\input{../preambules/preDS.tex}
\usepackage{paralist}
\usepackage{enumitem}
\newenvironment{noliste}[1] %
{\begin{enumerate}[\bfseries\small\itshape #1]} %
  {\end{enumerate}}
\newcommand{\B}{\mathscr{B}}
\def\matrice#1#2{\left[\begin{array}{#1}#2\end{array}\right]}
\def\t#1{\,^{t}{#1}}
\def\et{\quad \textrm{et} \quad}
%%%%%%%%%%% Numéro du DS à remplir %%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\num}{2B}
\AtEndDocument{\label{lastpage}}
\chead{SIGMA n°\num}

\begin{document}
\hrule
\vspace{5pt}
\noindent {\bf Durée :} 4 heures \\
Aucune sortie autorisée durant la première heure et le dernier quart d'heure. 
\pagestyle{fancy}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\cfoot{\thepage\ / {\bf 5}\ }
\setlength\parindent{0cm}
\vspace*{30pt}
\fancyfoot[C]{\thepage/\pageref{lastpage}}


\begin{center}
%{\LARGE \textbf{DEVOIR SURVEILLE N°\num}}

\bigskip\bigskip

{\large \textsc{CONCOURS D ADMISSION SIGMA n°2B 2021}}

%\bigskip

{\large \textbf{Concepteur : M Leboucher}}

\bigskip

\rule{2.39cm}{0.05cm}

\bigskip

{\Large \textbf{OPTION ÉCONOMIQUE}}

\bigskip

{\Large \textbf{MATHÉMATIQUES}}

\bigskip

{\Large Vendredi 8 Janvier 2021 - De 8h à 12h}

\bigskip

\rule{2.39cm}{0.05cm}
\end{center}

\textit{La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la
rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part
importante dans l'appréciation des copies.}

\textit{Les candidats sont invités à \textbf{encadrer} dans la mesure du
possible les résultats de leurs calculs.}

\textit{Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute
\textbf{calculatrice} et de tout matériel électronique est \textbf{interdite}.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.}

\textit{Si au cours de l'épreuve un candidat repère ce qui lui semble être une
erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en
expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.}
\\

\textit{Il est conseillé de rédiger chaque exercice sur une copie différente.}

\vspace{40pt}
\hrule



\newpage
\section*{Exercice 1 - Inspiré HEC 2019}
\begin{enumerate}
		\item Dans cette question, on considère les matrices $C = \matrice{c}{0 \\ 1 \\ 2} \in \mathcal{M}_{3,1}(\R)$, $L = [1,2,-1] \in \mathcal{M}_{1,3}(\R)$ et le produit matriciel $M = CL$.
		
		\begin{enumerate}
			\item 
			\begin{enumerate}
				\item Calculer $M$ et $M^2$.
				\item Pour $X = \matrice{c}{x \\y \\ z} \in \mathcal{M}_{3,1}(\R)$, résoudre $MX= 0$. La matrice $M$ est-elle inversible ? 
			\end{enumerate}

			\item 
			\begin{enumerate}
				\item Soit $P = \matrice{ccc}{0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 1}$. Justifier que $P$ est inversible et calculer le produit $P \matrice{c}{0 \\ 1 \\ 2}$.
				
				\item Trouver une matrice inversible $Q$ dont la transposée $\t Q$ vérifie~: $\t Q \matrice{c}{1 \\ 2 \\ -1} = \matrice{c}{1 \\ 0 \\ 0}$.
				
				\item Pour une telle matrice $Q$, calculer le produit $PMQ$.
			\end{enumerate}
		\end{enumerate}
		
		\item La fonction \emph{Scilab} suivante permet de multiplier la $i$-ème ligne $L_i$ d'une matrice $A$ par un réel sans modifier ses autres lignes, c'est-à-dire de lui appliquer l'opération élémentaire $L_i \leftarrow aL_i$ (où $a \neq 0$).
		
			\begin{verbatim}
function B=multlig(a,i,A)
    [n,p] = size(A)
    B = A
    for j=1:p
        B(i,j)=a*B(i,j)
    end
endfunction
			\end{verbatim}
			
			\begin{enumerate}
				\item Donner le code \emph{Scilab} de deux fonctions {\tt{addlig}} (d'arguments {\tt{b, i, j, A}}) et {\tt{echlig}} (d'arguments {\tt{i,j,A}}) permettant d'effectuer respectivement les deux autres opérations élémentaires sur les lignes d'une matrice~: 
					$$L_i \leftarrow L_i + b_j L_j (i \neq j) \et L_i \leftrightarrow L_j (i \neq j).$$
					
				\item Expliquer pourquoi la fonction \tt{multligmat} suivante retourne le même résultat \tt B que la fonction \tt{multlig}.
				
					\begin{verbatim}
function B = multligmat(a,i,A)
	[n,p] = size(A)
	D = eye(n,n)
	D(i,i) = a
	B = D*A
endfunction
					\end{verbatim}
			\end{enumerate}
			
