\input{../preambules/preDS.tex}

%%%%%%%%%%% Numéro du DS à remplir %%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\num}{2}
\AtEndDocument{\label{lastpage}}
\chead{Devoir surveillé n°\num}

\usepackage{enumitem}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{lscape}
\usepackage[np]{numprint}

\begin{document}
\hrule
\vspace{5pt}
\noindent {\bf Durée :} 4 heures \\
Aucune sortie autorisée durant la première heure et le dernier quart d'heure. 
\pagestyle{fancy}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\cfoot{\thepage\ / {\bf 5}\ }
\setlength\parindent{0cm}
\vspace*{30pt}
\fancyfoot[C]{\thepage/\pageref{lastpage}}


\begin{center}
{\LARGE \textbf{DEVOIR SURVEILLE N°\num}}

%\bigskip\bigskip
%
%{\large \textsc{CONCOURS D ADMISSION SIGMA 2018}}

%\bigskip
%
%{\large \textbf{Concepteur : M Leboucher}}

\bigskip

\rule{2.39cm}{0.05cm}

%\bigskip
%
%{\Large \textbf{OPTION ÉCONOMIQUE}}

\bigskip

{\Large \textbf{MATHÉMATIQUES}}

\bigskip

{\Large Samedi 12 Décembre 2020 - De 8h à 12h}

\bigskip

\rule{2.39cm}{0.05cm}
\end{center}

\textit{La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la
rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part
importante dans l'appréciation des copies.}

\textit{Les candidats sont invités à \textbf{encadrer} dans la mesure du
possible les résultats de leurs calculs.}

\textit{Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute
\textbf{calculatrice} et de tout matériel électronique est \textbf{interdite}.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.}

\textit{Si au cours de l'épreuve un candidat repère ce qui lui semble être une
erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en
expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.}

\vspace{40pt}
\hrule



\newpage
%
%\section*{Exercice 1 - Probabilités}
%Parmi 20 dés cubiques, 16 sont équilibrés, et 4 sont truqués, de telle sorte que la probabilité d'obtenir 6 soit $\frac{1}{2}$ et que les autres numéros aient une même probabilité d'apparaitre.
%On considère, si besoin, les évènements:
%\begin{itemize}
%\item $T=\{$le dé est truqué$\}$
%\item $D=\left\{\right.$ on obtient un deux au $\left.1^{\text {er lancer}}\right\}$ 
%\item $S_{k}=\left\{\right.$ on obtient un $\operatorname{six}$ au $k^{e}$ lancer $\},$ avec $k \in[1 ; 2 \rrbracket$
%\end{itemize}
%Les réponses devront être justifiées, et les formules littérales utilisées devront apparaitre dans les calculs.
%\begin{enumerate}
%\item Quelle est la probabilité d'obtenir un 2 sur un dé non truqué ?
%\item Quelle est la probabilité d'obtenir un 2 sur un dé truqué ? \\
%On prend un dé au hasard parmi les 20 et on le lance une fois.
%\item Quelle est la probabilité d'obtenir $6 ?$
%\item On obtient 2. Quelle est la probabilité que ce dé ne soit pas truqué? \\
%Le premier lancer a donné un $6 .$ On lance une nouvelle fois le dé.
%\item Quelle est la probabilité d'obtenir un nouveau $6 ?$
%\item Quelle est la probabilité d'obtenir deux 6 ?
%\end{enumerate}
%
%\section*{Exercice 2 - Sommes}
%Soit $n \geqslant 3$. On définit la suite de terme général $$u_{n}=\sum_{i=1}^{n-2}(i+1) e^{i} .$$ 
%On définit la fonction $f_{n}: \mathbb{R}^{*} \rightarrow \mathbb{R}$ par 
%$$f_{n}(x)=\sum_{i=1}^{n-2} x^{i+1}$$
%\begin{enumerate}
%\item \'Ecrire un script Scilab demandant à l'utilisateur d'entrer un réel $x$ et un entier $n$ et calculant et affichant $f_n(x)$. 
%\item Calculer $f_{n}^{\prime},$ la dérivée de la fonction $f_{n}$ par rapport à la variable $x$. En déduire une relation entre $u_{n}$ et $f_{n}^{\prime}$
%\item Soit $x \in \mathbb{R}^{*}$. En reconnaissant une somme classique, simplifier l'expression de $f_{n}(x)$.
%\item Calculer $f_{n}^{\prime}$ à l'aide du résultat de la question précédente.
%\item En déduire la valeur de $u_{n}$.
%\end{enumerate}

