\input{../preambules/preDS.tex}

%%%%%%%%%%% Num�ro du DS � remplir %%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\num}{4B}
\AtEndDocument{\label{lastpage}}
\chead{Devoir surveill� n�\num}

\usepackage{enumitem}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{lscape}
\usepackage[np]{numprint}

\begin{document}
\hrule
\vspace{5pt}
\noindent {\bf Dur�e :} 4 heures \\
Aucune sortie autoris�e durant la premi�re heure et le dernier quart d'heure. 
\pagestyle{fancy}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\cfoot{\thepage\ / {\bf 5}\ }
\setlength\parindent{0cm}
\vspace*{30pt}
\fancyfoot[C]{\thepage/\pageref{lastpage}}


\begin{center}
{\LARGE \textbf{DEVOIR SURVEILLE N�\num}}

%\bigskip\bigskip
%
%{\large \textsc{CONCOURS D ADMISSION SIGMA 2018}}

%\bigskip
%
%{\large \textbf{Concepteur : M Leboucher}}

\bigskip

\rule{2.39cm}{0.05cm}

%\bigskip
%
%{\Large \textbf{OPTION �CONOMIQUE}}

\bigskip

{\Large \textbf{MATH�MATIQUES}}

\bigskip

{\Large Samedi 22 Mai 2021 - De 8h � 12h}

\bigskip

\rule{2.39cm}{0.05cm}
\end{center}

\textit{La pr�sentation, la lisibilit�, l'orthographe, la qualit� de la
r�daction, la clart� et la pr�cision des raisonnements entreront pour une part
importante dans l'appr�ciation des copies.}

\textit{Les candidats sont invit�s � \textbf{encadrer} dans la mesure du
possible les r�sultats de leurs calculs.}

\textit{Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute
\textbf{calculatrice} et de tout mat�riel �lectronique est \textbf{interdite}.
Seule l'utilisation d'une r�gle gradu�e est autoris�e.}

\textit{Si au cours de l'�preuve un candidat rep�re ce qui lui semble �tre une
erreur d'�nonc�, il le signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en
expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amen� � prendre.}

\vspace{40pt}
\hrule

\newpage
\section*{Exercice 1 - Espaces Vectoriels}

Les 2 questions sont ind�pendantes. 
\begin{enumerate}
\item On consid�re l'ensemble $E = \left\{ \begin{pmatrix}
y + z \\
2y \\
-2z
\end{pmatrix}, \; y,z \in \R \right\} \subset \mathcal{M}_{3,1}(\R)$
\begin{enumerate}
\item Montrer que $E$ est un sous-espace vectoriel. 
\item D�terminer 2 vecteurs $u$ et $v$ tel que $E = vect(u,v)$.
\item Montrer que les vecteurs $u$ et $v$ forment une famille libre. 
\end{enumerate}
\item On consid�re la matrice $A = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
1 & 2 & 6 \\
2 & 4 & 9
\end{pmatrix}$ et l'ensemble $F = \left\{ X \in \mathcal{M}_{3,1}(\R), AX = 0 \right\}$. 
\begin{enumerate}
\item Montrer que $F$ est un sous espace vectoriel de $\mathcal{M}_{3,1}(\R)$
\item \'Ecrire $F$ sous la forme $vect(u)$ avec $u$ un vecteur de $\mathcal{M}_{3,1}(\R)$. \\
({\it Indication : R�soudre le syst�me $AX = 0$}).  
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newcommand{\dint}[2]{\displaystyle \int_{#1}^{#2}\ }
\section*{Exercice 2 - ECRICOME 2020 ECE}

Pour tout entier naturel non nul, on d�finit la fonction $f_n$ sur
$\R_+$ par :
\[
  \forall x \geq 0, \ f_n(x) = \dint{0}{x} \dfrac{t^{2n} - 1}{t + 1} dt
\]

\subsection*{Partie A : �tude de la fonction $f_n$}

\noindent
Dans cette partie, on fixe un entier naturel $n$ non nul.
\begin{enumerate}
\item D�montrer que la fonction $f_n$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur
  $\R_+$ et :
  \[
    \forall x \geq 0, \ f_n'(x) = \dfrac{x^{2n} - 1}{x+1}
  \]
  
\item �tudier les variations de $f_n$.
  
\item D�montrer que $f_n$ est de classe $\mathcal{C}^2$ sur $\R_+$, et
  calculer sa d�riv�e seconde.\\
  En d�duire que $f_n$ est convexe sur $\R_+$.
  
