\input{../preambules/preDS.tex}

%%%%%%%%%%% Numéro du DS à remplir %%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\num}{1}
\AtEndDocument{\label{lastpage}}
\chead{Devoir surveillé n°\num}

\usepackage{enumitem}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{lscape}
\usepackage[np]{numprint}

\begin{document}
\hrule
\vspace{5pt}
\noindent {\bf Durée :} 4 heures \\
Aucune sortie autorisée durant la première heure et le dernier quart d'heure. 
\pagestyle{fancy}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\cfoot{\thepage\ / {\bf 5}\ }
\setlength\parindent{0cm}
\vspace*{30pt}
\fancyfoot[C]{\thepage/\pageref{lastpage}}


\begin{center}
{\LARGE \textbf{DEVOIR SURVEILLE N°\num}}

%\bigskip\bigskip
%
%{\large \textsc{CONCOURS D ADMISSION SIGMA 2018}}

%\bigskip
%
%{\large \textbf{Concepteur : M Leboucher}}

\bigskip

\rule{2.39cm}{0.05cm}

%\bigskip
%
%{\Large \textbf{OPTION ÉCONOMIQUE}}

\bigskip

{\Large \textbf{MATHÉMATIQUES}}

\bigskip

{\Large Samedi 3 Octobre 2020 - De 8h à 12h}

\bigskip

\rule{2.39cm}{0.05cm}
\end{center}

\textit{La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la
rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part
importante dans l'appréciation des copies.}

\textit{Les candidats sont invités à \textbf{encadrer} dans la mesure du
possible les résultats de leurs calculs.}

\textit{Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute
\textbf{calculatrice} et de tout matériel électronique est \textbf{interdite}.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.}

\textit{Si au cours de l'épreuve un candidat repère ce qui lui semble être une
erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en
expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.}

\vspace{40pt}
\hrule



\newpage

\begin{ex}[Calculs de puissances]
\begin{enumerate}
\item \'Ecrire les expressions suivantes sous la forme $bx^a$ avec $b,a \in \R$.
\begin{qmulti}{3}
\item $A = x^4 \times (3x)^{-2}$
\item $B = \dfrac{x^3 \times x^{-5}}{x^4}$
\item $C = (4x)^2 \times (x^3)^3$
\end{qmulti}
\item Simplifier l'expression suivante $ D = 2^n + 2^n + 2^n + 2^n$.
\item \'Ecrire l'expression suivante sous la forme $bx^a$: $
E = \dfrac{x^{n+1}}{x^n (-x)^{-2n}}
$
\item \'Ecrire l'expression suivante sous la forme $x^a$: $
F = \sqrt{x} \times \dfrac{x^2}{(-\sqrt{x})^4 x^{-5}}
$
\end{enumerate}
\end{ex}

\begin{ex}[Logarithme et exponentielle]
\begin{enumerate}
\item Exprimer $ A = 3 \ln(8)- 5 \ln(18) + 10 \ln(12)$ en fonction de $\ln(2)$ et $\ln(3)$.
\item Simplifier l'expression $B = 2 \ln \left(x^{4}\right)+\ln \left(\dfrac{1}{x^{3}}\right)$
\item Exprimer $C=5 \ln \left(\frac{9}{15}\right)-4 \ln \left(\frac{3}{25}\right)+8 \ln \left(\frac{5}{9}\right)$
en fonction de $\ln (3)$ et $\ln (5)$
\item Simplifier l'expression $D = \ln\left( \dfrac{\sqrt{7}+2}{2} \right) +\ln\left( \dfrac{\sqrt7 - 2}{2} \right)$.
\item Simplifier l'expression $E = \exp (3 \ln (2))$.
\item Simplifier l'expression $F =\ln \left(e^{x^{3}+2x}\right)-e^{3 \ln (x)}+\ln (1)$
\end{enumerate}
\end{ex}

\begin{ex}[Démonstration par récurrence]
Les questions suivantes sont indépendantes. 
\begin{enumerate}
\item On considère la suite $(u_n)_{n \in \N}$ définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = u_n^2 + u_n +1$. Montrer que pour tout $n \in \N$, $u_n \geq 0$. 
\item Démontrer par récurrence que pour tout $n \in \N$, $e^n \geq n+1$. On rappelle que $e \approx 2,7$.
\end{enumerate}
\end{ex}

