\input{../preambules/preDS.tex}

%%%%%%%%%%% Numéro du DS à remplir %%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\num}{3}
\AtEndDocument{\label{lastpage}}
\chead{Devoir surveillé n°\num}

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\usepackage{dcolumn}
\usepackage{lscape}
\usepackage[np]{numprint}

\begin{document}
\hrule
\vspace{5pt}
\noindent {\bf Durée :} 4 heures \\
Aucune sortie autorisée durant la première heure et le dernier quart d'heure. 
\pagestyle{fancy}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\cfoot{\thepage\ / {\bf 5}\ }
\setlength\parindent{0cm}
\vspace*{30pt}
\fancyfoot[C]{\thepage/\pageref{lastpage}}


\begin{center}
{\LARGE \textbf{DEVOIR SURVEILLE N°\num}}

%\bigskip\bigskip
%
%{\large \textsc{CONCOURS D ADMISSION SIGMA 2018}}

%\bigskip
%
%{\large \textbf{Concepteur : M Leboucher}}

\bigskip

\rule{2.39cm}{0.05cm}

%\bigskip
%
%{\Large \textbf{OPTION ÉCONOMIQUE}}

\bigskip

{\Large \textbf{MATHÉMATIQUES}}

\bigskip

{\Large Samedi 13 Février 2021 - De 8h à 12h}

\bigskip

\rule{2.39cm}{0.05cm}
\end{center}

\textit{La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la
rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part
importante dans l'appréciation des copies.}

\textit{Les candidats sont invités à \textbf{encadrer} dans la mesure du
possible les résultats de leurs calculs.}

\textit{Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute
\textbf{calculatrice} et de tout matériel électronique est \textbf{interdite}.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.}

\textit{Si au cours de l'épreuve un candidat repère ce qui lui semble être une
erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en
expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.}

\vspace{40pt}
\hrule


\section*{Exercice 1 - ECRICOME ECT 2018}
On considère une urne $U$ contenant deux boules blanches et une boule noire indiscernables au toucher, ainsi qu'une urne $V$ contenant une boule blanche et trois boules noires, elles aussi indiscernables au toucher. On effectue une suite de tirages d'une boule dans ces urnes en procédant comme suit :
\begin{itemize}
\item le premier tirage a lieu dans l'urne $U$;
\item tous les tirages s'effectuent avec remise de la boule piochée dans l'urne dont elle provient;
\item Si l'on pioche une boule blanche lors d'un tirage, le tirage suivant à lieu dans l'autre urne. 
\item Si l'on pioche une boule noire lors d'un tirage, le tirage suivant a lieu dans la même urne. 
\end{itemize}

\subsection*{Partie I - \'Etude de l'urne du $n$-ième tirage}

Pour tout entier $n$ de $\mathbb{N}^{*}$, on note $U_{n}$ l'événement « le $n$ -ième tirage s'effectue dans l'urne $U \gg$. Puisque le premier tirage a lieu dans l'urne $U,$ l'événement $U_{1}$ est certain : $P\left(U_{1}\right)=1$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $P\left(U_{2}\right)$.
\item Donner les valeurs de $P_{U_{2}}\left(U_{3}\right)$ et de $P_{\overline{U_{2}}}\left(U_{3}\right)$. En déduire $P\left(U_{3}\right)$.
\item \begin{enumerate}
\item Pour tout entier $n$ supérieur ou égal à $2,$ que valent $P_{U_{n}}\left(U_{n+1}\right)$ et $P_{\overline{U_{n}}}\left(U_{n+1}\right) ?$
\item En déduire que pour tout entier $n$ de $\mathbb{N}^{*}$ :
$$
P\left(U_{n+1}\right)=\frac{1}{4}+\frac{1}{12} P\left(U_{n}\right)
$$
\item En posant la suite $u_n = P(U_n)$, déterminer alors la valeur de $P\left(U_{n}\right)$ en fonction de $n$.
\item Calculer $\li_{n \rightarrow+\infty} P\left(U_{n}\right)$.
\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\subsection*{Partie II - \'Etude du nombre de boules blanches.}