\item
  \begin{enumerate}
  \item D�montrer : $\forall t \geq 1$, $t^{2n} - 1 \ \geq \ n \, (t^2
    - 1)$.
    
  \item Montrer alors : $\forall x \geq 1$, $f_n(x) \ \geq \ f_n(1) +
    \dfrac{n}{2} \, (x - 1)^2$.
    
  \item En d�duire la limite de $f_n(x)$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$.
  \end{enumerate}
  
\item Calculer $f_n(0)$, puis d�montrer : $f_n(1) < 0$.
  
\item D�montrer que l'�quation $f_n(x) = 0$ admet une unique solution
  strictement positive, et que cette solution est strictement
  sup�rieure � $1$.\\
  On note $x_n$ cette solution.
\end{enumerate}

\subsection*{Partie B : �tude d'une suite implicite}

On �tudie dans cette partie le comportement de la suite $(x_n)$, o�
pour tout entier naturel $n$ non nul, $x_n$ est l'unique solution
strictement positive de l'�quation : $f_n(x) = 0$.\\
On admettra :
\[
  \forall n \in \N^*, \ x_n \geq \dfrac{2n+2}{2n+1}
\]
\begin{enumerate}
\item Soit $x \in \R_+$. D�montrer :
  \[
    \forall n \in \N^*, \ f_{n+1}(x) - f_n(x) \ = \ x^{2n+1} \ \left(
      \dfrac{x}{2n+2} -  \dfrac{1}{2n+1} \right)    
  \]
  
\item 
  \begin{enumerate}
  \item Montrer : $\forall n \in \N^*$, $\forall x \geq
    \dfrac{2n+2}{2n+1}$, $f_{n+1}(x) \geq f_n(x)$.
    
  \item En d�duire : $\forall n \in \N^*$, $f_{n+1}(x_n) \geq 0$.
    
  \item Montrer alors que la suite $(x_n)$ est d�croissante, puis
    qu'elle est convergente.
  \end{enumerate}

\item 
  \begin{enumerate}
    \setlength{\itemsep}{2mm} %
  \item D�montrer que pour tout entier $n \geq 1$ : $- \ln(2) \leq
    f_n(1) \leq 0$.
    
  \item � l'aide de l'in�galit� d�montr�e � la question 4.b) de la partie A, montrer alors :
    \[
      \forall n \in \N^*, \ 0 \leq x_n - 1 \leq \sqrt{\dfrac{2 \,
          \ln(2)}{n}}
    \]
    Quelle est la limite de $x_n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$ ?
  \end{enumerate}

\end{enumerate}

\section*{Exercice 3 - ECRICOME ECE 2018}
Soit $n$ un entier naturel non nul.\\
Dans une f�te foraine, un stand propose le jeu suivant : le joueur lance $n$ fois une pi�ce et compte le nombre de Pile obtenus. Si ce nombre est pair, le joueur est d�clar� vainqueur, et s'il est impair, il est d�clar� perdant.\\
Si le joueur est d�clar� vainqueur, il gagne 10 euros pour chaque Pile obtenu, mais s'il a perdu, il doit payer 10 euros pour chaque Pile obtenu.\\
En particulier, s'il n'obtient aucun Pile, il est d�clar� vainqueur, mais ne remporte rien. La pi�ce est truqu�e, et � chaque lancer, la probabilit� d'obtenir Pile est �gale � $p$ ($p \in ]0,1[$), et celle d'obtenir Face est de $1-p$.\\
On notera $X$ la variable al�atoire �gale au nombre de Pile obtenus, et $G$ la variable al�atoire �gale au gain alg�brique du joueur.\\
Enfin, on notera $A$ l'�v�nement : \og le joueur est d�clar� vainqueur \fg \ et on dira que le jeu est favorable au joueur si l'esp�rance math�matique de la variable al�atoire $G$ est positive.
\par \bigskip \noindent
\subsection*{Partie I}
\par \medskip \noindent
Dans cette partie, on suppose que $n=3$ et $p=\dfrac23$.
\begin{enumerate}
\item Reconna�tre la loi de $X$ et v�rifier que : \quad $P(A)=\dfrac{13}{27}$.
\item Montrer que : \quad $G(\Omega) = \{-30, -10, 0, 20\}$, puis expliciter la loi de $G$.
\item Calculer l'esp�rance de $G$. Le jeu est-il favorable au joueur ?
\end{enumerate}
\par \bigskip \noindent
\subsection*{Partie II}
\par \medskip \noindent
Dans cette partie, on revient au cas g�n�ral, o� $n$ est entier naturel non nul et $p \in ]0,1[$.\\
Celui qui tient le stand souhaite rendre le jeu plus attractif en affichant \og � ce jeu, il y a plus de gagnants que de perdants ! \fg, et cherche donc les conditions n�cessaires sur $p$ et $n$ pour que son affichage ne soit pas mensonger.\\
Soit $Y$ la variable al�atoire d�finie par : \qquad $Y=(-1)^X$.\\
Autrement dit, $Y$ prend la valeur $1$ lorsque $X$ prend une valeur paire, et $Y$ prend la valeur $-1$ lorsque $X$ prend une valeur impaire.
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item On note $Z=\dfrac{Y+1}2$. D�terminer $Y(\Omega)$, puis montrer que $Z$ suit une loi de Bernoulli de param�tre $P(A)$.
\item D�montrer que : \quad $E(Y)=2 P(A)-1$.
\end{enumerate}\bigskip

