\input{../preambules/preDS.tex}
\usepackage{paralist}
\newenvironment{noliste}[1] %
{\begin{enumerate}[\bfseries\small\itshape #1]} %
  {\end{enumerate}}
\newcommand{\B}{\mathscr{B}}
%%%%%%%%%%% Numéro du DS à remplir %%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\num}{2A}
\AtEndDocument{\label{lastpage}}
\chead{SIGMA n°\num}

\begin{document}
\hrule
\vspace{5pt}
\noindent {\bf Durée :} 4 heures \\
Aucune sortie autorisée durant la première heure et le dernier quart d'heure. 
\pagestyle{fancy}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\cfoot{\thepage\ / {\bf 5}\ }
\setlength\parindent{0cm}
\vspace*{30pt}
\fancyfoot[C]{\thepage/\pageref{lastpage}}


\begin{center}
%{\LARGE \textbf{DEVOIR SURVEILLE N°\num}}

\bigskip\bigskip

{\large \textsc{CONCOURS D ADMISSION SIGMA n°2A 2021}}

%\bigskip

{\large \textbf{Concepteur : M Leboucher}}

\bigskip

\rule{2.39cm}{0.05cm}

\bigskip

{\Large \textbf{OPTION ÉCONOMIQUE}}

\bigskip

{\Large \textbf{MATHÉMATIQUES}}

\bigskip

{\Large Lundi 4 Janvier 2021 - De 8h à 12h}

\bigskip

\rule{2.39cm}{0.05cm}
\end{center}

\textit{La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la
rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part
importante dans l'appréciation des copies.}

\textit{Les candidats sont invités à \textbf{encadrer} dans la mesure du
possible les résultats de leurs calculs.}

\textit{Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute
\textbf{calculatrice} et de tout matériel électronique est \textbf{interdite}.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.}

\textit{Si au cours de l'épreuve un candidat repère ce qui lui semble être une
erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en
expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.}
\\

\textit{Il est conseillé de rédiger chaque exercice sur une copie différente.}

\vspace{40pt}
\hrule



\newpage
\section*{Exercice 1 - Inspiré d'ECRICOME 2020}

\noindent
Dans cet exercice, on désigne par $\M_{3}$ l'ensemble des matrices
réelles carrées d'ordre $3$, et on note $I_3$ la matrice identité de
$\M_{3}$. Soit $a$ un réel; on pose $M =
\begin{pmatrix}
  2 & a-1 & -1 \\
  1-a & a & a-1 \\
  1 & a-1 & 0
\end{pmatrix}
$.

\subsection*{Partie A : Étude du cas où $a = 1$}

\noindent
Dans toute cette partie, on suppose que $a = 1$.
\begin{noliste}{1.}
  \setlength{\itemsep}{4mm}
\item Expliciter la matrice $M$, puis calculer $(M - I_3)^2$.
  
\item La matrice $M$ est-elle inversible ? Si oui, donnez son inverse. 
  
\end{noliste}

\subsection*{Partie B : Étude du cas où $a = 0$}

\noindent
Dans cette partie, on suppose que $a = 0$.
\begin{noliste}{1.}
  \setlength{\itemsep}{4mm} %
  \setcounter{enumi}{2}
\item Déterminer l'ensemble des réels $(x,y,z)$ tels que $M \times \vect{x}{y}{z} = \vect{x}{y}{z}$ (On pourra poser un système d'équation à résoudre). 
  
\item Démontrer que $M$ n'est pas inversible.
  
  
\end{noliste}

\subsection*{Partie C : Étude du cas où $a$ est différent de $0$ et de
  $1$}

\noindent
Dans cette partie, on pose les vecteurs $u = \vect{1}{1}{1}$, $v = \vect{1}{0}{1}$ et $w = \vect{1}{1}{0}$.
\begin{noliste}{1.}
  \setlength{\itemsep}{4mm} %
  \setcounter{enumi}{4}
\item Montrer que le système $\begin{cases}
x + y + z & = 0 \\
x + z & = 0 \\
x + y & = 0 
\end{cases}$ 
est un système de Cramer. Déterminer alors son unique solution. 
  
\item Calculer $M \times u$, $ M \times v$ et exprimer les résultats obtenus en fonction de $a$, $u$ et $v$. 
  
\item Calculer $M \times w$ et trouver deux réels $\alpha$ et $\beta$ tels
  que $Mw = \alpha v + \beta w$.
  
\item On note $P = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 0 
\end{pmatrix}$. Démontrer que la matrice $P$ est inversible et déterminer $P^{-1}$. 
  
\item Montrer que la matrice $T = P^{-1} M P$ est $T = \begin{pmatrix}
a & 0 & 0 \\
0 & 1 & a  \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}$

\item Montrer par récurrence que $\forall n \in \N, T^n = \begin{pmatrix}
a^n & 0 & 0 \\
0 & 1 & na \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}$

\item Montrer par récurrence que $\forall n \in \N, M^n = P T^n P^{-1}$. En déduire pour tout $n \in \N$, $M^n$. 
  
