\input{../preambules/preexo.tex}
\chead{Feuille d'exercice n°1}
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\begin{exo}[Quantificateurs]
Soit $f$ une fonction de $\R$ dans $\R$. Écrire les phrases suivantes à l'aide des quantificateurs et des connecteurs ou en langage courant.
\begin{enumerate}
\item Pour tous réels $a$ et $b$, il existe un réel compris entre $a$ et $b$. 
\item Il existe un entier compris entre $\sqrt{2}$ et $\pi$.
\item $\exists M\in \R, \forall x \in \R, \; f(x) \leq M$.
\item $\exists ! x \in [0,1], f(x) = 0$.
\end{enumerate}
\end{exo}


\begin{exo}[Tracer une courbe]
Tracer les courbes d'équation
\begin{qmulti}{3}
\item $y = 3$
\item $y = 2x +1$
\item $y = 2x^2 - 1$
\end{qmulti}
\end{exo}

\begin{exo}[Fractions]
Résoudre dans $\R$ les équations ou inéquations suivantes :
\begin{qmulti}{3}
\item $\dfrac{2x -1}{x^2 + 1} = 2$.
\item $\dfrac{x+2}{x+1} = \dfrac{x}{x+2}$.
\item $\dfrac{x+2}{x+1} < \dfrac{x}{x+1}$.
\end{qmulti}
\end{exo}

\begin{exo}[Racines Carrées]
Résoudre dans $\R$ les équations ou inéquations suivantes :
\begin{qmulti}{3}
\item $\sqrt{x^2+9} = 5$.
\item $\sqrt{x-4} > 2$.
\item $\sqrt{x+5} > -1$.
\end{qmulti}
\end{exo}


\begin{exo}[Valeur absolue]
Résoudre dans $\R$ les équations ou inéquations suivantes :
\begin{qmulti}{3}
\item $|x+1|=2$.
\item $ |2x +3| - | 2 - x| =  1$.
\item $|x| >2$
\end{qmulti}
\end{exo}

\begin{exo}[Puissance]
\'Ecrire les résultats sous la forme $3^n$
\begin{qmulti}{3}
\item $A = 9 \times 3^k$
\item $B = \dfrac{3^k}{9}$
\item $C = \dfrac{(3\sqrt{3})^4}{(3^2 \times 3)^2}$
\end{qmulti}
\end{exo}

\begin{exo}[Fonction partie entière]
Trouver le plus petit entier $n$ tel que 
$$\left( \dfrac{1}{4} \right)^n < 10^{-4}$$
\end{exo}

\begin{exo}[Domaines de définitions]
Donner les ensembles de définition des fonctions suivantes.
\begin{qmulti}{3}
\item $f : x \to \dfrac{1}{x^3 - 2x}$ 
\item $g : x \to \sqrt{x-2}$ 
\item $h : x \to \ln(x^2 -4) $.
\end{qmulti}
\end{exo}	

\label{Déterminer le domaine de définition}
\savoir{Déterminer le domaine de définition}

\begin{exo}
Donner les ensembles de définition des fonctions suivantes.
\begin{qmulti}{3}
\item $f : x \to \dfrac{1}{x^2 - 3x -4}$ 
\item $g : x \to \sqrt{x^2 + 1}$ 
\item $h : x \to \ln(e^x - 1) $.
\end{qmulti}
\end{exo}	

\begin{exo}[*]
Donner les ensembles de définition des fonctions suivantes.
\begin{qmulti}{3}
\item $\displaystyle f : x \to \frac{1}{\sqrt{x-1}}$ 
\item $g : x \to \ln(x)\sqrt{x-2}$ 
\item $h : x \to \ln \left( \dfrac{x+3}{x-1} \right) $.
\end{qmulti}
\end{exo}	

\begin{exo}[**]
Donner les ensembles de définition des fonctions suivantes.
\begin{qmulti}{2}
\item $ f: x \to \ln \left( \dfrac{e^x -1}{x} \right)$
\item $ g: x \to \sqrt{x^2 - p^2}$, $p \in \R$.
\end{qmulti}
\end{exo}