\item \begin{enumerate}
\item Donner la loi de $X$.
\item En d�duire que l'on a �galement : \qquad $
E(Y) =\ds  \sum_{k=0}^n (-1)^k {n\choose k}p^k(1-p)^{n-k}$, \\
puis que : \quad $E(Y)=(1-2p)^n$.
\end{enumerate}
\item Exprimer alors la valeur de $P(A)$ en fonction de $n$ et $p$.
\item D�montrer que 
$$ P(A)\ge \dfrac{1}{2} \Longleftrightarrow  \left[ p \le \dfrac12 \hbox{ OU \og $n$ est pair \fg} \right]$$
\end{enumerate}
\par \bigskip \noindent
\subsection*{Partie III}
\par \medskip \noindent
Le concepteur du jeu souhaite cependant v�rifier que, tout en laissant son jeu attractif (c'est � dire en faisant en sorte que $P(A) \ge \dfrac12$ ), son activit� soit rentable pour lui, autrement dit que le jeu soit d�favorable au joueur (c'est � dire que $E(G) \le 0$). 
\begin{enumerate}
\item Exprimer $G$ en fonction de $X$ et $Y$. En d�duire que : \qquad $E(G)=10 \ds \sum_{k=0}^n (-1)^k k P(X=k)$.
\item D�montrer que : \quad $\forall k \in \entier{ 1, n}, \quad\ds  k{n\choose k} =n{n-1 \choose k-1}$.
\item Montrer que : \quad $E(G)=-10np (1-2p)^{n-1}$
\item D�montrer alors que : 
\[
\left\{ \begin{array}{r}
P(A)  \geq \dfrac{1}{2}\\
\\
E(G) \leq 0
\end{array}\right. \Longleftrightarrow p\leq \dfrac{1}{2}
\]
\item \begin{enumerate}
\item \'Etudier la fonction $f$ d�finie sur $\left[0, \dfrac12\right]$ par : \quad $\forall x \in \left[0, \dfrac12\right] \qquad f(x)=x(1-2x)^{n-1}$.
\item Pour une valeur de $n$ fix�e, comment le concepteur du jeu doit-il truquer sa pi�ce (c'est � dire quelle valeur doit-il donner � $p \in \left[0,\dfrac12\right]$ ) pour optimiser la rentabilit� de son activit� ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\section*{Exercice 4 - Inspir� ESSEC}
\textsl{L'objectif du probl\`{e}me est d'\'{e}tudier les rudiments de la 
\emph{th\'{e}orie de la communication} - ou th\'{e}orie de l'information -
introduite en 1948 par Claude Shannon}.\bigskip 

\subsection*{D\'efinitions et notations}

$(\Omega ,\mathcal{A},P)$ d\'{e}signe un espace probabilis\'{e}.\newline
$\varphi $ est la fonction d\'{e}finie sur $]0,1]$ par $x\mapsto \varphi
(x)=-\dfrac{\ln (x)}{\ln (2)}$ .\newline
Pour un \'{e}v\'{e}nement $A$ de probabilit\'{e} non nulle, on pose $%
i(A)=\varphi (P(A))$.\newline
$h$ est la fonction d\'{e}finie sur $[0,1]$ par 
\begin{equation*}
h(0)=0\qquad \text{ et pour }x\in ]0,1],\quad h(x)=-x\dfrac{\ln (x)}{\ln (2)}
\end{equation*}%
Pour une variable al\'{e}atoire $X$ discr\`{e}te d\'{e}finie sur $(\Omega ,%
\mathcal{A},P) $ \`{a} valeurs r\'{e}elles, on pose sous r\'{e}serve
d'existence : 
\begin{equation*}
H(X)=\sum_{x\in X(\Omega )}h(P(X=x))
\end{equation*}%
Si $X$ est \`{a} valeurs dans un ensemble fini $\{x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\}
$, alors $H(X)$ existe et, en notant $p_{k}=P(X=x_{k})$, on a : 
\begin{equation*}
H(X)=\sum_{k=1}^{n}h(P(X=x_{k}))=\sum_{k=1}^{n}h(p_{k})
\end{equation*}%
{\small \textsl{Remarque : En th\'{e}orie de l'information, $i(A)$ est appel%
\'{e} \emph{incertitude de l'\'{e}v\'{e}nement} $A$ et $H(X)$ est l'\emph{%
incertitude moyenne} - ou \emph{entropie} - de $X$. } }