		\item Dans cette question, on note $n$ un entier supérieur ou égal à 2 et $M$ une matrice de $\mathcal{M}_n(\R)$ qui vérifie la propriété suivante : 
	Il existe une matrice-colonne non nulle $C = \matrice{c}{c_1 \\ \vdots \\ c_n} \in \mathcal{M}_{n,1}(\R)$ et d'une matrice-ligne non nulle $L = [\ell_1, \ldots, \ell_n] \in \mathcal{M}_{1,n}(\R)$ telles que $M = CL$	
		
			\noindent Pour tout couple $(i,j) \in {\entier{ 1, n}}^2$, on note $E_{i,j}$ la matrice de $\mathcal{M}_n(\R)$ dont tous les coefficients sont nuls sauf celui situé à l'intersection de sa $i$-ème ligne et de sa $j$-ème colonne, qui vaut 1.
\begin{enumerate}					
	\item Calculer la matrice $MC$. En déduire qu'il existe $\lambda \in \R$, tel que $MC = \lambda C$. 					
	\item Soit $X = \matrice{c}{x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n} \in \mathcal{M}_{n,1}(\R)$. En utilisant l'égalité $M = CL$, résolvez l'équation $MX = 0$. 
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 2 - Inspiré ESC 2001}

\bigskip On consid\`{e}re la fonction f d\'{e}finie sur [ 0 ; 1 ] par $%
f\left( {x}\right) =2xe^{x}$

\begin{enumerate}
\item  \bigskip Montrer que $f$ r\'{e}alise une bijection de [ 0 ; 1 ] sur
un ensemble que l'on d\'{e}terminera.

\bigskip On note $f^{-1}$ la bijection r\'{e}ciproque de $f$. Donner les
tableaux des variations de $f$ et de $f^{-1}$

\item  V\'{e}rifier qu'il existe dans [ 0 ; 1 ] un et un seul r\'{e}el
not\'{e} $\alpha $ tel que $\alpha e^{\alpha }=\,1$.

\bigskip Montrer que $\alpha \ne 0$.

On d\'{e}finit la suite $\left( u_{n}\right) _{n\,\in \,\Bbb{N}}$ par: 
\[
\left\{ 
\begin{array}{c}
u_{0}=\alpha  \\ 
\forall n\in \Bbb{N},\,\,u_{n+1}=f^{-1}\left( u_{n}\right) 
\end{array}
\right. 
\]

\item  Montrer que pour tout entier naturel \textit{n, }$u_{n}$ existe et $%
u_{n}\in \left] 0,1\right] $

\item  Montrer que pour tout r\'{e}el \textit{x} de [ 0 ; 1 ] , $f\left( {x}%
\right) -x\ge 0$. V\'{e}rifier que l'\'{e}galit\'{e} ne se produit que pour $%
x=0$.

\item  En d\'{e}duire que la suite $\left( u_{n}\right) _{n\,\in \,\Bbb{N}}$
est strictement d\'{e}croissante.

\item  On pose pour tout entier naturel \textit{n} : $\displaystyle
S_{n}=\sum\limits_{k=0}^{n}u_{k}$

\begin{enumerate}
\item  Montrer que pour tout entier naturel \textit{n} :$\quad 
\displaystyle
u_{n+1}=\frac{1}{2}u_{n}\,e^{-u_{n+1}}$

\item  En d\'{e}duire par r\'{e}currence que pour tout entier naturel 
\textit{n}, $\quad \displaystyle
u_{n}=\frac{e^{-S_{n}}}{2^{n}}$

\item  Montrer que $u_{n}\le \left( \frac{1}{2}\right) ^{n}$.

\item En d\'{e}duire que la limite de la suite $(u_n)$ est 0. (Indication : On pourra appliquer le théorème des gendarmes aux suites, résultat que l'on verra plus tard).  

\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\subsection*{Problème - Inspiré EDHEC 2017}
{\bfseries {\itshape Partie 1 : étude d'une variable aléatoire}}\\
Les sommets d'un carré sont numérotés 1, 2, 3, et 4 de telle façon que les côtés du carré relient le sommet 1 au sommet 2, le sommet 2 au sommet 3, le sommet 3 au sommet 4 et le sommet 4 au sommet 1.\\
Un mobile se déplace aléatoirement sur les sommets de ce carré selon le protocole suivant :\\
$\bullet$ Au départ, c'est à dire à l'instant $0$, le mobile est sur le sommet 1.\\
$\bullet$ Lorsque le mobile est à un instant donné sur un sommet, il se déplace à l'instant suivant sur l'un quelconque des trois autres sommets, et ceci de façon équiprobable.\\
Pour tout $n \in \N$, on note $X_n$ la variable aléatoire égale au numéro du sommet sur lequel se situe le mobile à l'instant $n$. D'après le premier des deux points précédents, on a donc $X_0=1$.
\begin{enumerate}
\item Donner la loi de $X_1$, ainsi que l'espérance $E(X_1)$ de la variable $X_1$.