\section*{Exercice 1 - \'Etude d'une suite $u_{n+1} = f(u_n)$}


Dans toute cette partie, on s'intéresse à la suite $(u_n)_{n \in \N}$ définie par la relation de récurrence 
$$u_{n+1} = \dfrac{e^{u_n} - 1}{u_n} .$$
\begin{enumerate}
\item Montrer les relations suivantes 
\begin{enumerate}
\item $$
\forall x \in \R, \quad e^{x} - 1 \geq x
$$
\item Calculez $\li_{x \to + \infty} xe^x - e^x + 1$ et $\li_{x \to - \infty} xe^x - e^x + 1$
\item Montrer que $$ \forall x \in \R, \quad xe^x - e^x + 1 \geq 0$$
\end{enumerate}

\item On \'etudie dans cette partie la fonction $f : x \to \dfrac{e^x - 1}{x}$.
\begin{enumerate}
	\item Justifier (très précisément) que le domaine de définition de $f$ est $\R^*$.
	\item Déterminer la dérivée de la fonction $f$ et le signe de $f'$.
	\item Déterminer les limites de la fonction $f$ en $-\infty$ , $0$ et $+\infty$.   
	\item Donner l'équation de la tangente à $f$ en $x = 1$.
\end{enumerate}
\item On cherche à tracer la fonction $f$ sur l'intervalle $[1;5]$ en utilisant Scilab. 
	\begin{enumerate}
	\item  \'Ecrire une fonction scilab appelé $f$ qui permettent d'obtenir le tracé de la fonction $f$ sur [1;5] en utilisant plot(x,f).
	\item Complétez le script suivant permettant de tracer le graphe de la fonction $f$ sur $[1,5]$ avec un pas de $0.01$. 
\begin{verbatim}
clf
x = ..............
plot(x, f) 
\end{verbatim}
	\item On aimerait sur le même graphique, tracée en rouge, la tangente de la fonction $f$ en $x =  1$. Complétez votre programme qui permet d'obtenir ce résultat.
	\item On donne 4 graphiques possibles. \'Ecrivez sur votre copie le numéro du graphique correspondant à la fonction $f$ en justifiant votre réponse. 
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{DS2_1.png}
\end{center}
	\end{enumerate}
\item On considère $u_0 = 1$. 
	\begin{enumerate}
	\item Montrer par récurrence que pour tout $n \in \N$, la suite $u_n$ est bien définie et que $u_n \geq 1 $.
	\item Démontrer que la suite est croissante. (Indice, utiliser la fonction $f$).
	\end{enumerate}
\item \'Ecrire un script scilab qui pour un entier $n$ donné par l'utilisateur, calcule puis affiche le $n$-ième terme de la suite.  
\end{enumerate}

\section*{Exercice 2 - Puissances de matrices}
\subsection*{I - Cas d'une matrice de $\mathcal{M}_2(\R)$}
On considère les suites $(a_n)_{n \in \N}$ et $(b_n)_{n \in \N}$ définies par $a_0 = 1$, $b_0 = 2$ et 
$$
 \begin{cases}
 a_{n+1} = 3a_n + b_n \\
 b_{n+1} = -2 a_n 
 \end{cases}
$$
ainsi que les matrices $A = \begin{pmatrix}
3 & 1 \\
-2 & 0
\end{pmatrix}$ et $P = \begin{pmatrix}
1 & -2 \\
-2 & 2
\end{pmatrix}$
\subsubsection*{Résolution numérique}
\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le programme scilab suivant permettant de calculer les termes $a_{100}$ et $b_{100}$.  
\begin{verbatim}
//initialisation
a = .........
b = .........

// calculs
for k = 1: ...... 
    temp = .........
    .... = 3*a + b
    b    = .........
end

// conclusion
disp('Le 100ème terme de la suite a est" + string(.......))
disp('Le 100ème terme de la suite b est" + string(.......))
\end{verbatim}
\end{enumerate}

\subsubsection*{Résolution en utilisant les suites}
\begin{enumerate}[start=2]
\item  Montrer que la suite $(a_n)_{n \in \N}$ vérifie pour tout $n \in \N$, $
a_{n+2} = 3a_{n+1} - 2 a_n
$
\item Déterminer $a_n$ pour tout $n$ entier. 
\item En déduire $b_n$ pour tout $n$ entier. 
\end{enumerate}

\subsubsection*{Résolution en utilisant les matrices}
\begin{enumerate}[start=5]
\item Montrer que la matrice $P$ est inversible et déterminer $P^{-1}$. 
\item Calculer $D = P^{-1} A P$. 
\item En déduire $D^n$ pour tout entier $n$. 
\item Montrer par récurrence que pour tout $n \in \N$, $A^n = P D^n P^{-1}$. 
\item Donnez pour $n \in \N$, la matrice $A^n$. 
\item On note $X_n = \begin{pmatrix}
a_n \\
b_n
\end{pmatrix}$. Déterminer une relation matricielle entre $X_{n+1}$ et $X_n$. 
\item Montrer par récurrence que $X_n = A^n X_0$. 
\item En déduire $a_n$ et $b_n$ pour tout $n$ entier. 
\end{enumerate}

