\input{../preambules/preDS.tex}

%%%%%%%%%%% Numéro du DS à remplir %%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\num}{0}
\AtEndDocument{\label{lastpage}}
\chead{Devoir surveillé n°\num}

\usepackage{enumitem}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{lscape}
\usepackage[np]{numprint}

\begin{document}
\hrule
\vspace{5pt}
\noindent {\bf Durée :} 4 heures \\
Aucune sortie autorisée durant la première heure et le dernier quart d'heure. 
\pagestyle{fancy}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\cfoot{\thepage\ / {\bf 5}\ }
\setlength\parindent{0cm}
\vspace*{30pt}
\fancyfoot[C]{\thepage/\pageref{lastpage}}


\begin{center}
{\LARGE \textbf{DEVOIR SURVEILLE N°\num}}

%\bigskip\bigskip
%
%{\large \textsc{CONCOURS D ADMISSION SIGMA 2018}}

%\bigskip
%
%{\large \textbf{Concepteur : M Leboucher}}

\bigskip

\rule{2.39cm}{0.05cm}

%\bigskip
%
%{\Large \textbf{OPTION ÉCONOMIQUE}}

\bigskip

{\Large \textbf{MATHÉMATIQUES}}

\bigskip

{\Large Mercredi 2 Septembre 2020 - De 8h à 12h}

\bigskip

\rule{2.39cm}{0.05cm}
\end{center}

\textit{La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la
rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part
importante dans l'appréciation des copies.}

\textit{Les candidats sont invités à \textbf{encadrer} dans la mesure du
possible les résultats de leurs calculs.}

\textit{Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute
\textbf{calculatrice} et de tout matériel électronique est \textbf{interdite}.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.}

\textit{Si au cours de l'épreuve un candidat repère ce qui lui semble être une
erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en
expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.}

\vspace{40pt}
\hrule



\newpage
\begin{ex}[Calcul littéral et fractions]
\begin{enumerate}
\item Développer et réduire l'expression $A = (n(n+1))^2 - n(n+1)(2n+1)$.
\item Factoriser l'expression $B = (n(n+1))^2 - n(n+1)(2n+1)$. 
\item Factoriser l'expression $C = (x+4)^2 + 2(2x + 1)(x+4) + (2x+1)^2$. 
\item \'Ecrire sous la forme la plus simple possible a fraction suivante $D = \displaystyle \frac{(x^3-x^2)(4-12x)}{x^2(1-3x)} $.
\item Additionner et simplifier la fraction suivante $E = \dfrac{3x}{4(x+2)(x^2+1)} - \dfrac{3}{2(x^2+1)(x-1)}$
\item \'Ecrire la fraction $\dfrac{4x^2+3}{x}$ sous la forme $ax + \dfrac{b}{cx}$.
\end{enumerate}
\end{ex}


\begin{ex}[Racines carrées et $|\cdot|$]
\begin{enumerate}
\item \'Ecrire l'expression de $A = \sqrt{1200}$ sous la forme $a \sqrt{b}$ avec $b$ le plus petit possible.  
\item Simplifier au maximum l'expression $B = (\sqrt{2} +6)(\sqrt{2}-6)$.
\item Exprimer sans valeur absolue les quantités $C = |-12|$ et $D = |5|$.
\item Simplifier cette fraction en supprimant la racine carrée du dénominateur $E =  \dfrac{x}{\sqrt{x} - 4}$.
\item Simplifier l'expression suivante : $F = \dfrac{2}{\sqrt{x}- 2} - \dfrac{3}{\sqrt{x} + 2}$
\end{enumerate}
\end{ex}

\begin{ex}[Puissances]
\begin{enumerate}
\item \'Ecrire les expressions suivantes sous la forme $bx^a$.
\begin{qmulti}{3}
\item $A = x^3 \times (2x)^{-2}$
\item $B = \dfrac{x^2 \times x^{-4}}{x^3}$
\item $C = (3x)^2 \times (x^5)^4$
\end{qmulti}
\item Simplifier l'expression suivante $ D = 3^n + 3^n + 3^n$.
\item \'Ecrire l'expression suivante sous la forme $x^a$: $
E = \dfrac{x^{-1}}{(-x)^3 x^{-2}}
$
\item \'Ecrire l'expression suivante sous la forme $x^a$: $
F = \sqrt{x} \times \dfrac{x^3}{(-\sqrt{x})^6 x^{-2}}
$
\end{enumerate}
\end{ex}

\begin{ex}[\'Equations et inéquations]
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation $2x^2 - 3x = -1$.
\item Résoudre l'équation $(3x-2)^2 - (2x+4)(3x-2) = 0$.
\item Résoudre l'équation $(e^x - 1)( 3 - e^{2x}) = 0$.
\item Résoudre l'inéquation $\dfrac{3x}{5} - \dfrac{2}{3} \leq - \dfrac{x}{15}$.
\item Résoudre l'inéquation $4x^2 - 2x \geq 0$
\item Résoudre l'inéquation $e^x \geq x$.
\end{enumerate}
\end{ex}