\end{noliste}

\section*{Exercice 2 Inspiré EML 2019 et ECRICOME 2019}

On considère la fonction $f$ définie sur $]0,+\infty[$ par : 
$$\forall t\in ]0,+\infty[,\, h_1(x) =x + 1 + \cfrac{1}{x}.$$
et la suite $u_n$ définie par $u_0 =2$ et $u_{n+1} = u_n + 1 + \dfrac{1}{u_n} = h_1(u_n)$. 

\subsection*{Partie A : \'{E}tude d'une fonction d'une variable}

\begin{enumerate}
\item \'{E}tudier les variations de la fonction $h_1$ sur $]0,+\infty[$.

\item Dresser le tableau des variations de $h_1$ en précisant les limites en $0$ et en $+\infty$.

\item Déterminer l'équation de la tangente à la courbe représentative de $h_1$ en $x=2$. 

\item \'Ecrire un script Scilab permettant d'afficher le graphique de la fonction $h_1$ entre $0$ et $5$ (on prendra au moins 1000 points pour le tracé). 

\item Tracer la courbe représentative de $h_1$ ainsi que sa tangente en $x=1$.

\item Montrer que la suite $(u_n)_{n \in \N}$ est bien définie et est strictement supérieur à 0. 

\item Déterminer la monotonie de la suite $(u_n)_{n \in \N}$. 

\item \'Ecrire un programme Scilab demandant à l'utilisateur d'entrer un nombre $n$ et affichant $u_n$.  

\item Montrer que $h_1$ réalise une bijection de $[1,+\infty[$ vers $[3,+\infty[$.
\end{enumerate}
On note $g : [3,+\infty[\rightarrow [1,+\infty[$ la bijection réciproque de la restriction de $h_1$ à $[1,+\infty[$.
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{9}
\item
\begin{enumerate}
\item Dresser le tableau de variations de $g$.
\item Soit $y\in [3,+\infty[$. \\
En se ramenant à une équation du second degré, résoudre l'équation $h_1(x) = y$ d'inconnue $x\in ]0,+\infty[$. En déduire une expression de $g(y)$ en fonction de $y$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{Partie B : \'Etude d'une famille de fonctions}
Pour tout entier $n$ non nul, on note $h_n$ la fonction définie sur $\R_+^{*}$ par :
$$\forall x >0 \qquad h_n(x)=x^n+1+\dfrac1{x^n}$$
\begin{enumerate}
\item Démontrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, la fonction $h_n$ est strictement décroissante sur $]0,1]$ et strictement croissante sur $[1,+\infty[$.
\item En déduire que pour tout entier $n$ non nul, l'équation : \quad $h_n(x)=4$ \quad admet exactement deux solutions, notées $w_n$ et $v_n$ et vérifiant : $0 < w_n < 1 <v_n$.
\item 
\begin{enumerate}
\item Démontrer que :
$$\forall x > 0, \quad \forall n \in \N^*, \qquad h_{n+1}(x)-h_n(x)=\dfrac{(x-1)(x^{2n+1}-1)}{x^{n+1}}$$
\item En déduire que : \qquad $\forall n \in \N^* \quad h_{n+1}(v_n) \ge 4$.
\item Montrer alors que la suite $(v_n)$ est décroissante.
\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Montrer que : \qquad $\forall n \ge 1 \quad v_n \le 3$
\item \'Ecrire une fonction {\tt Scilab} d'en-tête {\tt function y=h(n,x)} qui renvoie la valeur de $h_n(x)$ lorsqu'on lui fournit un entier naturel $n$ non nul et un réel $x \in \R^{+*}$ en entrée.
\item On admet que l'on a écrit une fonction $v$ qui a chaque entier $n$ associe une valeur approchée de $v_n$. On écrit alors le code suivant :
\begin{verbatim}
X=1:20
Y=zeros(1,20)
for k=1:20
    Y(k)=v(k)^k
end
plot2d(X,Y,style=-2,rect=[1,1,20,3])
\end{verbatim}
À l'exécution du programme, on obtient la sortie graphique suivante :
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\includegraphics[width=10cm]{figure2.pdf}
\end{center}
\end{figure}\\
Expliquer ce qui est affiché sur le graphique ci-dessus.\\
Que peut-on conjecturer ?
\item Montrer que : \quad $\forall n \ge 1, \qquad (v_n)^n = \dfrac{3+ \sqrt{5}}{2}$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section*{Exercice 3 - Inspiré de ECRICOME ECT 2017 et ECRICOME ECE 2015}

