\::\:\begin{cases}
2x+y=4\\
x-y=1\\
x+y=2
\end{cases}
$
\end{itemize}
\end{exo}


\begin{exo}
Exprimer les systèmes de l'exercice 1 sous forme matricielle. 
\end{exo}

\begin{exo}[Résolution d'un système de Cramer]
Résoudre le système suivant en utilisant la forme matricielle. $
(S_{4})\::\:\begin{cases}
4x + 2y=3\\
5x + 3y=1
\end{cases}$ 
\end{exo}

\begin{exo}[Systèmes échelonnés]
Résoudre les systèmes échelonnés suivants
\[
(S_{5})\::\: \left\{
\begin{array}{rcl}
x+y&=&2\\
y&=&1
\end{array} \right.
\qquad \qquad \qquad (S_{6})\::\: \begin{cases}
2x-y+3z&=1\\
\hspace{0.9cm}y-z&=-1 \\
\hspace{1.5cm} z & = 1
\end{cases}
\]
\end{exo}

\begin{exo}[Systèmes échelonnés]
Résoudre les systèmes échelonnés suivants
\[
(S_{7})\::\: \left\{
\begin{array}{rcl}
x+y + z&=&4\\
y + 2z &= &3 \\
3z & = &6
\end{array} \right.
\qquad \qquad \qquad (S_{8})\::\: \left\{
\begin{array}{rcl}
x + y + z&=&4\\
 2z &= &3 \\
3z & = &6
\end{array} \right.
\]
\end{exo}

\begin{exo}[Plus d'équations que d'inconnues]
Résoudre les systèmes suivants
$$
(S_8)\::\:\begin{cases}
2x+y=4\\
\quad\; y=0\\
x+y=0
\end{cases}
\qquad \qquad \qquad (S_9) \: : \:
\begin{cases}
x+2y=3\\
x=1\\
x+y=2
\end{cases}$$
\end{exo}

\begin{exo}[Plus d'inconnues que d'équations]
\[
(S_{10})\::\:\begin{cases}
x+y+z=2\\
\qquad y+3z=0
\end{cases}
\qquad \qquad \qquad (S_{11})\::\:\begin{cases}
2x+y-2z=0\\
\qquad 2y-z=1
\end{cases}
\]
\end{exo}

\begin{exo}[Transformation de système]
Transformer ce système en un système échelonné à
partir d'opérations élémentaires - $(S_{12}) \::\: \begin{cases}
x+2y+z=3\\
x-2y+3z=1\\
2x+y+5z=2
\end{cases}
$
\end{exo}

\begin{exo}[Pivot de Gauss (1)]
Utilisez la méthode du pivot de Gauss pour résoudre le système - $(S_{13}) \::\: \begin{cases}
x-y+2z=2 \\
2x+y-z=1\\
x+y+z=1
\end{cases}$
\end{exo}

\begin{exo}[Pivot de Gauss (2)]
Utilisez la méthode du pivot de Gauss pour résoudre le système
$$(S_{14}) \::\: \begin{cases}
2x+y-3z=1\\
x+2y+z=-1\\
2x+3y-z=2
\end{cases}$$
\end{exo}

\begin{exo}[Matrice inversible]
La matrice suivante est-elle inversible : $A = \begin{pmatrix}
1 & 3  & 4 \\
1 & 5 & -1 \\
2 & 6 & 8 \\
\end{pmatrix}$
\end{exo}

\begin{exo}[Inverse de matrice]
Résoudre le système suivant en calculant l'inverse de la matrice associée.

\[
(S)\::\:\begin{cases}
x-2y+z & =-3\\
2x+y+3z & =13\\
4x-2y+5z & =10
\end{cases}
\]
\end{exo}



\label{Résolution de système}
\savoir{Résolution de système}

\begin{exo}
Résoudre  le système suivant $\quad\left\{\begin{array}{rrr @{\quad =\quad} r}
2x&+&3y& 1\\
5x&+&7y&3
\end{array}\right.$
\end{exo}

\begin{exo}[*]
Résoudre les systèmes suivants :
\begin{qmulti}{2}
\item
$\quad\left\{\begin{array}{rrr @{\quad =\quad} r}
2x&+&3y& 3\\
x&-&2y& 5\\
2x&+&y&1
\end{array}\right.$