Pour tout entier naturel non nul $n,$ on note $X_{n}$ la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches piochées au cours des $n$ premiers tirages.
\begin{enumerate}
\item Déterminer la loi de $X_{1}$.
\item \begin{enumerate}
\item Donner les valeurs de :
$$
P_{\left[X_{1}=0\right]}\left(X_{2}=0\right), \quad P_{\left[X_{1}=0\right]}\left(X_{2}=1\right), \quad P_{\left[X_{1}=1\right]}\left(X_{2}=1\right) \quad \text { et } \quad P_{\left[X_{1}=1\right]}\left(X_{2}=2\right)
$$
\item En déduire la loi de $X_{2}$.
\item Vérifier que $E\left(X_{2}\right)=\frac{19}{18}$. 
\end{enumerate}
\item On rappelle qu'en Scilab, l'instruction $ceil(k*rand())$ permet d'obtenir aléatoirement un nombre entre $1$ et $k$. Recopier et compléter les lignes pointillés du script Scilab ci-dessous afin qu'il simule la variable aléatoire $X_2$ :
\begin{verbatim}
tirage1 = ceil(3*rand()) 
if tirage1 < 3 then
    res1 = 1 
    tirage2 = ceil(4*rand())
    if tirage2 == 1 then res2 = 1
    else res2 = 0
    end
else
    res1 = 0
    tirage2 = ........
    if tirage2 < 3 then res2 = ......
    else res2 = ......
    end
end
X2 = res1 + res2
\end{verbatim}
\item Pour tout entier $n$ de $\mathbb{N}^{*}$, déterminer $X_{n}(\Omega)$. \\
Pour tout entier $n$ de $\mathbb{N}^{*},$ calculer $P\left(X_{n}=0\right)$.
\item Soit $n \in \mathbb{N}^{*}$. Expliquer pourquoi après avoir obtenu au cours des $n$ premiers tirages un nombre pair de boules blanches, le tirage de la $(n+1)$ -ième boule s'effectuera dans $U$. \\
{\it On admettra de même qu'après avoir obtenu au cours des $n$ premiers tirages un nombre impair de boules blanches, le tirage de la $(n+1)$ -ième boule s'effectuera dans $V$.}
\item À l'aide de la formule des probabilités totales, démontrer que pour tout entier $n$ de $\mathbb{N}^{*}$ :
$$
P\left(X_{n+1}=1\right)=\frac{3}{4} \times P\left(X_{n}=1\right)+\frac{2}{3} \times P\left(X_{n}=0\right) \quad\left(R_{1}\right)
$$
\item Pour tout entier $n$ de $\mathbb{N}^{*},$ on pose $u_{n}=\left(\frac{4}{3}\right)^{n} \times P\left(X_{n}=1\right)$ Déduire du résultat $\left(R_{1}\right),$ que pour tout entier $n$ de $\mathbb{N}^{*}$ :
$$
u_{n+1}=u_{n}+\frac{8}{9} \times\left(\frac{4}{9}\right)^{n}
$$
\item \begin{enumerate}
\item Montrer par récurrence que pour tout entier $n$ de $\mathbb{N}^{*}$ :
$$
u_{n}=\frac{8}{5}\left(1-\left(\frac{4}{9}\right)^{n}\right)
$$
\item En déduire, pour tout entier $n$ de $\mathbb{N}^{*}$, la valeur de $P\left(X_{n}=1\right)$ en fonction de $n$.
\item Déterminer $\li_{n \rightarrow+\infty} P\left(X_{n}=1\right)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section*{Exercice 2 - Matrices - ELSCA 1999}


Soient $A=\left( 
\begin{array}{rrr}
1 & 0 & -1 \\ 
1 & 2 & 1 \\ 
2 & 2 & 3
\end{array}
\right) $ et $P=\left( 
\begin{array}{rrr}
1 & 2 & 1 \\ 
-1 & -1 & -1 \\ 
0 & -2 & -2
\end{array}
\right) $

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item  Montrer que $P$ est inversible et calculer son inverse. Comment peut-on obtenir avec Scilab, l'inverse de $P$ afin de vérifier nos calculs ? 

\item  Montrer que $A^{\prime }=P^{-1}\cdot A\cdot P=\left( 
\begin{array}{rrr}
1 & 0 & 0 \\ 
0 & 2 & 0 \\ 
0 & 0 & 3
\end{array}
\right) $
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item  Soit $M$ une matrice carr\'{e}e d'ordre 3 \`{a} coefficients
r\'{e}els commutant avec $A$, c'est \`{a} dire telle que $A\cdot M=M\cdot A$.

On pose $M^{\prime }=P^{-1}\cdot M\cdot P$. Montrer que $A^{\prime }\cdot
M^{\prime }=M^{\prime }\cdot A^{\prime }$.

R\'{e}ciproquement, montrer que si $M^{\prime }$ commute avec $A^{\prime }$
alors la matrice M d\'{e}finie par $M=P\cdot M^{\prime }\cdot P^{-1}$
commute avec $A$.

