\input{../preambules/preDM.tex}
\usepackage{enumitem}
\begin{document}

\chead{Devoir maison n°9}
\lfoot{}
\cfoot{Devoir maison n°9}

\begin{center}
\fbox{ \Large A rendre pour le 27 Janvier 2021}
\end{center}
\vspace{30pt}

\renewcommand{\P}{P}

\section*{Exercice 1 - Fonctions et polynômes - Obligatoire pour les groupes 9 et 10}

On considère la fonction $f$ définie par : $f(x) = x + 1 + \dfrac{x-1 + \ln(x)}{x^2}$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer l'ensemble de définition $D_f$ de la fonction $f$. 
\item  On introduit la fonction auxiliaire $g$ définie sur $]0;+\infty[$ par $g(x) = x^3 -x + 3 - 2 \ln(x)$ et $P$ la fonction polynôme déterminée par $\forall x \in \R, P(x) = 3x^3 - x - 2$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que le polynôme $P$ se factorise par $(x - 1)$.
\item Déterminer les 3 réels $a, b, c$ tels que $\forall x \in \R,\; P(x) = (x - 1)(ax^2 + bx + c)$.
\item En déduire le signe de $P$ sur $\R$.
\item Exprimer $g'$ en fonction de $P$, calculer les limites de $g$ aux bords de son domaine de définition puis dresser le tableau de variations de $g$.
\item Montrer que : $\forall x \in \R_+^*, \quad g(x) > 0$. 
\end{enumerate}
\item \'Etude de la fonction f :
\begin{enumerate}
\item Vérifier que la fonction dérivée $f'$ peut s'écrire : $\forall x \in Df ; f'(x) = \dfrac{g(x)}{x^3}$. 
\item En déduire les variations de $f$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section*{Exercice 2 - Obligatoire pour les groupes 5 à 10}

{\it On donne les approximations suivantes qui vous serviront au cours de l'exercice :}
$$
\ln(2) \approx 0,69 \qquad \ln(3) \approx 1,10 \qquad  22\ln(2)-14 \approx 1,25  \qquad  22\ln(3)-23 \approx 1,17
$$
$$
\dfrac{1}{22\ln(2) - 14} \approx 0,80 \qquad \dfrac{1}{22 \ln(3) - 23} \approx 0,86
$$

\subsection*{Préliminaire : Polynôme et étude de signe}
Soit $P(X) = X^3 - 6X^2 + 11X - 6$. 
\begin{enumerate}
\item Effectuer la division euclidienne de $P$ par $X-1$. 
\item Factoriser $P$. 
\item En calculant, pour $x \in \R$, la quantité $\dfrac{2 P(e^x)}{e^x}$ de deux manières différentes et en utilisant ce qui précède, justifier qu'on a l'égalité:
$$
2e^{2x} - 12 e^x +22 - 12 e^{-x} = \dfrac{2(e^x - 1)(e^x - 2)(e^x - 3)}{e^x}
$$
\item Déduire des questions précédentes le signe de $2e^{2x} - 12 e^x +22 - 12 e^{-x}$ sur $\R$ en dressant le tableau de signe. 
\end{enumerate}

\subsection*{\'Etude d'une fonction}
On pose $v :x \to e^{2x} - 12 e^x +22x + 12 e^{-x}$ et $h : x \to \dfrac{1}{v(x)}$. 
\begin{enumerate}
\item \'Etude de $v$. 
\begin{enumerate}
\item Calculer les valeurs exactes de $v(\ln(2))$ et de $v(\ln(3))$ en détaillant les calculs. 
\item Justifier proprement les limites en $+\infty$ et $-\infty$ de la fonction $v$. 
\item Dresser le tableau de variation de la fonction $v$. 
\item En déduire que $\forall x \in \R$, $v(x) > 0$. 
\end{enumerate}
\item Quel est l'ensemble de définition de $h$ ?
\item Dresser le tableau de variation de $h$. 

\end{enumerate}

\section*{Exercice 3 - Obligatoire pour les groupes 1 à 8}

\subsection*{Préliminaires} 
On définit une suite $(R_k)_{k\in \N^*}$ de polynômes par:
\[\forall x\in \R\qquad R_1(x)=x\qquad R_2(x)=x^2-2\]
et pour tout entier $k$ supérieur ou égal à 2,
\[R_{k+1}(x)=xR_k(x)-R_{k-1}(x)\]
\begin{enumerate}
\item Déterminer les polynômes $R_3$ et $R_4$.
\item Quels sont les degrés de $R_1$, $R_2$, et  $R_3$? Quels sont leurs coefficients dominants?
\item Soit $x\in \R^*$. On pose $y=x+\dfrac{1}{x}$. Calculer $R_1(y)$, $R_2(y)$ et $R_3(y)$.
\item Montrer par récurrence double que, pour tout entier $k>0$, $R_k$ est un polynôme de degré $k$ vérifiant pour tout réel $x$ non nul, l'égalité
\[R_k(x+\frac{1}{x})=x^k+\frac{1}{x^k}\]
\end{enumerate}
\subsection*{Un exemple particulier}
On pose $Q$ le polynôme défini par $Q(x)=x^6+x^5-9x^4+2x^3-9x^2+x+1$.
\begin{enumerate}