\subsection*{II - Cas d'une matrice de $\mathcal{M}_3(\R)$}
Dans cette partie, on introduit les matrices 
$$
B = \begin{pmatrix}
2 & 0 & 2 \\
1 & -1& 2 \\
0 & -1 & 1 
\end{pmatrix},
\qquad
C = \begin{pmatrix}
0 & 2 & -1 \\
0 & 1& -1 \\
1 & -1 & 2 
\end{pmatrix},
\qquad 
T = \begin{pmatrix}
0 & 1 & 2\\
0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 
\end{pmatrix}.
$$
L'objectif est de calculer $B^n$ pour tout entier $n$. 
\begin{enumerate}
\item \'Ecrire un script Scilab qui demande à l'utilisateur d'entrer un nombre entier $n$ et qui calcule et affiche $B^n$. 
\item Calculer $B \times (B-I_3)^2$. Que peut-on en déduire sur l'inversibilité de la matrice $B$ ? 
\item Calculer $C (C-I_3)(2I_3 - C)$. 
\item En déduire que $C$ est inversible et déterminer $C^{-1}$. 
\item Montrer que $B = C^{-1} \times T \times C$. 
\item Montrer par récurrence que pour tout $n \in \N$, 
$$
T^n = \begin{pmatrix}
0 & 1 & n+1\\
0 & 1 & n \\
0 & 0 & 1 
\end{pmatrix}.
$$
\item En déduire $B^n$ pour tout $n \in\N$. 
\end{enumerate}

\section*{Exercice 3 - Probabilité - ECRICOME 2011}

\subsection*{PARTIE I. Un jeu en ligne.}

La soci\'{e}t\'{e} Lehazard met \`{a} la disposition de ses clients un
nouveau jeu en ligne dont la page d'\'{e}cran affiche une grille \`{a} trois
lignes et trois colonnes.

Apr\`{e}s une mise initiale de $2$ euros du joueur, une fonction al\'{e}%
atoire place au hasard successivement trois jetons $\left( \bigstar \right) $
dans trois cases diff\'{e}rentes. La partie est gagn\'{e}e si les trois
jetons sont align\'{e}s. Le gagnant empoche $10$ fois sa mise, ce qui lui
rapporte $18$ euros \`{a} l'issue du jeu. Dans le cas contraire la mise
initiale est perdue par le joueur.%
\begin{equation*}
\begin{tabular}{|l|l|l|l|}
\hline
& $A$ & $B$ & $C$ \\ \hline
$1$ & $\bigstar$ &  &  \\ \hline
$2$ & $\bigstar$ &  &  \\ \hline
$3$ &  & $\bigstar$ &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{equation*}

On d\'{e}finit les \'{e}v\'{e}nements $H,$ $V,$ $D,$ $N$ par :

\begin{itemize}
\item $H$ : "les trois jetons sont align\'{e}s
horizontalement " .

\item $V$ :" les trois jetons sont align\'{e}s verticalement 
" .

\item $D$ : " les trois jetons sont align\'{e}s en diagonale 
" .

\item $N$ : " les trois jetons ne sont pas align\'{e}s 
" .
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Justifier qu'il y a $84$ positionnements possibles des trois jetons
dans les trois cases.

\item D\'{e}terminer les probabilit\'{e}s $\mathrm{P}\left( H\right) ,\ 
\mathrm{P}\left( V\right) ,\ \mathrm{P}\left( D\right) $ des \'{e}v\'{e}%
nements $H,.V,.D$.

\item En d\'{e}duire que la probabilit\'{e} de l'\'{e}v\'{e}nement $N$ est 
\'{e}gale \`{a} :%
\begin{equation*}
\mathrm{P}\left( N\right) =\frac{19}{21}\simeq0.9048 
\end{equation*}

\item La soci\'{e}t\'{e} peut s'attendre \`{a} $10~000$ relances par jour de
ce jeu.

\begin{enumerate}
\item Pour chaque entier naturel $i$ non nul. on note $Z_{i}$ le gain de la
soci\'{e}t\'{e} \`{a} la $i^{\grave{e}me}$ relance.

Calculer l'esp\'{e}rance math\'{e}matique $E\left( Z_{i}\right) $ de $Z_{i}$
.