\begin{ex}[Logarithme et exponentielle]
\begin{enumerate}
\item Exprimer $ A = 3 \ln(45)- 5 \ln(75) + 18 \ln(15)$ en fonction de $\ln(3)$ et $\ln(5)$.
\item Simplifier l'expression $B = 2 \ln \left(x^{3}\right)+\ln \left(\dfrac{1}{x^{3}}\right)$
\item Exprimer $C=5 \ln \left(\frac{9}{4}\right)-4 \ln \left(\frac{3}{8}\right)+8 \ln \left(\frac{2}{9}\right)$
en fonction de $\ln (2)$ et $\ln (3)$
\item Simplifier l'expression $D = \ln\left( \dfrac{\sqrt{5}+3}{2} \right) +\ln\left( \dfrac{3 - \sqrt5}{2} \right)$.
\item Simplifier l'expression $E = \exp (-2 \ln (2))$.
\item Simplifier l'expression $F =\ln \left(e^{x^{2}+1}\right)-e^{2 \ln (x)}+\ln (e)$
\end{enumerate}
\end{ex}

\newpage
\begin{ex}[Fonctions]

Soit une fonction $r$ définie sur [0 ; 12] par 

\[r(x) = (900x)\text{e}^{-0,1(x - 2)}.\]

\textbf{A. Étude d'une fonction} \boldmath $f$ \unboldmath

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $f$ définie sur ]0~;~12] par 
$f(x) =  \ln [r(x)]$.

Démontrer que $f(x) = \ln (900) + \ln x -  0,1(x -2)$.
\item On note $f$ la fonction dérivée de $f$ ;  démontrer que $f'(x) = \dfrac{10 - x}{10x}$.
\item Étudier le signe de $f'(x)$ pour tout $x$ de ]0~;~12] puis dresser le tableau de variations de $f$ sur ]0~;~12].
\item On désigne par $r'$ la fonction dérivée de $r$ ; exprimer $f'$ en fonction de $r'$ et de $r$ puis justifier que $r'(x)$ et $f'(x)$ ont le même signe pour tout $x$ de ]0~;~12].
\item En déduire les variations de $r$ sur ]0~;~12].
\item Déterminer pour quelle valeur $x_{0}$ la fonction $r$ atteint un maximum et calculer $x_{0}$ (on donnera la valeur exacte). 
\end{enumerate}

\textbf{B. Calcul de la valeur moyenne}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que la fonction $R$ définie par 

\[R(x) = - \np{9000}(x + 10)\text{e}^{-0,1(x - 2)}\]

est une primitive de la fonction $r$ sur [0 ; 12].
\item Calculer la valeur moyenne $r_{m}$ de la fonction $r$ sur [0 ; 12] définie par

\[r_{m} = \dfrac{1}{12}\displaystyle\int_{0}^{12} r(x)\:\text{d}x.\]

On donnera la valeur exacte.
\end{enumerate}
\end{ex}

\begin{ex}[Probabilités]

Une roue de loterie comporte trois secteurs notés A, B et C.

On lance la roue, elle tourne puis s'arrête devant un repère fixe.

Le mécanisme est conçu de telle sorte que, à l'arrêt de la roue, le repère fixe se trouve toujours devant l'un des trois secteurs, qui est alors déclaré \og secteurs repéré \fg.

On note $p_1$ la probabilité que le secteur A soit repéré. On donne $p_1 = 0,2$.

On note $p_2$ la probabilité que le secteur B soit repéré. On donne $p_2 = 0,3$.

\medskip

\begin{enumerate}
	\item Calculer la probabilité, notée $p_3$, que le secteur $C$ soit repéré.
\end{enumerate}
Une \textbf{partie} consiste à lancer la route deux fois successivement. On s'intéresse aux couples de secteurs repérés obtenus à la suite des deux lancers successifs.

On admet que les lancers de roues successifs sont indépendants.

\smallskip
\begin{enumerate}[resume]
\item Justifier que la probabilité d'obtenir le couple de secteurs repérés (A,\,B) est égale à $0,06$.
\item Compléter le tableau suivant par les probabilités d'obtenir les différents couples de secteurs repérés possibles.
Certaines probabilités sont déjà indiquées, ainsi la probabilité de tenir le couple (C,\,C) est égale à $0,25$.