\item

$\quad\left\{\begin{array}{rrrrr @{\quad =\quad} r}
2x&+&3y&-&2z& 5\\
2x&+&3y&-&z&4\\
2x&-&y&+&2z&0
\end{array}\right.$
\end{qmulti}
\end{exo}

\begin{exo}[**]
Résoudre le système suivant : $\left\{\begin{array}{rcl}
5x-10y-z-7t &=&0\\
x-2y+z-t &=&0\\
2x-4y-z-3t &=& 0\\
x-2y+4z &=&0.
\end{array}\right.$
\end{exo}

\label{Inversion de matrice}
\savoir{Inversion de matrice}

\begin{exo}
Inverser la matrice $A = \begin{pmatrix}
2 & 3 \\
1 & 0 
\end{pmatrix}$ en utilisant les opérations élémentaires sur les lignes. Vérifier votre résultat en utilisant le théorème relatif à l'inverse de matrices de $\M_2(\R)$.
\end{exo}

\begin{exo}[*]
\emph{Les trois questions sont indépendantes}
\begin{enumerate}
\item Montrer que la matrice carrée $A=\left(\begin{array}{ccc}
2 & 7 & 3\\
3 & 9 & 4\\
1 & 5 & 3
\end{array}\right)$ est inversible et calculer son inverse


(en utilisant des opérations élémentaires sur les matrices)

\item Montrer que la matrice $C={\begin{pmatrix}{3} & {-2} & {0}\\
{1} & {0} & {0}\\
{0} & {1} & {0}
\end{pmatrix}}$ n'est pas inversible
\item {}

\begin{enumerate}
\item Calculer l'inverse de la matrice $M=\left(\begin{array}{ccc}
3 & 2 & -1\\
1 & -1 & 1\\
2 & -4 & 5
\end{array}\right)$. 
\item En déduire les solutions du système linéaire: $\begin{cases}
3x+2y-z & =5\\
x-y+z & =1\\
2x-4y+5z & =-3
\end{cases}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exo}

\label{Résolution de système à paramètre}
\savoir{Résolution de système à paramètre}

\begin{exo}[*]
On donne le système suivant : ($m$ est un réel donné)

\[
(S)\::\;\begin{cases}
x+my=1\\
mx+y=1
\end{cases}
\]
 
\begin{enumerate}
\item Pour quelles valeurs du paramètre réel $m$ le système (S) est de
Cramer?
\item Résoudre ce système
\end{enumerate}
\end{exo}

%\begin{exo}[Calcul de l'inverse]
%\begin{enumerate}
%\item Résoudre en fonction des paramètres $a,b,c$ le système $(S):\left\{ \begin{array}{c}
%x-y+z=a\\
%x+2y+z=b\\
%x+y+2z=c
%\end{array}\right.$
%\item En déduire que la matrice $A=\left(\begin{array}{lll}
%1 & -1 & 1\\
%1 & 2 & 1\\
%1 & 1 & 2
%\end{array}\right)$ est inversible et donner $A^{-1}.$ \end{enumerate}
%\end{exo}


\begin{exo}[**]
\begin{enumerate}
\item
On considère le système $(E_{\lambda }):\left\{ 
\begin{array}{l}
{(1-\lambda )x+y+z=0} \\ 
{x+(1-\lambda )y+z=0} \\ 
{x+y+(1-\lambda )z=0}%
\end{array}%
\right. $ où $\lambda \in \mathbb{R}.$

\begin{enumerate}
\item Pour quelles valeurs de $\lambda $, le système $(E_{\lambda })$ est-il de
Cramer ?

\item Résoudre le système selon les valeurs de $\lambda $.
\end{enumerate}
\item
On considère le système $(E_{\lambda }):\left\{ 
\begin{array}{l}
{-2x-2y+z=\lambda x } \\ 
{-2x+y-2z=\lambda y} \\ 
{x-2y-2z=\lambda z}%
\end{array}%
\right. $ où $\lambda \in \mathbb{R}.$

\begin{enumerate}
\item Pour quelles valeurs de $\lambda $, le système $(E_{\lambda })$ est-il de
Cramer ?

\item Résoudre le système selon les valeurs de $\lambda $.
\end{enumerate}


\end{enumerate}
\end{exo}


\end{document}