\item Quel gain journalier $Z$ la soci\'{e}t\'{e} peut-elle esp\'{e}rer ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{PARTIE II. Cas de joueurs inv\'{e}t\'{e}r\'{e}s.}

\begin{enumerate}
\item Un Joueur d\'{e}cide de ,jouer $100$ parties cons\'{e}cutives que l'on
suppose ind\'{e}pendantes.

\begin{enumerate}
\item Donner la loi de la variable al\'{e}atoire $X$ \'{e}gale au nombre de
parties gagn\'{e}es.

\item Indiquer l'esp\'{e}rance et la variance de $X$.

\item Exprimer la perte $T$ du joueur en fonction de $X$.
\end{enumerate}

\item Quel nombre minimum $n$ de parties devrait-il jouer pour que la
probabilit\'{e} de gagner au moins une partie soit sup\'{e}rieure ou \'{e}%
gale \`{a} $50\%$ ? (On admettra que $\ln \left( \dfrac{19}{21}\right)
\simeq-0,1$ et $\ln \left( 2\right) \simeq0,7$ )
\end{enumerate}

\subsection*{PARTIE III. Contr\^{o}le de la qualit\'{e} du jeu.}

On constate que, parfois, la fonction al\'{e}atoire est d\'{e}r\'{e}gl\'{e}%
e. Dans ce cas, elle place le premier jeton dans la case $\left( A,1\right) $
, les deux autres \'{e}tant plac\'{e}s au hasard dans les cases restantes.
On note $\Delta$ l'\'{e}v\'{e}nement "la fonction al\'{e}atoire est d\'{e}%
r\'{e}gl\'{e}e" et on pose $\mathrm{P}\left( \Delta \right) =x$ avec $x\in %
\left] 0,1\right[ $.

\begin{enumerate}
\item Calculer les probabilit\'{e}s conditionnelles $\mathrm{P}_{\Delta
}\left( H\right) ,\ \mathrm{P}_{\Delta}\left( V\right) ,\ \mathrm{P}%
_{\Delta}\left( D\right) $ des \'{e}v\'{e}nements $H,$ $V$,\ $D$ sachant l'%
\'{e}v\'{e}nement $\Delta.$

\item Utiliser la formule des probabilit\'{e}s totales avec le syst\`{e}me
complet d'\'{e}v\'{e}nement $\left( \Delta,\overline{\Delta}\right) $ pour
en d\'{e}duire que la probabilit\'{e} les jetons ne soient pas align\'{e}s
est \'{e}gal \`{a} $:$%
\begin{equation*}
\mathrm{P}\left( N\right) =-\frac{x}{84}+\frac{19}{21}
\end{equation*}

\item Soit $G$ la variable al\'{e}atoire \'{e}gale au gain r\'{e}alis\'{e}
par la soci\'{e}t\'{e} de jeu lors d'une partie jou\'{e}e. D\'{e}terminer la
valeur maximale de $x$ pour que l'esp\'{e}rance de gain soit positive.

\item On joue une partie. On constate que les jetons sont align\'{e}s.
Quelle est la probabilit\'{e}, en fonction de $x,$ que la fonction al\'{e}%
atoire ait \'{e}t\'{e} d\'{e}r\'{e}gl\'{e}e ?
\end{enumerate}

\newpage
\section*{Exercice 4 - Sommes }
Soit $n$ un entier supérieur ou égal à 2 .
Le but de cet exercice est de calculer la somme :
$$
S=\sum_{p=0}^{n} p^{2}\left(\begin{array}{l}
2 n \\
2 p
\end{array}\right)
$$
Pour cela on considère la fonction $\mathrm{f}$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
$$
f(x)=(1+x)^{2 n}+(1-x)^{2 n}
$$
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Calculer $f^{\prime}(x)$ et $f^{\prime \prime}(x)$. $\left(f^{\prime \prime}\right.$ est la dérivée seconde de $f,$ c'est à dire la dérivée de $\left.f^{\prime}\right)$
\item En déduire $f^{\prime}(1)$ et $f^{\prime \prime}(1)$
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Rappeler la formule du binôme de Newton pour $(1+x)^{2 n}$ et $(1-x)^{2 n}$. En déduire que
$$
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=2 \sum_{p=0}^{n}\left(\begin{array}{l}
2 n \\
2 p
\end{array}\right) x^{2 p}
$$
\item En déduire des expressions sous forme de sommes de $f^{\prime}(1)$ et $f^{\prime \prime}(1)$
\end{enumerate}
\item En remarquant que $p^{2}=\frac{1}{4} 2 p(2 p-1)+\frac{1}{4} 2 p,$ déduire une expression de $S$ en fonction de $n$.
\end{enumerate}

\end{document}