\begin{ex}[\'Etude de fonctions]
Soient $f$ et $g$ les fonctions définies sur $[0,+\infty[$ par
$$
f(x)=\ln (1+x) \quad \text { et } \quad g(x)=\frac{2 x}{x+2}
$$
On note $h$ la fonction définie sur ce même intervalle par $h(x)=f(x)-g(x)$
\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites des fonctions $f$ et $g$ en $+ \infty$ (on pourra montrer que $\forall x \in [0 , +\infty[,g(x) = \frac{2}{1 + \frac{2}{x}} ) $
\item \'Etudier les variations de $h$. En déduire que $\forall x \in[0,+\infty[, f(x) \geqslant g(x)$.
\item Montrer que les courbes représentatives de $f$ et $g$ admettent une tangente commune en $x=0$.
\item Tracer dans un même repère les deux courbes ainsi que la tangente en question.
\item On définit désormais, pour tout réel $\alpha$ strictement positif, la fonction $f_{\alpha}$ par
$$
f_{\alpha}(x)=\ln (1+x)-\alpha x
$$
Étudier les variations de la fonction $f_{1}$.
\item Montrer que si $\alpha \geqslant 1,$ on a $\forall x \in[0,+\infty[, f(x) \leqslant \alpha x$
\item Existe-t-il des $\alpha \in] 0,1[$ tels que $\forall x \in[0,+\infty[, f(x) \leqslant \alpha x ?$
\end{enumerate}
\end{ex}

\begin{ex}
On considère les fonctions $f$ et $g$ définies par :
$$
f(x)=\frac{2 x-1}{x+1} \text { et } g(x)=-\frac{x+1}{x-2}
$$
\begin{enumerate}
\item Donner les domaines de définitions de $f$ et de $g$.
\item On note $a=\dfrac{-2 \sqrt{2}-1}{1-\sqrt{2}}$
\begin{enumerate}
\item Déterminer $g(a)$
\item Que vaut $f(g(a)) ?$ On donnera le résultat en fonction de $a$
\item Simplifier l'expression de $a$.
\item Soit $x \in \mathbb{R} \backslash\{2\}$. Que vaut $f(g(x)) ?$ On simplifiera l'expression au maximum.
\end{enumerate}
\item Vérification Scilab dans la console:
\begin{enumerate}
\item \'Ecrire la ligne de code permettant d'entrer la valeur de $a$ que l'on placera dans une variable $a$.
\item  \'Ecrire la ligne de code permettant de calculer $g(a)$ et de l'enregistrer dans une variable $b$. (en utilisant la définition de $g$). 
\item \'Ecrire la ligne de code permettant de calculer $f(g(a))$.
\end{enumerate}
\item \'Ecrire un script Scilab qui 
\begin{itemize}
\item demande à l'utilisateur d'entrer un nombre $x$ et le place dans une variable $x$. 
\item Si $x$ est plus grand ou égal à 0, le programme calcule $f(x)$ et donne le résultat. 
\item Si $x$ est strictement plus petit que 0, le programme calcule $g(x)$ et donne le résultat. 
\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{ex}

\begin{ex}[\'Etude d'une suite]
On considère la suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par les relations suivantes:
$$
\left\{\begin{array}{l}
u_{0}=1 \\
\forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1}=2 u_{n}+n-1
\end{array}\right.
$$
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Montrer que $u_{1}=1$ et $u_{2}=2$. Calculer $u_{3}$. 
\item Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n,$ on a $u_{n} \geqslant 1$
\item En déduire sans récurrence que pour tout entier naturel non nul $n,$ on a $u_{n} \geqslant n$ 
\item Montrer que la suite $( u_{ n } )_{ n \in \mathbb{ N }}$ est croissante.
\end{enumerate}
\item Dans cette question, on pose pour tout entier naturel $n: v_{n}=n+u_{n}$
\begin{enumerate}
\item  Exprimer $v_{ n + 1 }$ en fonction de $n \text { et } u_{ n }$.
\item  En déduire que la suite $\left(v_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ est géométrique et donner une formule explicite de $v_{n},$ en fonction de $n$ uniquement.
\item Montrer enfin que pour tout entier naturel $n$, on a $u_n = 2^n - n$.
\end{enumerate}
\item Démontrer qu'on a pour tout $n \in \mathbb{N}$ :
$$
\frac{u_{n+1}-1}{2^{n}}=\frac{u_{n}-1}{2^{n-1}}+\frac{n}{2^{n}}
$$
\end{enumerate}
\end{ex}

\begin{ex}
Le but de cet exercice est de résoudre l'équation
$$
a^{b}=b^{a}
$$
où $a$ et $b$ sont des entiers strictement positifs tels que $a<b$
\begin{enumerate} 
\item Montrer que l'équation $a^{b}=b^{a}$ est équivalente à $f(a)=f(b),$ où $f$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}_{+}^{*}$ $\operatorname{par} f(x)=\frac{\ln x}{x}$
\item Faire l'étude de la fonction $f$ et dresser son tableau de variations (on admettra que sa limite quand $x$ tend vers $+\infty$ vaut 0 ). Montrer que $f$ admet un maximum global en un point que l'on précisera. Déterminer la tangente à la courbe au point d'abscisse 1. Tracer la courbe de $f$, la tangente horizontale et la tangente en $x = 1$ .
\item  Quelles sont les valeurs possibles de $a ?$
\item  Résoudre l'équation $1^{b}=b^{1}$.
\item Résoudre l'équation $2^b = b^2$.
\item Conclure en donnant l'ensemble de tous les couples $(a,b)$ où $a$ et $b$ sont des entiers strictement
positifs vérifiant $a^{b}=b^{a}$ et $a<b$
\end{enumerate}
\end{ex}

\end{document}