\item  D\'{e}terminer l'ensemble des matrices commutant avec $A^{\prime }$.
(On \'{e}crira ces matrices avec des coefficients ind\'{e}termin\'{e}s)

\item  En d\'{e}duire la forme g\'{e}n\'{e}rale des matrice commutant avec $A
$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section*{Exercice 3 - Analyse}

Dans cet exercice, on définit sur $] 0,+\infty[$ la fonction $f$ par :
$$
\forall x \in] 0,+\infty[, \qquad  f(x)=\sqrt{x} \ln x
$$
\begin{enumerate}
\item Justifier que $f$ est continue $] 0,+\infty[$.
\item Montrer que $f$ est prolongeable par continuité en $0,$ en précisant la valeur en 0 de la fonction prolongée. On appellera désormais $f$ la fonction prolongée, définie sur $[0,+\infty[$.
\item Démontrer que $f$ est dérivable sur $] 0,+\infty[$. Est-elle dérivable en $0 ?$ Quelle est l'allure de la courbe de $f$ au point d'abscisse $x=0 ?$
\item Donner le développement limité à l'ordre 1 en 1 de $f$.
\item Dresser le tableau de variations de $f$, en précisant valeurs et limites aux bornes.
\item Tracer la courbe représentative de la fonction $f$.  \\
 On donne: $\quad \mathrm{e}^{-2} \approx 0,14 \quad 2 / e \approx 0,74$
\end{enumerate}

\section*{Exercice 4 - \'Etude d'un polynôme et d'une suite}
On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R$ par 
$$
f(x) = x^3 - 5x^2 + 8x -3 \et P(x) = f(x) - x = x^3 - 5x^2 + 7x -3
$$
On pose alors la suite $(u_n)$ définie par $u_0 \in [1;3]$ et $u_{n+1} = f(u_n)$. 
\begin{enumerate}
\item Factoriser le polynôme $P(X) = X^3 - 5X^2 + 7X - 3$. 
\item Déterminer sur quel ensemble,le polynôme $P$ est négatif ou positif. 
\item Donner le tableau de variation de la fonction $f$ (on fera apparaitre les limites). 
\item Montrer que $\forall n \in \N$, $u_n \in [1;3]$. 
\item Montrer que la suite $(u_n)$ est décroissante. 
\item En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente et déterminer sa limite. 
\item \'Ecrire un script Scilab qui demande à l'utilisateur d'entrer un nombre $u_0$ et un nombre $n$ et qui affiche le terme $u_n$ de la suite. 
\item On suppose dans cette question que $u_0 > 3$. Montrer que la suite $(u_n)$ est alors divergente. 
\end{enumerate}

\section*{Problème - Suites implicites et polynôme. }

Pour tout $n \in \mathbb{N}^{*},$ on définit la fonction $f_{n}: \mathbb{R}_{+} \rightarrow \mathbb{R}$ par :
$$
\forall x \in \mathbb{R}_{+}, f_{n}(x)=x^{n}+9 x^{2}-4
$$
Le but de ce problème est d'étudier l'équation $f_{n}(x)=0$ et le comportement de la solution quand $n$ tend vers $+\infty$
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Dresser le tableau de variations de $f_{n}$ et montrer que pour tout entier $n \in \mathbb{N}^{*}$, l'équation $f_{n}(x)=0$ n'a qu'une seule solution strictement positive, notée $u_{n}$
\item Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$.
\item Vérifier que $\left.\forall n \in \mathbb{N}^{*}, u_{n} \in\right] 0, \frac{2}{3}[$
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout réel $x$ de $] 0,1\left[,\right.$ on a $f_{n+1}(x)<f_{n}(x)$.
\item En déduire le signe de $f_{n}\left(u_{n+1}\right)$ puis les variations de la suite $\left(u_{n}\right)$.
\item Montrer que $\left(u_{n}\right)$ est convergente. On note $\ell$ sa limite.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Déterminer un encadrement de $u_{n}{ }^{n}$ pour tout $n \geqslant 1$ et en déduire la limite de $u_{n}{ }^{n}$ quand $n$ tend vers $+\infty$. 
\item Donner enfin la valeur de $\ell$.
\end{enumerate}
\item On note $u_{n}=\frac{2}{3}+v_{n}$
\begin{enumerate}
\item Vérifier que $v_{n}$ tend vers 0 .
\item Montrer que $\left(\frac{2}{3}+v_{n}\right)^{n}+9 v_{n}^{2}+12 v_{n}=0$
\item En déduire que $v_{n}=\dfrac{-\left(\frac{2}{3}+v_{n}\right)^{n}}{9 v_{n}+12}$ 
\item Montrer que $\li_{n \to +\infty} \dfrac{v_n}{-\frac{1}{12}\left(\frac{2}{3}\right)^{n}} = 1$.
\end{enumerate}
\item Définir en Scilab la fonction f5, qui prend un réel $x$ et calcule $f_{5}(x)$. \\
 Tracer en Scilab la courbe représentative de $f_{5}$ sur $[0,10]$ (on prendra au moins 10000 points.
\end{enumerate}


\end{document}