\label{Manipuler les quantificateurs}
\savoir{Manipuler les quantificateurs}

\begin{exo}[Quantificateurs et fonction]
Soient $f$ une fonction de $\R$ dans $\R$. Relier les expressions suivantes avec leur version en utilisant les quantificateurs :\\
\begin{center}
\begin{tabular}{rcccl}
$f$ ne s'annule jamais. & $\bullet$ & \hspace{15pt} &  $\bullet$ & $\forall x \in \R, \; f(x) = f(-x)$. \\
$f$ est positive & $\bullet$ & &  $\bullet$ & $\exists x \in \R, \; f(x) \neq 0$. \\
$f$ est croissante. & $\bullet$ & &  $\bullet$ & $\forall x \in \R, \; f(x) \neq 0$. \\
$f$ est strictement d\'ecroissante. & $\bullet$ & &  $\bullet$ & $\forall (x,y) \in \R^2, \; x>y \Rightarrow f(x) \geq  f(y)$. \\
$f$ n'est pas la fonction nulle & $\bullet$ & &  $\bullet$ & $\exists ! x \in \R, \; f(x) = 0$. \\
L'équation $f(x) = 0$ a  & \multirow{2}{*}{$\bullet$} & & \multirow{2}{*}{ $\bullet$} & \multirow{2}{*}{$\forall x \in \R, \; f(x) = -f(-x)$.} \\
exactement une solution & & & & \\
$f$ est une fonction impaire. & $\bullet$ & \hspace{20pt} &  $\bullet$ & $\forall (x,y) \in \R^2, \; x>y \Rightarrow f(x) < f(y)$. \\
$f$ est une fonction paire. & $\bullet$ & \hspace{20pt} &  $\bullet$ & $\forall x \in \R, \; f(x) \geq 0$. \\
\end{tabular}
\end{center}
\end{exo}

\begin{exo}[**]
Démontrer les propriétés suivantes.
\begin{qmulti}{2}
\item $\forall x \in \R_+, \exists ! y \in \R_+, x = y^2$.
\item $\exists x \in \R, \forall y \in \R, y^2 \geq x$.
\end{qmulti}
\end{exo}

\vspace{10pt}

\label{Manipuler les valeurs absolues}
\savoir{Manipuler les valeurs absolues}

\begin{exo}
Résoudre dans $\R$ les équations et inéquations suivantes
\begin{qmulti}{3}
\item $|x| = 5$ 
\item $|x+1| - 1 = |x-1|$
\item $|x+1| \leq 3$
\end{qmulti}
\end{exo}

\begin{exo}[*]
Résoudre dans $\R$ les équations et inéquations suivantes
\begin{qmulti}{3}
\item $|x^2 - 1| + |x-3| = 4$
\item $|5x + 3| > -4$
\item $|2x - 1| \leq |x - 1|$
\end{qmulti}
\end{exo}

\begin{exo}[**]
Soit $x \in \R \setminus \left\{ -1, 1\right\}$. Montrer que la dérivée de la fonction $f : x \to \ln (|x^2 -1|)$ est 
$$f'(x) = \dfrac{2x}{x^2 - 1}.$$
\end{exo}

\label{Manipuler la fonction partie entière}
\savoir{Manipuler la fonction partie entière}

\begin{exo}
Trouver le plus petit entier $n$ tel que $\left( \dfrac{1}{2} \right)^n < 10^{-6}$
\end{exo}

\begin{exo}[*]
Soit une suite $(u_n)$ vérifiant $|u_n - e| < \left( \dfrac{1}{3} \right)^n$.  Déterminer un entier $n$ tel que $u_n$ soit une valeur approchée de $e$ à $10^{-3}$ près.
\end{exo}

\begin{exo}[**]
Calculez selon les valeurs de $x \in \R$
$$G(x) = \lfloor x \rfloor + \lfloor -x \rfloor.$$
\end{exo}

\begin{exo}[***]
Montrer que, $
\forall x, y \in \R, \quad \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor \leq \lfloor x+y \rfloor
$
\end{exo}


%TCIMACRO{\TeXButton{TeX field}{\end{multicols}}}%
%BeginExpansion
%\end{multicols}%
%EndExpansion

\end{document}