\subsection*{Partie I : tirages dans une urne}

Une urne $\mathcal{U}$ contient 1 boule noire et 9 boules blanches indiscernables
au toucher.
\begin{enumerate}
\item On procède à 400 tirages successifs avec remise d'une boule dans $\mathcal{U}$.
On appelle $X$ la variable aléatoire égale au nombre de fois où la boule
noire a été piochée.
	\begin{enumerate}
	\item Quelle est la loi de $X$ ?\\
	On précisera $X(\Omega)$ et $P(X=k)$ pour tout $k\in X(\Omega)$.
	\item Donner la valeur de l'espérance de $X$ notée $E(X)$ et de
	la variance de $X$, notée $V(X)$.
	\end{enumerate}
\item On procède cette fois-ci dans $\mathcal{U}$ \, à une suite de 4 tirages avec remise d'une boule. On appelle $Y$ la variable aléatoire égale
à 1 si on a tiré au moins une boule noire, 0 sinon.
	\begin{enumerate}
	\item Quelle est la loi de $Y$ ?\\
	On précisera $Y(\Omega)$ et $P(Y=k)$ pour tout $k\in Y(\Omega)$.
	\item Donner la valeur de $E(Y)$ et de $V(Y)$.
	\end{enumerate}
\item Cette fois-ci, on pioche dans l'urne $\mathcal{U}$ \, successivement et sans remise les 10 boules. On note $Z$ le numéro du tirage auquel est apparue la boule noire. On notera pour tout entier naturel $i$ non nul: 
\begin{itemize}
\item $N_i$ l'évènement "On tire une boule noire lors du $i$-ème tirage". 
\item $B_i$ l'évènement "On tire une boule blanche lors du $i$-ème tirage". 
\end{itemize}
	\begin{enumerate}
	\item En écrivant soigneusement les évènements utilisés, calculer $P(Z=1)$, $P(Z=2)$ et $P(Z=3)$. 
	\item Quelle est la loi de $Z$ ?\\
		On précisera $Z(\Omega)$ et $P(Z=k)$ pour tout $k\in Z(\Omega)$.
	\item Donner les valeurs de $E(Z)$ et de $V(Z)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{Partie II : tirages doubles dans une urne choisie au hasard}

L'urne $\mathcal{U}$, contient toujours 1 boule noire et 9 boules blanches indiscernables
au toucher. L'urne $\mathcal{V}$, contient 5 boules noires et 5 boules blanches
indiscernables au toucher.\\
On lance une pièce équilibrée. Si elle retombe sur le côté Pile, on tire deux
boules successivement et avec remise dans $\mathcal{U}$, et si on obtient Face, on tire
deux boules successivement et avec remise dans $\mathcal{V}$. On note : 
\begin{itemize}
\item $U$ l'évènement "On choisit l'urne $\mathcal{U}$". 
\item $V$ l'évènement "On choisit l'urne $\mathcal{V}$". 
\end{itemize}
On note $T$ la variable aléatoire égale au nombre de fois où l'on a pioché
une boule noire.
\begin{enumerate}
\item Que vaut $T(\Omega)$ ?
\item Donner la loi de $T$. On vérifiera que $P(T=1)=\frac{17}{50}$.
\item Calculer $E(T)$. La variable aléatoire $T$ suit-elle une loi binomiale ?
\item Sachant que l'évènement $[T=1]$ est réalisé, est-il plus probable
d'avoir obtenu Pile ou d'avoir obtenu Face avec la pièce ?
\end{enumerate}


\subsection*{Partie III : Tirages infinies dans une urne choisie au hasard}

L'urne $\mathcal{U}$, contient toujours 1 boule noire et 9 boules blanches indiscernables
au toucher. L'urne $\mathcal{W}$, contient 10 boules blanches. On choisit une des deux urnes aux hasard (chaque urne ayant la même probabilité d'être choisie) et on tire dans l'urne choisie une par une les boules sans remise jusqu'à être en mesure de pouvoir connaitre l'urne choisie. On note $S$ la variable aléatoire qui prend pour valeur le nombre de tirages ainsi effectués. On note : 
\begin{itemize}
\item $U$ l'évènement "On choisit l'urne $\mathcal{U}$". 
\item $W$ l'évènement "On choisit l'urne $\mathcal{W}$". 
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout entier $j \in \entier{1,10}$:
$$
P_{U}(S=j) = \dfrac{1}{10}
$$
\item On calcule $P_{W}(S=j)$ pour tout entier $j \in \entier{1,10}$. (On distinguera les cas $j=10$ et $1 \leqslant j \leqslant 9$). 
\item Montrer que: 
$$
P(S=j) = \begin{cases} \frac{1}{20} & \quad \text{si $j \in \entier{1,9}$} \\
\frac{11}{20} & \quad \text{si $j = 10$} 
\end{cases}
$$ 
\item Calculer l'espérance de $S$. 
\item Calculer la variance de $S$. (On donne $31^2 = 961$ et $4\times 277 = 1108$)
\end{enumerate}
%\end{center}
\hrulefill


\end{document}