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
Secteur repéré au premier lancer & A & B & C \\
\hline
A     &$\np{0,04}$  &$\hphantom{\np{0,00}}$ &$\hphantom{\np{0,00}}$ \\
\hline
B     &$\np{0,06}$  &$\hphantom{\np{0,00}}$ &$\hphantom{\np{0,00}}$ \\
\hline
C     &             &$\hphantom{\np{0,00}}$ &$\np{0,25}$   \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
	
\item Montrer que la probabilité de tenir un couple de secteurs repérés ne comportant pas le secteur C est égale à $0,25$.
\item De l'argent est mis en jeu dans cette partie. Le gain dépend du nombre de secteurs C repérés :

$\bullet$ \quad obtenir deux fois le secteur C fait gagner huit euros ;

$\bullet$ \quad obtenir exactement une fois le secteur C fait gagner un euro ;

$\bullet$ \quad d'obtenir aucun secteur C fait perdre dix euros.
	
	\begin{enumerate}
		\item 
Recopier sur la copie et compléter le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}\hline
Gain (en euros) & $-10$ & 1 & 8 \\\hline
Probabilité     &   $\hphantom{\np{0,00}}$  &  $\hphantom{\np{0,00}}$ &  $\hphantom{\np{0,00}}$  \\\hline
\end{tabular}
\end{center}
	
		\item Calculer le gain moyen que l'on peut espérer à ce jeu. Interpréter ce résultat.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{ex}


\begin{ex}[Suites]
Dans cet exercice, on cherche à trouver une formule explicite pour les suites de la forme $u_{n+1} = a u_n + b$ où $a$ et $b$ sont deux nombres réels. \\

\begin{enumerate}
\item {\bf \large Cas où $a = 1$} : On s'intéresse dans cette partie au cas où $a=1$, c'est à dire aux suites de la forme $u_{n+1} = u_n + b$ avec $u_0 \in \R$. 
\begin{enumerate}
\item Quel est ce type de suite ? 
\item Recopiez et complétez le programme suivant permettant de calculer le $50$ ème terme de la suite $u_{n+1} = u_n +3$ et $u_0 = 1$.
\begin{verbatim}
L1 : Variables        u un réel, n un entier, b un réels 
L2 : Initialisation   u prend la valeur ............ 
L3 :                  n prend la valeur ............
L4 :                  b prend la valeur ............
L5 : Traitement       Pour k allant de .... à .... faire 
L6 :                      u prend la valeur .............. 
L7 :                  Fin Pour 
L8 : Résultat         Afficher u 
\end{verbatim}    
\item Déterminez l'expression de $u_n$ en fonction de $n$, de $b$ et de $u_0$. \\
\end{enumerate}
\item {\bf \large Cas où $b = 0$} : Dans cette partie, on s'intéresse aux suites de la forme $u_{n+1} = a u_n$ et $u_0 > 0$. 
\begin{enumerate}
\item Quel est ce type de suite ? Déterminez l'expression de $u_n$ en fonction de $n$, de $a$ et de $u_0$.
\item Quelle est la limite de la suite $(u_n)$ selon les valeurs de $a$ ?
\item Dans cette question $a = 0.5$ et $u_0 = 2$. Recopiez et complétez le programme suivant afin qu'il donne le plus petit entier $n$ tel que $u_n < 0.0001$.
\begin{verbatim}
L1 : Variables        u un réel, n un entier, a un réel 
L2 : Initialisation   u prend la valeur ............ 
L3 :                  n prend la valeur ............
L4 :                  a prend la valeur ............ 
L5 : Traitement       Tant que .................... faire 
L6 :                      u prend la valeur .............. 
L7 :                      n prend la valeur .............. 
L8 :                  Fin Tant que 
L9 : Résultat         Afficher n 
\end{verbatim} 
\end{enumerate}
\item {\bf \large Un cas particulier} : On considère la suite $u_{n+1} = -2u_n + 3$ et $u_0 = 2$. 
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation $x = -2x +3$, on notera la solution $\alpha$ (alpha).
\item On pose la suite $v_n = u_n - \alpha$. Montrer que la suite $(v_n)$ est géométrique et déterminer sa raison ainsi que $v_0$. 
\item Déterminer l'expression de $v_n$ en fonction de $n$. 
\item En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$. 
\item Quelle est la limite de $(u_n)$ quand $n$ tend vers $+\infty$ ? 
\end{enumerate}
\item {\bf \large Le cas général :} On considère que $a \neq 1$, $a \neq 0$ et $b \neq 0$. On revient au cas de la suite $u_{n+1} = au_n + b$ et $u_0 \in \R$. 
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation $x = ax +b$. On notera $\alpha$ la solution de cette équation. 
\item On introduit la suite $v_n = u_n - \alpha$. Montrer que la suite $(v_n)$ est géométrique.
\item Déterminer l'expression de $v_n$ en fonction de $n$, $a$, $b$ et de $u_0$.
\item En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$, $a$, $b$ et de $u_0$. 
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ex}

\begin{ex}[Réflexion]
{\it Cet exercice est à traiter après avoir fait tous les autres. }
Résoudre l'équation suivante d'inconnues $x$:
$$ x = a x^2 + (1 - a) $$ 
avec $ a > \dfrac{1}{2}$. On pourra poser $r = \dfrac{1-  a}{a}$.

\end{ex}

\end{document}