\subsection*{Partie I : Incertitude des \'{e}v\'{e}nements}

\begin{enumerate}
\item On choisit une carte au hasard dans un jeu de $32$ cartes.

Soit $A$ l'\'{e}v\'{e}nement " la carte tir\'{e}e est la dame de c\oe ur ".

Que valent $P(A)$ et $i(A)$ ?

\item \label{facile} Soit $n\in \mathbb{N}^{*}$. On lance $n$ fois une
pi\`{e}ce \'{e}quilibr\'{e}e.

$A$ est l'\'{e}v\'{e}nement " obtenir $n$ fois PILE ". Pr\'{e}ciser $i(A)$.

\item V\'{e}rifier les points suivants :%
\begin{equation*}
\begin{tabular}{cl}
(i) & Pour un \'{e}v\'{e}nement $\Omega ^{\prime }$ quasi-certain : $%
i(\Omega ^{\prime })=0$. \\ 
(ii) & Si $A$ et l'\'{e}v\'{e}nement contraire $\overline{A}$ sont \'{e}%
quiprobables, alors $i(A)=1$. \\ 
(iii) & Si $A$ et $B$ sont ind\'{e}pendants pour la probabilit\'{e} $P$ et
si $P(A\cap B)\not=0$, alors $i(A\cap B)=i(A)+i(B)$.%
\end{tabular}%
\end{equation*}

\item Pr\'{e}ciser $i(A_{1}\cap A_{2}\cap \ldots \cap A_{n})$ quand les \'{e}%
v\'{e}nements $A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n}$ sont mutuellement ind\'{e}pendants
et $P(A_{1}\cap A_{2}\cap \ldots \cap A_{n})\not=0$.

En d\'{e}duire une nouvelle d\'{e}monstration de la question \ref{facile}.

\item Soit $A$ et $B$ deux \'{e}v\'{e}nements tels que $A\subset B$ et $%
P(A)\not=0$. Comparer $i(A)$ et $i(B)$.

\item Que vaut $\lim\limits_{x\rightarrow 0^{+}}\varphi (x)$ et quelle
interpr\'{e}tation peut-on donner de ce r\'{e}sultat ?
\end{enumerate}

\subsection*{Partie II :Incertitude d'une variable al\'{e}atoire discr\`{e}te}

\begin{enumerate}
\item Soit $n\in \mathbb{N}^{*}$. Si $U_{n}$ suit la loi uniforme sur $%
\{1,2,\ldots ,n\}$, que vaut $H(U_{n})$ ?

\item Si on suppose $P(Z=1)=1/4,P(Z=2)=1/4$ et $P(Z=3)=1/2$, que vaut $H(Z)$
?

Comparer $H(Z)$ et $H(U_{3})$.

\item On se propose de simuler informatiquement une variable al\'{e}atoire.
On rappelle que \textbf{(grand(1,1,'uin',1,j)} fournit au hasard un nombre �l�ment de $\entier{1,j}$. 

\begin{verbatim}
function y = Essec()
    ini = (grand(1,1,'uin',1,3)
    if ini == 3 thend
        y = (grand(1,1,'uin',1,2)
    else
        y = 3
    end
endfunction
\end{verbatim}


On appelle $Y$ le contenu de y apr\`{e}s ex\'{e}cution du programme Essec.

Donner la loi de $Y$, calculer son esp\'{e}rance $E(Y)$ et son incertitude $%
H(Y)$.

\item V\'{e}rifier que $h$ est continue et positive sur $[0,1]$.

Est-elle d\'{e}rivable en $0$ ? \'{E}tudier $h$ et dessiner sa courbe repr%
\'{e}sentative .

\item Soit $X$ une variable al\'{e}atoire \`{a} valeurs dans un ensemble
fini.

Montrer que $H(X)\geqslant 0$ avec \'{e}galit\'{e} si, et seulement si, $X$
est quasi-certaine.
\end{enumerate}



\end{document}