\item On veut écrire $Q$ en utilisant le symbole $\sum$: $\dis Q(x)=\sum_{k=0}^{2n} a_kx^k$. Que vaut alors $n$? Que valent les $a_k$?
\item Vérifier que pour tout $k\in [|0,6|]$, on ait $a_k=a_{6-k}$.
\item Vérifier que 0 n'est pas racine de $Q$.
\item Vérifier que $Q$ peut s'écrire sous la forme $Q(x)=\dis a_3x^3+\sum_{k=0}^2 a_k(x^k+x^{6-k})$. (Expliciter les $a_k$ et écrire cette somme en extension)
\item Calculer alors $\dfrac{Q(x)}{x^3}$.
\item Montrer que $\dfrac{Q(x)}{x^3}=2+R_3(y)+R_2(y)-9R_1(y)$. (On rappelle que $y=x+\dfrac{1}{x}$ et que les $R_k(y)$ ont été calculés dans la partie 1).
\item On pose $\tilde{Q}(y)=2+R_3(y)+R_2(y)-9R_1(y)$. Montrer que 
\[\tilde{Q}(y)=(y^3-3y)+(y^2-2)-9y+2\]
\item Résoudre $\tilde{Q}(y)=0$.
\item En déduire alors que résoudre $Q(x)=0$ est équivalent à résoudre pour tout réel $x$ non nul, $x+\frac{1}{x}=3$ et $x+\frac{1}{x}=-4$.
\item Conclure sur les racines de $Q$. 
\end{enumerate}


\section*{Exercice 4 -Inspiré d'INSEEC 2002 - Obligatoire pour les groupes 1 à 4}

On définit pour tout entier naturel $n$ non nul, le polynôme $P_n$ par :
$P_0(X) = 2$ et $\forall n  \in \N$,
\begin{equation}
P_{n+1}(X) = X^3 P_n'(X) + (2 - 3(n+1) X^2) P_n (X)
\end{equation}
\begin{enumerate}
\item \'Etude des polynomes
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\forall n \in \N$, $P_n(0) = 2^{n+1} $
\item Calculer $P_1(X)$ en utilisant la relation (1) et déterminer ses racines.  
\item Montrer que $P_2(X) = 24X^4 - 36X^2 + 8$ et déterminer ses racines. 
\item Montrer par récurrence que le polynôme $P_n$ est de degré $2n$. 
\end{enumerate}
\item Soit la fonction $f$ définie sur $\R^*$ par $f(x) = \dfrac{2}{x^3} e^{-1/x^2}$
\begin{enumerate}
\item Vérifier que $\forall x \in \R^*$, 
$$
f'(x) = \dfrac{P_1(x)}{x^6} e^{-1/x^2} \quad {\rm et} \quad f''(x) = \dfrac{P_2(x)}{x^9} e^{-1/x^2}
$$
\item En déduire les intervalles sur lesquels la fonction est croissante ou décroissante. Tracer son tableau de variation. 
\item Déterminer les intervalles sur lesquels la fonction est convexe ou concave. \\
{\it On rappelle qu'une fonction 2 fois dérivables est convexe (resp concave) si et seulement si $f''(x) >0$ (resp. $f''(x) < 0$)}
\item Conjecturer une formule pour la dérivée $n$-ème de $f$ notée $f^{(n)}(x)$. 
\item Démontrer cette formule par récurrence.  
\end{enumerate}
\item En scilab, un polynôme peut être modélisé par une matrice ligne ne comportant que les coefficients du polynôme. Ainsi la matrice $[2,3,5]$ correspondra au polynôme $P(X) = 2 + 3X + 5 X^2$.
\begin{enumerate}
\item A quel polynôme correspondra la matrice $[1,0,2,4]$ ?
\item \'Ecrire $P_1(X)$ et $P_2(X)$ des questions $1(b)$ et $1(c)$ en Scilab. 
\item Si un polynôme est de degré $n$, quelle sera la taille de sa matrice associée en Scilab ?
\item Compléter la fonction suivante qui pour un polynôme quelconque, permet d'obtenir le polynôme dérivée :
\begin{verbatim}
function Q = derive(P)
    n = size(P) \\permet d'obtenir la taille de la matrice P
    if n == 1
        Q = [.....]
    else 
        Q = zeros(1,......)
        for k = 1 : ......
            Q(k) = ............
        end
    end
endfunction
\end{verbatim}
\end{enumerate}

\end{enumerate}




\end{document}