\item Montrer que la loi de $X_2$ est donnée par :
$$P(X_2=1)=\dfrac13 \quad P(X_2=2)=P(X_2=3)=P(X_2=4)=\dfrac29$$
\item Pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 2, donner, en justifiant, l'ensemble des valeurs prises par $X_n$.

\item
\begin{enumerate}
\item Utiliser la formule des probabilités totales pour établir que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 2, on a :
$$P(X_{n+1}=1)=\dfrac13\left(P(X_n=2)+P(X_n=3)+P(X_n=4)\right)$$
\item Vérifier que cette relation reste valable pour $n=0$ et $n=1$.
\item Justifier que, pour tout $n$ de $\N$, on a $P(X_n=1)+P(X_n=2)+P(X_n=3)+P(X_n=4)=1$ et en déduire l'égalité :
$$\forall n \in \N \qquad P(X_{n+1}=1)=-\dfrac13 P(X_n=1)+\dfrac13$$
\item \'Etablir alors que : \qquad $\forall n \in \N \quad P(X_n=1)=\dfrac14+\dfrac34\left(-\dfrac13\right)^n$.
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item En procédant de la même façon qu'à la question précédente, montrer que l'on a :
$$\forall n \in \N \quad P(X_{n+1}=2)=\dfrac13\left( P(X_n=1)+P(X_n=3)+P(X_n=4)\right)$$
\item En déduire une relation entre $P(X_{n+1}=2)$ et $P(X_n=2)$.
\item Montrer enfin que : \quad $\forall n \in \N \quad P(X_n=2)=\dfrac14-\dfrac14\left(-\dfrac13\right)^n$.
\end{enumerate}
\item On admet que, pour tout entier naturel $n$, on a :
$$P(X_{n+1}=3)=-\dfrac13 P(X_n=3)+\dfrac13 \quad \hbox{ et } \quad P(X_{n+1}=4)=-\dfrac13 P(X_n=4)+\dfrac13$$
En déduire sans calcul que :
$$\forall n \in  \N \qquad P(X_n=3)=P(X_n=4)=\dfrac14-\dfrac14\left(-\dfrac13\right)^n$$
\item Déterminer, pour tout entier naturel $n$, l'espérance $E(X_n)$ de la variable aléatoire $X_n$.
\end{enumerate}
\par \vspace{0.5cm}

{\bfseries {\itshape Partie 2 : calcul des puissances d'une matrice $A$}}
\par \medskip \noindent
Pour tout $n$ de $\N$, on considère la matrice-ligne de ${\cal M}_{1,4}(\R)$ :
$$U_n=\begin{pmatrix}P(X_n=1)&P(X_n=2)&P(X_n=3)&P(X_n=4)\end{pmatrix}$$
\begin{enumerate}[resume]
\item  
\begin{enumerate}
\item Montrer (grâce à certains résultats de la partie 1) que, si l'on pose $A=\dfrac13\begin{pmatrix}0&1&1&1\\1&0&1&1 \\1&1&0&1\\1&1&1&0\end{pmatrix}$, on a : \qquad $\forall n \in \N \quad U_{n+1} = U_n \ A$.
\item \'Etablir par récurrence que : \qquad $\forall n \in \N \quad U_n=U_0 \  A^n$.
\item En déduire la première ligne de $A^n$.
\end{enumerate}

\item Expliquer comment choisir la position du mobile au départ pour trouver les trois autres lignes de la matrice $A^n$, puis écrire ces trois lignes.
\end{enumerate}
\par \vspace{0.5cm}

{\bfseries {\itshape Partie 3 : une deuxième méthode de calcul des puissances de 
$A$}}
\par \medskip \noindent
On considère les matrices $I$ et $J$ suivantes : \quad $I=\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}$ et $J=\begin{pmatrix}1&1&1&1\\1&1&1&1\\1&1&1&1\\1&1&1&1\end{pmatrix}$.
\begin{enumerate}[resume]
\item Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que $A=aI+bJ$.
\item
\begin{enumerate}
\item Calculer $J^2$ puis établir que, pour tout entier naturel $k$ non nul, on a : \quad $J^k=4^{k-1} J$.
\item À l'aide de la formule du binôme de Newton, en déduire, pour tout entier $n$ non nul, l'expression de $A^n$ comme combinaison linéaire de $I$ et $J$.
\item Vérifier que l'expression trouvée reste valable pour $n=0$.
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\par \vspace{0.5cm}
{\bfseries {\itshape Partie 4 : informatique}}\\
\begin{enumerate}[resume]
\item \'Ecrire un script Scilab qui permet de demander à l'utilisateur d'entrer un entier $n$ et qui affiche la valeur de $U_n$ en utilisant la matrice $A$. 

\remarque{Cette dernière partie était normalement différente mais hors programme de première année.}

\end{enumerate}

\end{document}